2. 1. La invalidez de las reglas de la validez

Diversos autores han argumentado que hay algo erróneo en las reglas de la validez adoptadas para derivar V-Curry. Por supuesto, la idea se conecta con el hecho de que las reglas de la validez podrían no estar siendo bien aplicadas. En especial, las sospechas recaen sobre las diversas formulaciones de V S ₁. Así, tomemos la segunda derivación, la idea es que para concluir Val(<Φ>), Φ debería haberse obtenido como teorema simplemente por fundamentos lógicos siempre que Val(<…>) capture el concepto de validez lógica. Y tal cosa, se argumenta, no parece ser el caso. Siguiendo esta estrategia, algunos lógicos como ^{Ketland (2012)} y más recientemente ^{Cook (2014)} han ido incluso más lejos. Las sospechas sobre V S ₁ los han llevado a negar que exista una legítima paradoja de la validez.

De este modo, de acuerdo con Ketland y Cook, si los predicados Val(<…>, <…>) y Val(<…>) en las dos anteriores derivaciones intentan capturar la validez lógica, los argumentos que concluyen trivialidad son un equívoco. El punto de partida de ambos es enfatizar el nexo entre validez y prueba. Dada una derivación lógica de una fórmula , estamos autorizados a inferir que Φ es válida. Una vez aludido este punto, la pregunta crucial es qué recursos son necesarios para producir V-Curry. Y, aquí, los autores nos piden que recordemos que la equivalencia entre K y Val(<K>, <┴>) no es una verdad lógica, sino una verdad aritmética. Es decir, debería notarse que cuando aplicamos el lema de diagonalización a una K tal que:

obtenemos un teorema de la aritmética. Por eso, la inferencia de [1] a [2] depende de la aritmética (y no sólo de la lógica). Y, como resultado de esto, la prueba de [1] a [4] no constituye una prueba de una contradicción que lógicamente se seguiría de la suposición inicial, sino que la aritmética junto con V S ₂ implica que una contradicción se sigue a partir de K. Por eso, no sería correcto aplicar V S ₁ en[5]. En este sentido, examinando la versión de Beall y Murzi sobre la paradoja, Jeffrey Ketland concluye que no deberíamos permitir el uso de la aritmética y las reglas de validez en la subprueba que termina con la aplicación de V S ₁:

el hecho de que Φ sea un teorema de V-logic no implica que Φ sea en sí misma válida o lógicamente verdadera. Por ejemplo, Val(<0 = 0>) y Val(<0 = 1>)→ 0 = 1 son teoremas de V-logic, pero ninguna de las dos es válida. En forma análoga, el hecho de que se derive cierto resultado usando reglas o axiomas para los números naturales (e.g., el esquema de inducción o la regla de inducción o una regla ω) no implica que tales resultados sean válidos. En el marco habitual de la lógica de primer orden, la validez Φ de es equivalente a que Φ sea lógicamente derivable; y ésta es la razón por la cual la regla de introducción (V-In) se restringe. Por eso, se puede inferir Val(<Φ>) sólo si Φ ha sido derivada usando lógica. Si además han sido usados principios no lógicos para probar Φ, entonces podría no ser válida. (2012, p. 426; la traducción es mía.)

donde V-logic es interpretado como la noción de consecuencia lógica en la “lógica de la validez” y V-In (como la correspondiente V S ₁).⁵ Sólo para enfatizar: ni la aritmética ni las reglas que rigen la validez serían lógicamente válidas. Por lo tanto, ni la aritmética ni las reglas de la validez pueden correctamente ser aplicadas junto con V-In (o la de la correspondiente V S ₁). Por eso, habría varios pasos incorrectos en las derivaciones de V-Curry, producto de confundir asuntos aritméticos y semánticos con asuntos lógicos.

Nótese que no hay una analogía entre verdad y validez. Volviendo la segunda derivación de V-Curry, recuérdese que en esta versión tenemos una oración que afirma de sí misma que no es válida. Esa oración se demuestra dentro de una teoría H. Esa teoría debería ser una teoría de la validez capaz de probar que hay una oración que afirma su invalidez. El punto señalado es que en V-Curry se estaría demostrando una oración que no es válida usando recursos de una teoría que excede la validez lógica. Por eso, que una teoría que use más recursos que los lógicamente permitidos pruebe que una oración no afirma que ella no es válida no debería sorprendernos. Esto no es análogo al caso de la paradoja del mentiroso, en la cual nos está permitido usar más recursos que los recursos lógicos para generar la oración que produce la paradoja.

2. 2. La validez lógica puede capturarse en PA

Usando recursos de la lógica clásica, si se quiere evitar la trivialidad, verdad no puede capturarse dentro de PA. Ketland prueba, en cambio, que el predicado de validez lógica puede capturarse en PA, si la mencionada noción es entendida de manera correcta. Habíamos visto diversas sospechas acerca de V S ₁. Sus aplicaciones en la presunta paradoja de la validez excedían el alcance de los recursos lógicos. Recuérdese que los recursos usados en las pruebas de V-Curry implican: lógica clásica de primer orden, aritmética de Peano formulada en primer orden y las reglas de la validez. ^{Cook (2014)} describe las cuatro posibles opciones para la formulación de la regla de introducción de la validez de la siguiente manera:

donde ├ _{V Log} se interpreta como la noción de consecuencia lógica en la lógica de la validez; ├ _L como la noción clásica de consecuencia lógica para los lenguajes de primer orden; ├ _L+V como la noción de consecuencia lógica a la que se le agregan los recursos deductivos de las reglas de la validez; ├ _L+PA como la noción de consecuencia lógica a` la que se le adicionan los recursos de la aritmética y, finalmente, ├ _L+V+PA como la noción de consecuencia lógica a la que se le suman todos los recursos mencionados.

