Investigación                              

Estimación de parámetros usando la deconvolución y la pseudoinversa: descripción e implementación recursiva

J. J. Medel Juárez^a,b y C.V. García Mendoza^b

ª Centro de Investigación en Computación, Calle Venus S/N, Col. Nueva Industrial Vallejo, 07738, e–mail: jjmedelj@yahoo.com.mx

^b Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Calzada Legaría 694 Col. Irrigación, 11500, e–mail: varinia400@hotmail.com

Recibido el 18 de septiembre de 2009
Aceptado el 1 de diciembre de 2009

Resumen

En este trabajo se presenta un estimador de parámetros recursivo con base al modelo matricial de deconvolución como proceso de filtrado, con el cual es posible conocer la dinámica interna del modelo tipo caja negra con respuesta lineal, y con evolución invariante en el tiempo. La extensión del proceso de convolución a un periodo de tiempo conformado por un grupo de intervalos en los cuales el sistema no cambia de contexto, permite hacer una aproximación al producto matricial con base en el cual el sistema real, dadas sus entradas y salidas dentro de ese periodo de tiempo, será visto como un sistema multivariable al no cambiar de contexto y al mantener sus condiciones de invarianza, de manera que es necesario el uso de la pseudoinversa en la estimación, ya que se observan problemas de inversión y de singularidad en su desarrollo. De igual forma, las medidas de dispersión respecto a una referencia, considerando la traza tanto de la matriz de referencia como de su estimada, permiten describir al error cuadrático medio, decibeles y Bode, todos desarrollados de manera recursiva, estableciendo un enlace con sus estados inmediatos anteriores para el consumo de la menor cantidad de recursos computacionales. Se realiza una descripción de las condiciones de estabilidad a cubrir por el estimador tomado en cuenta los criterios de Lyapunov. De manera ilustrativa, se presento una simulación utilizando MatLab^® [7], en la que las formas extendidas dentro de un intervalo de tiempo son vistas como matrices no cuadradas, permaneciendo el sistema invariante respecto a un vector de entrada, y se tiene como resultado un proceso de estimación recursivo. Se concluyó que en el proceso de deconvolución, la estimación extendida es una herramienta para sistemas no cuadrados con evolución invariante en el tiempo.

Descriptores: Deconvolución; pseudoinversa de un matriz; funcional del error; diagrama recursivo de Bode; estabilidad de Lyapunov.

Abstract

This work presents a parameter estimator in recursive form based in deconvolution matrix model as a discrete filter process, in which is possible to know the internal convolution dynamics respect to black box with time invariant lineal answer. Extending the convolution process to a period conformed by a group of intervals where the system doesn't change, allows the approximation to matrix description in base to the real system, giving their inputs and outputs in the same period, generating a multivariable description, without change the context holding its invariance conditions, needs the pseudoinverse estimation, because observe in it singularities and inversion problems. In the same way the dispersion measures respect to the reference, considering the trace as the reference matrix as its estimated, described by the mean square error, Decibels and Bode, all of its developed in recursive form, allowing to link between its immediate past states to consume the minimal computational resources. The stability conditions evolved required estimator, considered in this case the Lyapunov Criteria. In illustrative sense, develop us the simulation in where the extended matrixes are non square form and bounded temporally into time interval, considering time invariant conditions respect to bounded input, having a recursive estimator as a final result. In this work concluded considering that the deconvolution as an estimator is a tool required for non square systems invariant in the time.

Keywords: Deconvolution; inverse matrix; pseudoinverse; functional error; recursively; Lyapunov stability.

PACS: 02.30.Yy; 02.70.Bf; 02.10.Yn; 02.60.–x; 84.30.Vn

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

Referencias

1. P. Bandzuch, M. Morhác y J. Kristiak, Study of the Van Cittert and Gold Iterative Methods of Deconvolution and their Application in the Deconvolution of Experimental Spectra of Positron Annihilation (Elsevier Science Publishers A1997) p. 506.        [ Links ]

2. M. Chacón, Procesamiento Digital de Imágenes (Trillas, 2007).        [ Links ]

3. S. Cordero, CNDG–Library Geophysical Institute of Peru 4 (2003) 131.        [ Links ]

4. J.I. De la Rosa et al., Computación y Sistemas 10–2 (2006) 135.        [ Links ]

5. R.C. Dorf y R.H. Bishop, Sistemas de Control Moderno, (Pearson 2005).        [ Links ]

6. C.V. García y J.J. Medel, Filtrado por Deconvolución, 2do. Simposio de Tecnología Avanzada (IPN2008) 60.        [ Links ]

7. J.C. García et al., Sistemas con Lógica Difusa (IPN 2009).        [ Links ]

8. M.S. Grewal y A.P. Andrews, Kalman Filtering Theory and Practice (Prentice Hall 1993).        [ Links ]

9. S. Haykin, Adaptive Filter Theory (Prentice Hall, 2002).        [ Links ]

10. J.G. Holbrook, Transformadas de Laplace Para Ingenieros en Electronica (Limusa, 1990).        [ Links ]

11. P.A. Jansson, Deconvolution with Applications in Spectroscopy (Academic Press, 1984).        [ Links ]

12. E. Kreyszig, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería (Vol.I, Limusa, 2003).        [ Links ]

13. D.C. Lay, Linear Algebra and its Applications (Pearson, 1999).        [ Links ]

14. J.J. Medel, Computación y Sistemas 5–3 (2008) 215.        [ Links ]

15. J.E. Marsden y A.J. Tromba, Cálculo Vectorial (Addison Wesley, 1988).        [ Links ]

16. J. J. Medel, P. Guevara y D. Cruz, International Conference on Mathematical Methods and Computational Techniques in Electrical Engineering 7 (2005) 214.        [ Links ]

17. W. Mendenhall y T. Sincich, Probability and Statistics for Engineering and Science (Prentice Hall, 1997).        [ Links ]

18. B. Noble y J.W. Daniel, Applied Linear Algebra (Prentice Hall, 1989).        [ Links ]

19. K. Ogata, Discrete Time Control Systems (Prentice Hall, 1996).        [ Links ]

20. A.V. Oppenheim y A.S. Willsky, Señales y Sistemas (Pearson, 1998).        [ Links ]

21. A.S. Poznyak y K. Najim, Learning Automata and Stochastic Optimization (Springer–Verlag, 1997).        [ Links ]

22. V.S. Pugachev, Introduction to the Theory of Probability (Mir Moscú, 1973).        [ Links ]

23. R. Snieder, J. Sheiman y C. Rodney, Phys. Rev. E 73 (2006) 066620.        [ Links ]

24. M.A. Toledo y J.J. Medel, International Conference on Automation and Information 8 (2007) 271.        [ Links ]