Investigación

New coordinates for the four–body problem

E. Piña

Department of Physics, Universidad Autónoma Metropolitana – Iztapalapa, P.O. Box 55 534, México, D.F., 09340 México, e–mail: pge@xanum.uam.mx

Recibido el 17 de agosto de 2009
Aceptado el 20 de abril de 2010

Abstract

A new coordinate system is defined to study the physical Four–Body dynamical problem with general masses, with the origin the of coordinates at the center of mass. The transformation from the frame of inertial coordinates involves a combination of a rotation to the system of principal axis of inertia, followed by three changes of scale modifying the principal moments of inertia yield to a body with three equal moments of inertia, and finally a second rotation that leaves unaltered the equal moments of inertia. These three transformation steps yield a mass–dependent, rigid, orthocentric tetrahedron of constant volume in the baricentric inertial coordinates. Each of those three linear transformations is a function of three coordinates that produce the nine degrees of freedom of the Physical Four–Body problem, in a coordinate system with the center of mass as origin. The relation between the well–known equilateral tetrahedron solution to the gravitational Four–Body problem and the new coordinates is exhibited, and the planar case of central configurations with four different masses is computed numerically in these coordinates.

Keywords: Four–body problem; new coordinates.

Resumen

Se define un sistema de coordenadas nuevo para el problema dinámico de cuatro cuerpos con masas diferentes, con origen de coordenadas en el centro de masa. La transformación desde el sistema de coordenadas inercial incluye una combinación de una rotación al sistema de ejes principales de inercia, seguida por tres cambios de escala que modifican los tres momentos principales de inercia para producir un cuerpo con los tres momentos principales de inercia iguales, y finalmente otra rotación que deja inalterados los momentos de inercia iguales. Estas tres transformaciones llevan un tetraedro rígido, ortocéntrico, función de las masas, con tres momentos principales de inercia iguales, de volumen constante al tetraedro que forman las coordenadas inerciales. Cada una de estas tres transformaciones lineales es una función de tres coordenadas que producen los nueve grados de libertad del Problema de Cuatro Cuerpos en este sistema de coordenadas, con el centro de masa en el origen. Se exhibe la relación entre la solución muy conocida de tetrahedro equilátero del problema gravitacional de Cuatro Cuerpos y las coordenadas nuevas, y después el caso plano de configuraciones centrales, con cuatro masas diferentes, se calculó numéricamente en estas coordenadas.

Descriptores: Problema de cuatro cuerpos; coordenadas nuevas.

PACS: 45.50.Pk; 95.10.Ce

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References

1. E. Piña, Celest. Mech. & Dyn, Astr. 74 (1999) 163.        [ Links ]

2. E. Piña and L. Jiménez–Lara, Celest. Mech. & Dyn. Astr. 82 (2002) 1.        [ Links ]

3. L. Jiménez–Lara and E. Piña, J. of Math. Phys. 44 (2003) 4078.        [ Links ]

4. J.L. Lagrange, Essai sur le Problème des Trois Corps OE(uvres completes VI 1772) p. 227.        [ Links ]

5. F.D. Murnaghan, Am. J. Math 58 (1936) 829.        [ Links ]

6. G. Lemaître, Bull. Classe Sci. Acad. Roy. Belg. 28 (1942) 582 and 1218.        [ Links ]

7. Wu–Yi Hsiang and E. Straume, Lobachevskii J. Math. 25 (2008) 9.        [ Links ]

8. A. Chenciner, Three body problem Scholarpedia, http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problem.        [ Links ]

9. R.G. Littlejohn and M. Reinsch, Reviews of Modern Physics 69 (1997) 213.        [ Links ]

10. R.G. Littlejohn, K.A. Mitchell, M. Rainsch, V. Aquilanti, and S. Cavalli, Phys. Rev. A 58 (1998) 3718.        [ Links ]

11. J.L. Lagrange, Nouv. Mem. Acad. Sci. Berlin (1773) 149. (= OEuvres completes III 659–692).        [ Links ]

12. N.A. Court, The American Mathematical Monthly 41 (1934) 499.        [ Links ]

13. S.R. Manden, Math. Mag. 31 (1958) 127.        [ Links ]

14. E. Piña and A. Bengochea, Qualitative Theor. of Dyn. Sys. 8 (2009) 399.        [ Links ]

15. L. Landau & E. Lifshitz Mechanics (Pergamon Press, Reading, 1960).        [ Links ]

16. J.V. Jose & E.J. Saletan, Classical Mechanics, A Contemporary Approach (Cambridge University Press, Cambridge, 1998).        [ Links ]

17. E.T. Whittaker, Analitical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Cambridge University Press, Cambridge, 1965).        [ Links ]

18. O. Dziobek, Astron Nach. 152 (1900) 33.        [ Links ]

19. A. Albouy, Y. Fu and S. Sun, Proc. Roy. Soc. A 464 (2008) 1355.        [ Links ]

20. D. Saari, Collisions, Rings, and Other Newtonian N–Body Problems (American Mathematical Society, Providence, 2005).        [ Links ]

21. A. Wintner, Analytical Foundations of Celestial Mechanics (Princeton University Press, 1941).        [ Links ]

22. R. Lehmann–Filhés, Astr. Nachr. 127 (1891) 137.        [ Links ]

23. R. Moeckel, Transactions of the American Mathematical Society 353 (2001) 4673.        [ Links ]

24. E. Piña and P. Lonngi, Central configurations for the planar Newtonian Four–Body Problem (2009) (arXiv 0905.4329) Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Accepted.        [ Links ]

25. A. Bengochea and E. Piña, Rev. Mex. Fis. 55 (2009) 97.        [ Links ]

26. J. Bernat, J. Llibre and E. Pérez Chavela, Mathematical Analysis 16 (2009) 1.        [ Links ]

27. D.S. Schmidt, Comtemporary Mathematics 81 (1988) 59.        [ Links ]