En este punto, Ketland defiende que sólo V S ₁ ^L es admisible. El cambio más relevante es en el antecedente de la regla V S ₁ que prohíbe el uso de la aritmética o las reglas de validez en las subpruebas que terminan con la aplicación de V S ₁. Sólo aquello que es probado usando recursos lógicos es declarado como válido dentro de la lógica de la validez. Aquello que para ser probado requiere más recursos (las reglas de la validez y la aritmética) no puede ser estrictamente declarado lógicamente válido.

Ketland muestra que bajo esta formulación de las reglas de la validez ellas continúan valiendo en PA. Esto significa, sencillamente, que la validez lógica es expresable usando recursos aritméticos (a diferencia de lo que sucede con el concepto de verdad). De hecho, la teoría ampliada con las reglas (“correctas”) de la validez es una extensión conservadora de PA. Para apreciar el punto, sea L _PA un lenguaje de primer orden capaz de expresar las nociones de la aritmética. Sea L _PA+ el resultado de agregar a L _PA el predicado de validez. Entonces sea PA ^H la aritmética de Peano formulada en L _PA+ con inducción aplicable incluso a las fórmulas de L _PA+ .

TEOREMA 1 (^{Cook 2014}): PA ^H es una extensión conservadora res-pecto de PA.

Su prueba es como sigue: Sea Val(x, y) = BewØ(x, y), esto es, un predicado de L _PA+ que codifica de un modo natural en la aritmética el conjunto recursivamente enumerable de argumentos lógicamente válidos (incluyendo el caso límite de verdades lógicas). Entonces es sencillo mostrar que las reglas de Val reinterpretadas con BewØ(x, y) extienden consistentemente a PA.

PA ^H = PA U{BewØ(<Φ>, <Ψ>) → (Φ→Ψ)}, donde “Φ” y “Ψ” están en el lenguaje de PA. De lo que se sigue que V S ₁ ^L y V S ₂ son interpretables en PA ^H .

Por lo tanto, si V S ₁ ^L +V S ₂ +PA fueran inconsistentes, entonces PA ^H sería inconsistente. PA ^H , sin embargo, es verdadera en el modelo estándar de PA. Por lo tanto, no puede ser inconsistente.

COROLARIO 1 (^{Ketland 2012}):

donde ├ _CL es la noción clásica de consecuencia y ├ _V-Log la noción de consecuencia de la lógica de la validez. Esto conduce a que:

La prueba simplemente es una consecuencia inmediata del teorema 1.

Recordemos que estos resultados se obtienen a partir del hecho de que el conjunto de las verdades lógicas (y razonamientos válidos) puede ser codificado en la aritmética de primer orden por medio de un predicado de prueba. En este caso, puesto que las reglas de la validez pueden agregarse de manera consistente a tal sistema, no puede haber una paradoja de la validez (al menos si el funcionamiento lógico de esa noción está dado por las mencionadas reglas). Y, debido al resultado de completitud de la lógica de primer orden que vincula validez con prueba, no parece haber lugar para el surgimiento de paradojas de la validez.

3. 1. Validez semántica, aritmética y trivialidad

TEOREMA 2: la aritmética no puede capturar el predicado de validez semántica de la lógica de segundo orden.

Esquema de la prueba: supongamos, como hemos dicho, que V al _S (<…>) es un predicado que captura la validez modelo-teórica de una teoría lógica de segundo orden en PA ². Entonces, las reglas para V al _S (<…>) deberían ser consistentes con PA ². Sin embargo, tal cosa no es posible, pues sabemos que PA ² da una descripción categórica del modelo estándar de la aritmética. Sea “N” ese modelo. Sea “Φ” una fórmula en el lenguaje de la aritmética que sólo contiene cuantificadores de primer orden. Recuérdese que PA ² es finitamente axiomatizable. Sea ^PA ² la conjunción finita de los axiomas de la aritmética de segundo orden. Entonces,

Pero, por el teorema de Tarski, esta equivalencia expresa una condición que no puede ser aritméticamente capturable. Por lo tanto, validez lógica de segundo orden tampoco puede serlo.

Esto significa que, a diferencia de lo que sucede con la noción de validez para los lenguajes de primer orden, la aritmética no puede capturar consistentemente la noción de validez semántica para los lenguajes de orden superior. Por eso, la estrategia de Ketland que muestra que hay una extensión conservativa de la aritmética capaz de capturar la mencionada noción no está disponible para el presente caso.

3. 2. Hacia una V-Curry usando recursos de orden superior

Sea L _SO un lenguaje de segundo orden capaz de expresar las nociones de la aritmética. Sea L _SO+ el resultado de agregarle a L _SO el predicado de validez V al _S (<…>). Finalmente sea H' la teoría de segundo orden resultado de agregar a la lógica de segundo orden las siguientes reglas de la validez:

y

Por supuesto, la idea es que estas reglas capturen la noción de validez de la lógica de segundo orden. La siguiente demostración revela que tal suposición genera una V-Curry. Ahora bien, es importante recordar que, a diferencia de la aritmética de primer orden que contiene una formulación esquemática del principio de inducción matemática, la aritmética de segundo orden es finitamente axiomatizable. Por la conocida técnica de Ramsey, al usar recursos de orden superior, podemos capturar directamente las nociones aritméticas necesarias para diagonalizar como parte de los recursos expresivos de la lógica. Sea ˄PA ² la conjunción de los axiomas de PA ². Así se obtiene en H' una oración K ↔ V al _S (<K ˄ PA ²> → <┴>).

TEOREMA 3: H es inconsistente⁷

Pero, por V S ₁ ├

En efecto, la prueba puede generalizarse. Y lo que ésta demuestra es que el argumento con la conjunción de los axiomas de ˄PA ² junto a la oración K como premisa, donde ┴ es válido, significa que H' es trivial.

TEOREMA 4: sea H' una teoría resultado de extender una axiomatización de la lógica de orden superior (LOS) con las siguientes reglas de la validez:

y

Entonces, H'es inconsistente.

