Investigación

 

An exact solution of delay–differential equations in association models

 

J.F. Rojas, I. Torres

 

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Río Verde y Av. San Claudio, C.U. Col. San Manuel, Puebla, 72570, Puebla, México, e–mail: frojas@fcfm.buap.mx

Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica, Luis Enrique Erro No. 1, Tonantzintla, Puebla, México.

 

Recibido el 18 de diciembre de 2009
Aceptado el 17 de febrero de 2011

 

Abstract

In modeling automatic engines, like in physiological or biological systems or ecology dynamics, oftently is necessary to include delay effects in the equations. This effect is related to reaction or transfer times and can be extended to the spatial case, for example, in cases such as the influence in local green biomass density due to dispersal of seeds. Spatial delay effects are present in liquid mixtures models such as the Cummings–Stell model (CSM) for associating molecules: in a series of publications they solve, for particular cases, an equation with spatial delay that must be satisfied by an auxiliary (Baxter's) function. In this paper, we present an analytical and general solution of the first order Delay–Differential Equation (or Differential–Difference Equation) DDE, for the auxiliary Baxter's function that appears in the CSM. A n–partition of the domain leaves a set of DDE's defined in the subintervals. We use recursive properties of these auxiliary functions and a matrix composed by differential and shift operators (MDSO) in order to obtain the solution of the original problem with an arbitrary value of n. The problem of solving spatial DDE's is common to other models of associative fluids, such as homogeneous and inhomogeneous mixtures of sticky shielded hard spheres, or models of chemical ion association and dipolar dumbbells and polymers. In all the cases the location of the potential, L = mσ/n, has different physical effects.

Keywords: Delay–differential equations; molecular association; biological.

 

Resumen

En la modelación de máquinas automáticas, sistemas fisiológicos o biológicos, así como en dinámica de ecosistemas se hace necesario, muchas veces, incluir una corrección en las ecuaciones diferenciales correspondientes. Esta corrección consiste en la inclusión de un tiempo de "retraso" que está relacionado con tiempos de reacción o de transferencia, la cual puede hacerse para el caso espacial también. Por ejemplo, en el caso en el que la densidad de biomasa vegetal local se ve afectada por la dispersión de semilla en otro sitio. En otros modelos se ha incluido un "retraso" espacial como es el caso del modelo de moléculas reactivas de Cummings y Stell (CSM): en una serie de artículos ellos resuelven, para casos particulares, una ecuación con corri– miento (o "retraso") espacial que debe ser satisfecha por la función auxiliar de Baxter. En este trabajo presentamos una solución general y analítica para la ecuación diferencial con corrimiento (Delay Differential Equation) de la función auxiliar de Baxter que aparece en el CSM. Una partición de tamaño n del intervalo de interés lleva a la formulación de un sistema de ecuaciones diferenciales (DDE) definidas en los subintervalos. Usando propiedades recursivas y una matriz de operadores diferenciales y de "corrimiento" (MDSO) se obtiene una solución analítica del problema original para n arbitrario. El problema es común a otros modelos de fluidos reactivos tales como mezclas homogéneas e inhomogéneas de esferas duras con potencial interno de pegado. Lo mismo para asociación iónica, mancuernas dipolares y polímeros. En todos los casos el sitio del potencial de pegado, L = mσ/n, ocasiona diferentes efectos físicos.

Descriptores: Ecuaciones diferenciales con retardo; asociación molecular; biología.

 

PACS: 02.30.Ks; 61.20.Qg; 61.25.Em; 82.30.Nr

 

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References

1. K.L. Cooke and J. Turi, J. Math. Biol. (1994) 535.         [ Links ]

2. T. Dumrongpokaphan, Y. Lenbury, R. Ouncharoen, and Y. Xu, Mathematical Modelling of Natural Phenomena 2 (2007) 75.         [ Links ]

3. R.M. May, Stability and Complexity in Model Ecosystems (Princeton Landmarks In Biology). (Princeton University Press, 2001).         [ Links ]

4. T. Erneux, Applied Delay Differential Equations (Springer–Verlag, 2009).         [ Links ]

5. G.W. Flake, The Computational Beauty of Nature (Computer Explorations of Fractals, Chaos, Complex Systems and Adaptation) (The MIT Press, 2001).         [ Links ]

6. N. Boccara, Modeling Complex Systems (Springer–Verlag, 2004).         [ Links ]

7. G.M. Munguía–Gámez and M.G. García–Alvarado, Memorias de la XVII Semana Regional de Nivel Superior Investigación y Docencia en Matemáticas. Mosaicos Matemáticos. (August 2007).         [ Links ]

8. R. Bellman and K.L. Cooke. Proc. N.A.S. 45 (1959) 1026.         [ Links ]

9. P.T Cummings and G. Stell, Mol. Phys. 51 (1984) 253.         [ Links ]

10. R.J. Baxter, J.Chem.Phys. 49 (1968) 2770.         [ Links ]

11. L.S. Ornstein and F. Zernike, Proc. K. Ned. Akad. Wet 17 (1914) 793.         [ Links ]

12. P.T. Cummings and G. Stell, Mol. Phys. 55 (1985) 33.         [ Links ]

13. L. Blum, J.F. Rojas, and J.N. Herrera. Rev. Mex. Fís. 39 (1993)799.         [ Links ]

14. P.T. Cummings, Kinam 16 (1984) 121.         [ Links ]

15. P.T. Cummings and G. Stell, Mol. Phys. 60 (1987) 1315.         [ Links ]

16. S.H. Lee, P.T. Cummings, and G. Stell. Mol. Phys. 62 (1987) 65.         [ Links ]

17. S.H. Lee and J.C. Rasaiah, J. Chem. Phys. 86 (1987) 983.         [ Links ]

18. S.H. Lee and J.C. Rasaiah, J. Chem. Phys. 83 (1985) 317.         [ Links ]

19. A. Huerta, Mol. Phys. 96 (1999) 795.         [ Links ]

20. A. Huerta and G.G. Naumis, Phys. Lett. A (2002) 660.         [ Links ]

21. O. Pizio and L. Blum, Phys. Rev. E 52 (1995) 572.         [ Links ]

22. Y.V. Kalyuzhnyi and G. Stell, Mol. Phys. 78 (1993) 1247.         [ Links ]

23. R. Bellman and K.L. Cooke. Differential–Difference Equations (Academic, Press, 1963).         [ Links ]

24. Y. Zhou and G. Stell, J. Chem. Phys. 98 (1993) 5777.         [ Links ]

25. O. Pizio, J. Chem. Phys. 100 (1994).         [ Links ]