Investigación

Fluctuaciones aleatorias en la acción quimioterapéutica sobre tumores cancerosos

A. Castellanos–Moreno*, J. Argüelles–Campoy, A. Corella–Madueño, S. Gutiérrez–López y R.A. Rosas–Burgos

Departamento de Física, Universidad de Sonora, Apartado Postal 1626, 83000, Hermosillo, Son. MÉXICO.

* Corresponding author:
e–mail: acastell@correo.fisica.uson.mx

Recibido el 27 de octubre de 2008
Aceptado el 20 de enero de 2009

Resumen

Consideramos una parte suficientemente pequeña de un tumor, tal que las densidades de células cancerosas y de linfocitos pueden ser consideradas independientes de su posición en el espacio. Así, disponemos de un modelo no espacial en el cual los nacimientos y las defunciones aleatorias de ambos tipos de células son tratados mediante procesos de un paso y modelamos el efecto de la quimioterapia sobre el sistema físico. Utilizamos el desarrollo omega de van Kampen para separar la parte macroscópica de la microscópica. La primera es descrita mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y no lineales, mientras que la microscópica se describe mediante una ecuación de Fokker–Planck que describe un ruido gaussiano en el que las fluctuaciones medias y sus autocorrelaciones centradas satisfacen ecuaciones lineales que son sistemas no autónomos. Estudiamos numéricamente la parte macroscópica y encontramos que existen dos cuencas: una de paciente saludable y otra de resultado fatal, tal que el incremento de la acción quimioterapéutica puede modificar el resultado fatal por uno de paciente saludable. Además, consideramos la conducta asintótica de la parte microscópica mediante la obtención de los eigenvalores de las matrices involucradas. Nuestros resultados sugieren que aun cuando macroscopicamente hay estabilidad en la cuenca de paciente saludable, microscópicamente pueden existir fluctuaciones aleatorias con desviación estándar no acotada, lo cual podría traducirse en la reaparición de la enfermedad.

Descriptores: Ruido; modelos matemáticos; cáncer; tumores.

Abstract

A small patch of a tumor is considered, so that lymphocytes and cancerigenic cell densities are independent of the spatial position. So, a non spatial model with random transition birth and death rates are treated through one–step processes and such that chemotherapy on the physical system is included. Van Kampen expansion is used to separate a macroscopic and a microscopic part. The first one is described through a set of two nonlinear and coupled ordinary differential equations, and the microscopic part is described by using a Fokker–Planck equation. Evolution on time of the mean fluctuations and autocorrelation functions of noise are linear non autonomous systems. The macroscopic part is studied numerically, so that two basins are found, one of fatal results and other of healthy patient. Jacobian matrix has negative eigenvalues, so that there are stable attractor points inside each basin. When a chemotherapy parameter is increased, the final macroscopic state is moved from fatal to healthy basin. While macroscopic stability is found, microscopic results are very different and this is seen by studying the asymptotic behavior of the random fluctuations. This is done by evaluating the eigenvalues of the involved matrices and it is found that random fluctuations has unbounded standard deviations, suggesting that disease could appear again.

Keywords: Noise; mathematical models; cancer; tumors.

PACS: 02.50.Ey; 05.40.–a; 87.10.+e

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Referencias

1. R.H. Thomlinson y L.H. Gray, Brit. J. Cancer 9 (1955) 539.        [ Links ]

2. ISI Web registra 5722 artículos desde 1981 hasta octubre de 2008, con 2769 artículos (48.39 % de ellos) en los ultimos cinco anos, y de estos últimos, 588 trabajos (más de 20 %) en los primeros tres trimestres de 2008.

3. B. Alberts, A. Johnson, J. Lewis, M. Raff, K. Roberts y P. Walter, Molecular Biology of the Cell (4th edition) (Garland Science, NY, USA 2002) p. 1313.        [ Links ]

4. R.K. Jain, J. Controlled Release 74 (2001) 7.        [ Links ]

5. W.X. Liu, T. Hillen, y H.I. Freedman, Math. Biosci. Eng. 4 (2007) 239.        [ Links ]

6. M. Kohandel, S. Sivaloganathan, y A. Oza, J. Theor. Biol. 242 (2006) 62.        [ Links ]

7. E.S. Norris, J.R. King, y H.M. Byrne, Math. Comp. Modelling 43 (2006) 820.        [ Links ]

8. U. Ledzewicz y H. Schättler H., Math. Biosci. 206 (2007) 320.        [ Links ]

9. J. Panovska, H.M. Byrne y P.K. Maini, Math. Comp. Mod. 47 (2008) 560.        [ Links ]

10. M. Kohandel, M. Kardar, M. Milosevic y S. Sivaloganathan, Phys. Med Biol. 52 (2007) 3665.        [ Links ]

11. J. A. Adam, Math. Biosciences 86 (1987) 183.        [ Links ]

12. T. Alarcon, H.M. Byrne y P.K. Maini, Multiscale Model. Simul. 3 (2005) 440.        [ Links ]

13. M.I.G. Bloor y M.J. Wilson, J. Theor. Med. 1 (1997) 153.        [ Links ]

14. T.S. Deisboeck, T. Demuth y Y. Mansury, Acta Biotheoretica 53(2005) 181.        [ Links ]

15. A. Castellanos–Moreno, Rev. Mex. Fis. 42 (1996) 236.        [ Links ]

16. J. A. González, L. Quintanar Medina, y E. Ortiz Hernández, Rev. Mex. Fis. 40 (1994) 616.        [ Links ]

17. A.J. McKane, y T.J. Newman, Phys. Rev. E 70 (2004) 041902.        [ Links ]

18. N. G. van Kampen, Stochastic processes in physics and chemistry (North–Holland, 1992).        [ Links ]

19. A. Castellanos, A.C.C. Coolen, y L. Viana, J. Phys. A. 31 (1998) 6615.        [ Links ]

20. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems (Springer–Verlag, Berlin, 1990).        [ Links ]

21. C. Imaz, Z. Vorel, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Ed. LIMUSA, México 1975).        [ Links ]

22. M.C. Macey ed., Flow Cytometry: Principles and Applications (Humana Press, New Jersey, 2007).        [ Links ]

23. P. Dubey et al., Proc. Natl. Sci. USA 100 (2003) 1232.        [ Links ]

24. S.J. Dodd et al., Biophys J. 76 (1999) 103.        [ Links ]

25. G.N. Naumov et al., J. Cell Sci. 112 (1999) 1835.        [ Links ]

26. T.J. Sweeney et al., Proc. Natl. Acad. Sci. 96 (1999) 12044.        [ Links ]