Las pruebas del primer apartado muestran cómo probar una inconsistencia en H' a partir de la generación de una oración K. Lo que significa que no es posible capturar la noción de validez semántica para la LOS en una H' que sólo agregue a la LOS las mencionadas reglas de introducción y de eliminación de la validez.

Estos resultados son de vital relevancia para la admisión de una legítima paradoja de la validez para el caso de los lenguajes semánticamente cerrados de orden superior:

Estas conclusiones son suficientemente significativas y se les deben destacar. El desarrollo de una teoría de la validez H para lenguajes semánticamente cerrados que contengan recursos lógicos de orden superior presenta un obstáculo insalvable, si esos recursos son clásicos. Esto es, la versión de

resulta inaceptable para lenguajes con los mencionados recursos. Una teoría de la validez H' que incluya recursos lógicos de orden superior y las versiones correspondientes de las reglas de la validez resulta trivial, por lo cual, no parece haber una manera naïve de capturar la mencionada noción que no genere una inconsistencia.

Sin embargo, queda abierta la discusión sobre el estatus lógico de las reglas de la validez. Para tal discusión es crucial considerar a H como una teoría que sólo incluye recursos lógicos. Por eso, las reglas que presuntamente gobiernan el comportamiento inferencial de la noción de validez también deberían considerarse lógicas. De este modo, si resultara imposible bloquear la derivación de V-Curry en la lógica de orden superior incrementada con las reglas correspondientes de la validez, habría una legítima paradoja de la validez lógica. Es decir, dado que la validez no puede ser codificada en la aritmética, y sólo podría serlo por medio de reglas primitivas como V S ₁ y V S ₂, una lógica de la validez que con las reglas de la validez extendiera a la lógica de orden superior resultaría inconsistente.⁸ Si las reglas de la validez fueran “lógicamente válidas”, y sus aplicaciones generaran trivialidad, habría lugar para la generación de una V-Curry. Por supuesto, esto aún no es suficiente para rechazar la posición de Ketland-Cook según la cual no hay una legítima paradoja de la validez lógica. Resta argumentar a favor de la validez de las reglas de la validez.

3. 3. La validez de las reglas de la validez

Es claro que para que las reglas de la validez puedan ser consideradas lógicamente válidas hay que argumentar que la noción de validez es una noción lógica. Si bien las mencionadas reglas son intuitivamente válidas en sentido semántico, o sea, V S ₁ es transmisora de verdad y V S ₂ es siempre verdadera, esta información podría ser insuficiente para establecer el carácter lógico de la mencionada noción. Con todo, es preciso notar que cuando estamos trabajando en orden superior (debido a la carencia de un resultado como el de Kreisel para los lenguajes de primer orden que establece la equivalencia extensional entre las nociones de validez intuitiva y de validez modelo-teórica), la nombrada noción intuitiva cobra una importancia especial. Así, tomemos, por ejemplo, la siguiente inferencia:

donde n se aplica a cualquier expresión que denota un número natural. Es intuitivamente cierto que la oración universal se sigue de la totalidad de las oraciones particulares. Esto es, si todas las premisas de esta regla son verdaderas, la conclusión debe serlo. Incluso, como es bien conocido, esta inferencia la destaca el propio Tarski como caso de validez lógica (^{Tarski 1936}), y parece claro que, si esta inferencia infinitaria es intuitivamente válida en el mismo sentido, las reglas de la validez también deberían serlo en el mismo sentido.

Sin embargo, sería posible pensar que la preservación de verdad en sentido intuitivo no es suficiente para que una regla sea lógica-mente válida. Es decir, podría argumentarse que hace falta algo más para que las reglas de la validez sean consideradas lógicas. Podría señalarse, por ejemplo, que hay inferencias transmisoras de verdad que no son lógicamente válidas. En este sentido, la noción misma de validez podría no ser considerada una expresión lógica y entonces, aunque mostremos que teorías como H' son inconsistentes en cuanto teoría de la validez, esta inconsistencia no sería demostrada usando sólo recursos lógicos. Ésta parece ser la línea que Ketland y Cook siguen para exportar los problemas fuera del ámbito lógico. Claro que hay importantes matices que diferencian la actitud de ambos. En el caso de Ketland, es evidente que él asume que validez no es una noción lógica, quizá porque le parezca una posición obvia de adoptar. Probablemente, tal visión esté comprometida con la idea de que hay características constitutivas acerca de la naturaleza de las expresiones lógicas y que tal cosa nos permite trazar una clara demarcación entre lo que es lógico y lo que es extralógico, colocando a validez en este último grupo.

No obstante, considero que ambos aspectos (naturaleza y demarcación de lo lógico) están sujetos a discusión, y no resulta fácil dar una caracterización precisa sobre lo que significa que una expresión sea lógica. En efecto, se puede mantener que hay una división entre expresiones lógicas y no lógicas, sin defender la tesis según la cual hay algo que esencialmente convierte en lógica a una expresión. O incluso se puede ir más allá y dudar acerca de la posibilidad de trazar una correcta demarcación entre lo que es lógico y lo que no lo es. Tal demarcación podría ser incluso vista como un seudoproblema (^{Etchemendy 1990}, ^{Barwise y Feferman 1985}, ^{Gómez Torrente 2002}, ^{Read 1994}).⁹ Todo criterio que se ofrezca podría estar fuera de lugar, ya que estaría limitando la posibilidad del estudio de las inferencias correctas de un nuevo campo de aplicación. Por ello, y a diferencia del tratamiento de Ketland, la cuestión dista de ser evidente. Y, ciertamente, también quiere decir que existe una dificultad inicial para dar un argumento concluyente a favor de considerar la noción de validez como una noción lógica. Empero, intentaré dar plausibilidad a tal decisión, descartando cada una de las potenciales razones en contra de considerarla una razón lógica.¹⁰

