Group averaging and the Ashtekar–Horowitz model

Alberto Molgado

Facultad de Ciencias, Universidad de Colima, Bernal Díaz del Castillo 340, Col. Villas San Sebastián, 28045 Colima, México, e–mail: albertom@ucol.mx

Recibido el 1 de mayo de 2006
Aceptado el 1 de noviembre de 2006

Abstract

We investigate refined algebraic quantisation of the constrained Hamiltonian system known as the Ashtekar–Horowitz model. We study two versions of this model which are defined on a two–torus and on a cylinder, respectively. The dimension of the physical Hilbert space depends on the topological structure of the model. In particular, we see that for the compact version of the model the representation of the physical observable algebra is irreducible for generic potentials but decomposes into irreducible subrepresentations for certain special potentials. The superselection sectors are related to singularities in the reduced phase space and to the rate of divergence in the formal group averaging integral. For both versions, there is no tunnelling into the classically forbidden region of the unreduced configuration space.

Keywords: Group averaging; constrained systems; superselection sectors.

Resumen

En este artículo se investiga la cuantización algebraica refinada del sistema Hamiltoniano con constricciones conocido como el modelo de Ashtekar–Horowitz. Se estudian dos versiones de dicho modelo, las cuales están definidas en un toro de dos dimensiones y en un cilindro, respectivamente. La dimensión del espacio de Hilbert físico depende de la estructura topológica del modelo. En particular, se encuentra que en la versión compacta del modelo la representación del álgebra de los observables físicos es irreducible para ciertos potenciales genéricos pero se descompone en sub–representaciones irreducibles para ciertos potenciales especiales. Los sectores de superselección están relacionados tanto con las singularidades en el espacio fase reducido, así como con el grado de divergencia en las integrales al promediar sobre el grupo. En ambas versiones, no hay tunelamiento en las regiones del espacio no reducido de configuración prohibidas clásicamente.

Descriptores: Promedio sobre el grupo; sistemas con constricciones; sectores de superselección.

PACS: 04.60.Kz; 03.65.Fd

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Acknowledgements

I thank Jorma Louko for collaboration and discussions.

References

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