Una primera objeción es la siguiente: las nociones lógicas son invariantes, esto es, sus interpretaciones deben quedar fijas en todo modelo admisible. Pero, parece evidente que la validez no posee esta característica. Tal como aparentemente sucede con otros predicados, por ejemplo ser mayor que o ser un número natural, parece haber reinterpretaciones posibles a Val(...), que la convierten en un típico caso de expresión extralógica. Sin embargo, considero que, aunque las dudas en esta dirección sean atendibles, no es claro que exista un modo natural de establecer cuáles son los modelos admisibles sin presuponer ya una demarcación. Piénsese en nociones como creencia y conocimiento, necesidad y posibilidad, que pueden ser o no ser consideradas lógicas dependiendo de cómo se estipulen los modelos admisibles. Así, una lógica de la validez tanto como una lógica de la verdad parecen correr la misma suerte que una lógica epistémica o modal. Por supuesto, esto no significa mantener que no hay una división entre expresiones lógicas y no lógicas. Simplemente, no es claro que haya algo que impida esencialmente dejar fija la interpretación de tales nociones, haciendo que su comportamiento sea el de una expresión lógica. Esto es, no parece haber ninguna característica intrínseca que permita establecer una única y correcta división, ya que se puede especificar la clase de los modelos admisibles de diferentes maneras y, dependiendo de cómo se haga esto, se establecerán diferentes divisiones entre lo lógico y lo extralógico. Claro que para eso hay que definir una clase de interpretaciones admisibles y, lo que es más central aún, hay que preguntarse si hay buenas razones para mantener fija la interpretación de validez. De manera general, estas razones usualmente están vinculadas a la necesidad de mantener fija la interpretación de una noción para abrir un nuevo rango de posibilidades en el estudio de las inferencias. En este punto, hay razones expresivas relacionadas con la noción de validez que motivan el estudio de la corrección de las inferencias asociadas al mencionado concepto. Es decir, cuando evaluamos sistemas lógicos afirmamos que:

Todos los teoremas de una lógica son válidos

o que:

Las fórmulas de un lenguaje son válidas o no lo son.

Y, en especial, cuando trabajamos con teorías lógicas de orden superior, decimos que:

La totalidad de las fórmulas válidas no pueden ser axiomatizadas.

Tales generalizaciones, al igual que lo que ocurre con aquellas que involucran el concepto de verdad, desempeñan un papel expresivo relevante en nuestras reflexiones acerca de la lógica. Es evidente que razonamos usando estos conceptos que permiten capturar información que de otra forma no podría expresarse. Y podríamos estar interesados en saber si lo estamos haciendo correcta o incorrecta-mente. El papel de la lógica como reguladora de nuestras prácticas argumentativas resulta fundamental en este asunto. De esta manera, podríamos estar interesados en desarrollar una lógica acerca de la noción de validez que delimite los principios inferencialmente correctos vinculados a esta noción, manteniendo fija la interpretación de un predicado Val(. . . ) restringiendo los modelos admisibles.

Evidentemente podría insistirse en que, más allá de si resulta o no plausible restringir los modelos admisibles para fijar la interpretación de validez, lo lógico requiere siempre neutralidad ontológica. Lo cual quiere decir, entre otras cosas, no tener que incluir entidades especia-les cuando evaluamos la admisibilidad de un potencial modelo. Esto es, lo que sería constitutivo a una expresión lógica es ser insensible a las identidades particulares de objetos. Así, tales nociones debe-rían ser inmutables a cualquier permutación arbitraria del dominio de objetos. Su contenido debería permanecer inalterado bajo toda permutación de los modelos que permita alterar las interpretaciones. Más aún, las constantes lógicas no deberían ser sensibles a la particular presencia de individuos en el dominio. Una ventaja de este criterio, además, es que parece estar filosóficamente bien motivado: la invariabilidad bajo permutación parece reflejar tanto la formalidad de las nociones lógicas (^{Sher 1991}), como su generalidad (^{Tarski 1986}) y la neutralidad de la lógica respecto de su tema. Las nociones invariantes son formales y neutrales en el sentido de no depender de la identidad o elección particular de los objetos de un dominio de discurso. Este criterio también parece, al menos en un principio, exitoso para clasificar lo que intuitivamente parece lógico y lo que no.¹¹ De este modo, la objeción sería que validez no es una noción lógica, ya que es un predicado que se aplica a objetos específicos: fórmulas de un lenguaje. Su aplicación requiere la existencia de fórmulas como objetos del dominio.

No obstante, es conocido que este criterio tiene inconvenientes con diversas expresiones no extensionales. De nuevo, nociones como necesidad, creencia o conocimiento son dependientes de dominios de mundos posibles, estados epistémicos y sus relaciones de accesibilidad. Ellas son sensibles a dominios particulares de objetos. Dejarlas fuera del ámbito de lo lógico no parece corresponderse con la práctica real de la disciplina. De acuerdo con este criterio, las lógicas epistémicas y modales no son lógicas. Tampoco las temporales. Dudas similares podrían plantearse con los cuantificadores de orden superior, ya que en su semántica estándar comprometen también cierto tipo de entidad específica: los conjuntos. Así, la interpretación de los cuantificadores de segundo orden no sólo necesita especificar un dominio de individuos sino el conjunto de los subconjuntos de los mismos, sobre los cuales los cuantificadores tienen su alcance. Y otra vez, las mismas consideraciones podrían hacerse con la noción de validez lógica. Si bien es claro que ella es sensible a la existencia de objetos particulares, dejarla fuera del ámbito de lo lógico por esta razón nos obliga a dejar también afuera otras nociones que por lo general son consideradas como lógicas. Incluso dentro de aquellos predicados que presuntamente cumplen requisitos como el de identidad, hay quienes han argumentado que podrían existir dudas razonables sobre la presunta neutralidad. Por ejemplo, ^{Varzi (2002)} sostiene que si se admiten modelos con objetos no idénticos a sí mismos, la identidad no debería ser considerada una noción lógica.

Antes afirmé que Ketland asume que validez no es una noción lógica. Pero Cook presenta una estrategia diferente. Él y yo aceptamos que la lógica es una disciplina formal, pero también defiende que validez no es una noción formal (Cook 2014). Su argumento requiere una respuesta si queremos tomar la decisión de fijar los modelos admisibles para que la interpretación quede fija. De acuerdo con Cook, la naturaleza formal de la validez requiere que instancias de sustitución uniforme de fórmulas lógicamente válidas sean lógica-mente válidas. Si la validez lógica debe ser cerrada bajo el requisito de sustitutividad, las reglas V S ₁ y V S ₂ deberían cumplir tal criterio. Sin embargo, el siguiente argumento mostraría que no lo cumplen.

Sustitutividad lógica:

Para toda fórmula Φ₁, Φ ₂, expresión no lógica Ψ y expresión β del mismo tipo que Ψ, si

es un argumento válido, entonces

es un argumento válido. Pero Cook argumenta que si asumiéramos que V S ₁ y V S ₂ son reglas lógicas, y se respetara la sustitutividad, se pueden probar afirmaciones absurdas:

Seudoteorema: V al(<Φ₁> + n, <Φ₂>+n) es una verdad lógica.

Prueba:

Ya que V S ₁ es válida, obtenemos:

Pero nótese que la fórmula anterior es de la forma

Y, por sustitutividad lógica, remplazamos “0” por un n, tal que n: s(s(s. .`. (0). . . )).

Es decir, para un n arbitrario, obtenemos que son verdades lógicas todas las instancias de

O sea, dado que validez es sensible al código aritmético que se utilice para representar las pruebas, de acuerdo con este criterio esta noción parece no caer del lado de lo lógico. Claro que lo anterior significaría que las reglas de la validez no son legítimas reglas lógicas.

Si bien es cierto que la noción de validez, al igual que las de verdad y prueba, es dependiente del código numérico, considero que esta dependencia no impide trabajar dentro de una lógica de la validez. Simplemente, el precio a pagar es que hay que fijar el código, usando nombres con una interpretación fija. Hay diversas maneras de hacerlo. Una opción es que algunos de los miembros del dominio funcionen como nombres lógicos de las fórmulas del lenguaje. Por ejemplo, David Ripley sigue esta opción en su lógica de la verdad transparente (2012). Sus modelos incluyen un conjunto de nombres canónicos para cada oración del lenguaje. Otra opción es trabajar directamente con modelos estándar (como lo hace ^{Field (2008)} en su lógica de la verdad transparente). Otros imponen restricciones a las reglas del sistema de prueba. Por ejemplo, Kremer, quien trabaja directamente con nombres (quotation names) con una interpretación fija impuesta con la siguiente regla del cálculo de secuentes (1988, pp. 256-259):

En todos los casos, se trata de mecanismos que evitan la sustitutividad en contextos afectados por el predicado de validez. Tal solución técnica evita las pruebas de los “seudoproblemas” a la Cook.

En síntesis, las reglas de la validez son transmisoras de verdad. Y aunque puedan existir dudas razonables acerca de cómo producir un tratamiento formal de un predicado de validez, esas dudas también se extienden a otras nociones que razonablemente forman parte de lo lógico. Desde un punto de vista técnico podemos restringir los modelos admisibles para fijar la interpretación de cualquier predica-do. Lo mismo podríamos hacer con los nombres para evitar fallas en la sustitutividad. Y lo que es más importante, saber qué inferencias que usan el concepto de validez son correctas o cuáles no lo son parece ser un motivo suficiente para iniciar una exploración lógica. Sin embargo, a diferencia de lo que sucede en primer orden, no tenemos un resultado de capturabilidad de validez en la aritmética que asegure consistencia (y, por lo tanto, nos haga desconfiar de la existencia de una legítima V-Curry). Más aún, la noción de validez lógica (semántica) para los lenguajes de orden superior es demasiado compleja como para poder ser capturada dentro del propio lenguaje. La suposición contraria origina una V-Curry que trivializa la extensión de la LOS con las correspondientes reglas de la validez. Esto significa que, a diferencia de lo que Cook y Ketland sostienen, el concepto de validez es asimismo un concepto problemático: la idea de evitar jerarquías, desarrollando una lógica de la validez dentro del lenguaje, también está sujeta a problemas.

4. Revisando la lógica a la luz de las paradojas

El hecho de que validez, al igual que verdad, sea un concepto que necesita ser salvado de las paradojas, puede extenderse a otras teorías. En este apartado voy a argumentar (i) que ciertos debilitamientos de la lógica clásica producidos con el objetivo de explicar el comportamiento de la noción de verdad transparente podrían generar una V-Curry, si se intentara a la vez capturar la noción sintáctica de validez y (ii) que la ampliación de los recursos expresivos dentro de un lenguaje que tratara de capturar la noción de validez semántica para la lógica de la verdad transparente desarrollada por Hartry Field también podría producir una V-Curry, ya que tal proyecto involucra-ría tanto la utilización de recursos de orden superior como las reglas de la validez en su formulación modelo-teórica.

Es bien conocido que, en años recientes, diversos autores han defendido la idea de revisar la lógica clásica a la luz de las paradojas semánticas. La propuesta es modificar la mencionada lógica con el propósito de caracterizar todas las nociones semánticas, incluyendo la noción de verdad, sin que se genere trivialidad. Si prestamos atención al uso del predicado veritativo en los lenguajes naturales, los vínculos entre aserción y verdad parecen indicar que la verdad debería ser transparente: lo que aceptamos es lo que tomamos como verdadero y lo que rechazamos es lo que no lo es. Así, por ejemplo, al aceptar que la nieve es blanca nos vemos comprometidos con su verdad, y si lo rechazáramos nos comprometeríamos a tomarlo como no verdadero. Sea Tr(. . . ) el predicado veritativo de un lenguaje, α una oración y <α> un nombre para . Técnicamente, la transparencia de la verdad consiste en que para toda , Tr(<α>) y α son intersustituibles en todos los contextos no opacos. Así, si

entonces, asumiendo que el condicional no genera contextos opacos se sigue por transparencia que:

Como he mencionado en el primer apartado de este trabajo, las modificaciones a la lógica clásica, producto de intentar capturar la noción de verdad transparente, deberían involucrar cambios en las propiedades lógicas de la negación (intentando evitar las conocidas oraciones mentirosas reforzadas) y del condicional (intentando evitar la paradoja de Curry). Un punto a destacar es que, luego de muchos años de trabajo, sabemos que las modificaciones deberían ser importantes. No es tan sólo que evitar las limitaciones expresivas producto del teorema de Tarski supone apartarse “un poco” de la lógica clásica. En particular, ^{Restall (2007)} muestra que la reforma debería ser drástica para el caso de la paradoja de Curry tradicional. Reglas lógicas como el MP y el TD, que son básicas en la caracterización de los condicionales, están en el centro de la disputa. Dado el paralelismo entre la paradoja de Curry tradicional y V-Curry, podemos extender las enseñanzas de Restall a un lenguaje que pretendiera, modificando sus propios recursos lógicos, capturar su propia noción de validez.

Sea H' una lógica de la validez (con respecto a un lenguaje L que incluye recursos autorreferenciales). Asumamos que H' es una teoría no clásica que incluye MP, SMP y TD, pero no otros principios inferenciales clásicos. Supongamos que el predicado V al _S (<…>) es capaz de capturar la noción de validez semántica en H' . Esto significa que la teoría debe ser cerrada bajo las reglas naïve de la validez. En particular, las siguientes reglas de la validez deberían ser lógicamente válidas:

donde la noción _H debe interpretarse como la noción de prueba de una lógica de la validez. Esto es, a diferencia de lo que sostienen Ketland y Cook, los recursos lógicos no son los de la lógica clásica de primer orden, sino los de una lógica revisada que permita sin trivialidad capturar la noción de validez. Por eso, nuevamente en la “lógica de la validez” H', VS ₁ es VS ₁ ^L+V+PA , es decir, los recursos lógicos de H' incluyen diagonalizar y las reglas de la validez.

TEOREMA 5: la lógica revisada H' es inconsistente.

Esquema de la prueba: las versiones de V-Curry del primer apartado muestran que tal lógica resultaría trivial, de lo que se sigue que, para evitar la trivialidad, validez para teorías lógicas del tipo de H resulta una noción inexpresable dentro de la teoría. Nótese, de paso, que MP, SMP y TD son principios realmente muy básicos. Por lo cual, los intentos de capturar validez revisando la lógica deberían explorar su abandono. Por supuesto, este camino tendría diversos inconvenientes. Más allá de la plausibilidad de una lógica sin MP, por ejemplo, quedaría aún la necesidad de explicar cómo compatibilizar tal abandono en una lógica que pretende capturar a la vez la nociones de verdad transparente y validez (entendida esta última como transmisión de verdad). Transmisión de verdad y MP parecen ir de la mano. Recordemos que la versión correspondiente de Seudo Modus Ponens:

parece desempeñar un papel central en una lógica que pretenda capturar validez.

Ahora bien, más allá de los principios inferenciales que debería evitar una lógica de la validez para no producir el surgimiento de inconsistencias, existe un segundo problema vinculado a la noción de validez semántica que también podría provocar limitaciones expresivas. Es común que una lógica de la verdad, esto es, un intento de revisión de la lógica clásica a la luz de las paradojas, por lo general sea presentada semánticamente. Esto se debe, en parte, a que expresar la transparencia de la verdad puede exceder en complejidad el marco de las teorías de primer orden.

Sea L un lenguaje de primer orden con vocabulario aritmético y N el modelo estándar de la aritmética. Sea L+ una extensión de L que contiene un predicado veritativo Tr y un condicional especial → cuyas leyes lógicas serán establecidas por medio de una construcción modelo-teórica. El enfoque de Hartry ^{Field (2008)} acerca de la noción de verdad transparente ofrece una lógica que permite definir el conjunto de fórmulas y razonamientos lógicamente válidos para el lenguaje L+. Tal lógica de la verdad transparente conserva las leyes de la lógica clásica para L y revisa las mismas para L+. De este modo, se alteran las leyes lógicas (no se aceptan el tercero excluido, la TD ni las leyes de absorción, por ejemplo) para evitar paradojas dentro de un lenguaje capaz de expresar sus propios recursos semánticos. En esta teoría, para darle una valuación a todas las fórmulas de L+, se combinan las técnicas kripkeanas que apelan a la idea de que la ver-dad es un punto fijo, con la técnica utilizada por los defensores de la teoría de la revisión que posibilita interpretar el predicado veritativo por medio de secuencias de revisión. Hay diferencias, sin embargo, con el enfoque de ^{Gupta y Belnap (1993)}. En primer lugar, en vez de utilizar secuencias de revisión para interpretar el predicado veritativo, Field las usa para asignar valuaciones al condicional especial →(i.e., un condicional no clásico pero que cumpla principios lógicos razonables). En segundo lugar, las secuencias de revisión para esos condicionales se construyen sobre la base de una semántica con tres valores de verdad (1, 12, 0) en lugar de dos.¹² No se necesita entrar en demasiados detalles técnicos para apreciar mi punto, sólo hace falta recordar que la interpretación de L+ en términos de un vocabulario conjuntista se comporta clásicamente. En general, la idea en el enfo-que de Field consiste en construir dos secuencias: una de valuaciones para condicionales y una de puntos fijos para las demás expresiones del lenguaje (incluyendo el predicado veritativo del propio lenguaje). La primera secuencia parte de la valuación que le asigna 12 a todos los condicionales. La segunda parte del punto fijo mínimo de Kripke. Para obtener los restantes miembros de la secuencia de valuaciones para condicionales se aplica una regla de revisión que le asigna el valor 1 al condicional A→B si a partir de algún punto de la secuen-cia de puntos fijos el valor de A es menor o igual al de B. Por otra parte, para obtener cada miembro de la secuencia de puntos fijos se aplican las cláusulas de K3 junto con el hecho de que el predicado veritativo es transparente. Todo este proceso de revisión de valores de verdad a las fórmulas L+ se realiza dentro de una secuencia de ordinales con objeto de asignar un valor de verdad estabilizado. De tal manera, el valor último de una fórmula A perteneciente a L+ está dado por el punto fijo kripkeano obtenido como consecuencia de este proceso de revisión. El valor último de A indica en qué valor se estabiliza A en una secuencia de revisión. A modo de ejemplo, la oración del mentiroso no genera inconsistencias, ya que adquiere el valor 12 en el punto fijo mínimo y mantiene ese valor a lo largo de toda la secuencia de revisiones.

Un resultado importante vinculado a este enfoque, probado por ^{Field (2008)}, es la existencia de un ordinal aceptable que permita generar las secuencias de revisión necesarias para las asignaciones de valores semánticos a todas las oraciones del lenguaje. Es decir, puede mostrarse que hay un ordinal Δ tal que para toda fórmula A perteneciente al lenguaje que contiene su propio predicado de verdad, en Δ a A se le asigna su valor de verdad último. Esto asegura tener una definición de validez semántica para un lenguaje que contenga su propio predicado de verdad transparente:

Otro aspecto relevante es que la teoría permite validar dentro de L+ toda instancia del esquema T utilizando el condicional especial. Claro que tal cosa puede hacerse debilitando las fórmulas y razonamientos válidos dentro de L+. Así, queda determinado un sentido interno de validez que permite explicar la interacción del predicado transparente de verdad junto con el comportamiento del condicional especial. Entonces, como hemos dicho, no resulta válido el principio de tercero excluido, falla el teorema de la deducción y otras leyes del condicional especial que evitan el surgimiento de paradojas. Todo este “costo” se paga logrando presuntamente inmunidad a las venganzas.

De acuerdo con Field, su enfoque permite describir la semántica de lenguajes como L+ dentro de L+, sin que las nociones introducidas a tales efectos generen nuevas inconsistencias. Mi punto es que tal cosa no es así con el concepto de validez semántica. Esto es, voy a mostrar que, si se extienden los recursos al adoptar lenguajes de orden superior con el propósito de capturar validez semántica dentro del lenguaje, la teoría resultante no estaría libre de revancha. O sea, una V-Curry surge inmediatamente dentro de la construcción, lo que significa que tal concepto no puede ser expresado.

La construcción conjuntista con la que Field elabora su teoría ofrece garantías de consistencia relativa. Es decir, si el concepto de validez semántica fuese inconsistente, tal inconsistencia debería “reflejarse externamente” dentro del lenguaje con recursos conjuntistas. Al igual que la construcción definida anteriormente, usando el modelo estándar de la aritmética N como modelo de base para L, ^{Welch (2008)} ha mostrado que la prueba de consistencia relativa para la construcción metateórica que permite capturar la extensión de las fórmulas y razonamientos válidos del lenguaje L+ (con verdad transparente y el condicional de Field) requiere gran complejidad aritmética: deberíamos expandir el lenguaje L+ en un lenguaje L++ con recursos de orden superior capaces de expresar fórmulas de complejidad / Δ41.¹³ Por supuesto, una consecuencia inmediata de este resultado a partir del teorema de Tarski es que validez semántica no es un concepto capturable dentro de PA: no puede haber un predicado V al _S (<…>) que exprese todas las fórmulas y razonamientos válidos de acuerdo con la construcción modelo-teórica de Field dentro de PA. Otra consecuencia es que la complejidad expresiva del concepto de validez semántica impide la utilización de sistemas completos. En esta dirección, no resulta sorprendente que ^{Welch (2008)} haya mostrado que el sistema de Field no es axiomatizable (corolario 2 en ^{Welch 2008}). Este resultado se obtiene mostrando que el conjunto de verdades últimas es recursivamente isomórfico al conjunto de verdades estables en la teoría de la revisión (usando secuencias de revisión que comiencen con una hipótesis nula como extensión para la verdad estable).¹⁴ Es bien conocido que este último conjunto no es axiomatizable.

Ahora bien, como hemos visto, Field sostiene que su enfoque es inmune a revanchas. Y, usando lenguajes de orden superior, ^{Rayo y Welch (2007)} han argüido que la noción de tener valor último 1 en el mundo real no puede ser capturada dentro de la construcción. La utilización de lenguajes de orden superior parece estar bien motivada. A fin de cuentas, la construcción usada para definir la noción de validez tiene un dominio de “tamaño” conjuntista, y es bien sabido que, cuando se trabaja de esta manera, se necesitan garantías acerca de que estas construcciones son capaces de capturar todas las interpretaciones intuitivas del vocabulario no lógico. ¿Por qué deberíamos aceptar que, si una fórmula obtiene siempre verdad como valor último en estas estructuras, resulta entonces genuinamente válida? Recordemos que el modo usual de garantizar un “puente” entre ambas nociones es el recurso a la Kreisel. Sin embargo, esta estrategia requiere completitud. Y, como hemos visto, esto no es el caso. Por eso, la idea de Rayo y Welch es que se puede usar un fragmento de la teoría de segundo orden ZF ² para caracterizar el universo real V de “todos los conjuntos” usando cuantificación plural. Entonces, ellos muestran que la caracterización de la mencionada noción semántica conduciría a una inconsistencia, si el lenguaje en cuestión tuviera suficientes recursos expresivos como para capturarla. Mi punto está directamente vinculado a este resultado: si utilizamos un lenguaje L++ con recursos de orden superior capaces de capturar dentro del lenguaje el concepto de validez semántica, la suposición de que ese concepto es parte de una teoría de orden superior H junto con la adopción de las reglas de inferencia V S ₁ y V S ₂ conduce a una V-Curry. Esto es, al igual que lo que sucede con las teorías de orden superior, la única opción de evitar la trivialización es abandonar la pretensión de expresar validez dentro del lenguaje.

TEOREMA 6: una teoría de orden superior H' con recursos suficientes como para capturar el concepto de validez de la construcción de Field a través de las correspondientes reglas de la validez es inconsistente.

Estrategia de la prueba: como hemos observado, en la estructura se define validez como tener siempre valor 1 como valor último. Sea V al _S (<...>) un predicado que intenta capturar esa noción. Intuitivamente, si el lenguaje fuera capaz de expresar esta noción, aplicando diagonalización seríamos capaces de generar una oración V-Curry que afirme de sí misma:

Yo no tengo siempre el valor designado como valor último.

Es decir, una suerte de “revancha” por medio de una oración que afirma su propia invalidez. Formalmente, sea K una oración tal que

Sea H' una teoría de la validez que tiene recursos suficientes como para capturar la noción de tener siempre el valor designado por medio de las siguientes reglas:

y

El siguiente razonamiento se realiza dentro de H'. Se asume V al _S (<K>) y se obtiene por diagonalización, aplicación de V S ₂ ╞ y MP que ¬V al _S (<K>), esto es, que K no obtiene siempre el valor designado como valor último. De lo que se sigue ¬V al _S (<K>) por la regla de introducción de la negación. Pero, entonces, K se sigue sin supuestos y debe, por lo tanto, ser semánticamente válida. De eso, por aplicación de V S ₁ ╞ tenemos que prueba V al _S <K>), es decir, que K obtiene siempre el valor designado como valor último. Pero, entonces, se sigue que H' declara válida una oración justo en el caso de que esa oración no sea válida. Es decir, hay una oración K que obtiene siempre el valor designado como valor último justo en el caso en el cual no obtiene siempre ese valor.¹⁵

No estoy argumentando que la teoría de Field sea inconsistente, sino simplemente que no es capaz de expresar internamente su propio concepto de validez bajo la suposición de que este concepto se represente con las reglas V S ₁ ╞ y V S ₂╞. Una manera alternativa de señalar el mismo punto es la siguiente: sea ╞ _FT la noción de validez de la lógica de Field. Entonces, si bien:

no tenemos (por casos como K):

Por eso, la oración que afirma su propia invalidez genera una revancha. Es claro, empero, que hay diversas opciones para evitar la dificultad.

En primer lugar, podría objetarse que la anterior derivación no es aceptable en la lógica revisionista de Field. En particular, la inferencia que va desde V al _S (<K>) hasta ¬V al_S(<K>) podría resultar inaceptable. Al mismo tiempo, el argumento asume que las fórmulas o son válidas o no lo son. Nótese, sin embargo, que Field mismo considera que la noción de validez debería tener un comportamiento clásico en este sentido (Field 2008, p. 307). La idea es que las leyes de la lógica clásica pueden continuar valiendo en contextos restringidos, y, de acuerdo con Field, nuestras reflexiones acerca de la validez lógica deberían formar parte de estos contextos. A fin de cuentas, qué querría decir que hay contextos para completos vinculados con la validez, esto es, contextos en donde una fórmula no es válida ni inválida. Por eso, parece adecuado usar recursos clásicos de orden superior para capturar validez semántica de una lógica revisionista. Por supuesto, mi argumento podría ser una razón para considerar la posibilidad de desarrollar un concepto de validez revisionista no clásico. Al fin y al cabo, el concepto de validez semántica de una lógica no clásica de la verdad podría también ser no clásico. Claro, el paso no es tan sencillo, ya que estamos usando recursos de la teoría de conjuntos de orden superior para caracterizar la mencionada noción. Por tanto, adoptar un concepto no clásico de validez requeriría un cambio en el modo de actuar al construir las secuencias de revisión y los puntos fijos (estructuras que utilizan matemática clásica).¹⁶

En segundo lugar, podría dudarse de la estrategia de incluir re-cursos de orden superior para expresar validez real. Ésta ha sido la reacción de Field a la objeción de Rayo y Welch y podría ser una alternativa de bloqueo a esta V-Curry. Así, las definiciones:

estarían dadas desde el metalenguaje sin que ellas sean reflejadas dentro del lenguaje. Sin embargo, no resulta claro por qué sería plausible tal asimetría entre la verdad transparente y la validez semántica, ni tampoco en qué sentido el lenguaje en el que se expresa la construcción resulta semánticamente autosuficiente. Otra opción podría ser no aceptar alguno de los pasos de la anterior prueba informal.

Una opción más podría ser considerar que validez no es “realmente” preservación de valor designado como valor último. De hecho, Field parece favorecer esta opción por otras razones, considerando validez intuitiva como un concepto vinculado a la racionalidad de los agentes epidémicos y no a la idea de transmisión de verdad. Empero, resulta extraño que finalmente la noción de verdad transparente no desempeñe papel alguno en la validez de los argumentos.

Por último, otra opción podría ser “recortar” el conjunto de las fórmulas válidas restaurando la completitud. Por ejemplo, ^{Field (2008)} replica:

Podría ser mejor adoptar un enfoque según el cual, dada una semántica formal, lo que se valida excede a la noción de “validez real”: que las genuinas fórmulas lógicamente válidas son algún subconjunto efectiva-mente generable de estas inferencias que preservan 1 en la semántica formal dada. Si se adopta este punto de vista, entonces habría sin duda alguna arbitrariedad en la elección acerca de cuál subconjunto efectivamente generable se eligiría, pero esto parece perfectamente aceptable a menos que se quiera poner grandes exigencias (y pienso que esta opción no es razonable) sobre la significación de la distinción entre aquellas inferencias que son lógicamente válidas y aquellas que no lo son. (p. 277; la traducción es mía.)

Sin embargo, de hecho su teoría define un concepto de validez que no es axiomatizable y el intento de capturarlo genera una inconsistencia. Podemos limitar las capacidades expresivas para restaurar la consistencia, pero el movimiento no debería pasar desapercibido.