Introducción

La inclusión de juegos como un medio en la enseñanza de las matemáticas se ha utilizado en distintos niveles educativos. Averiguar si el uso de actividades recreativas representa una diferencia (positiva o negativa) en aspectos afectivos, actitudinales, en el desarrollo de estrategias y habilidades y en la construcción y consolidación de conocimientos respecto a la enseñanza tradicional por sí sola, se ha convertido en tema de interés para educadores e investigadores en matemática educativa. ^{González, Molina y Sánchez (2014)} identifican que, particularmente en el nivel superior, existen pocas investigaciones empíricas relativas al uso de juegos en la clase de matemáticas (e.g. ^{Bright, 1980}; ^{Kraus, 1982}; ^{Afari, Aldridge y Fraser, 2012}); son más comunes los estudios en el nivel escolar básico (e.g. ^{Bragg, 2012}).

Para los fines de esta investigación son de particular interés los resultados relativos a juegos de estrategia y el impacto que tienen en las estrategias de resolución de problemas. En este sentido, ^{Krulik y Wilderman (1976)}, ^{Kraus (1982)}, ^{Butler (1988)}, ^{Oldfield (1991a}, ^1991b), ^{De Guzmán (1995)}, ^{Corbalán (1996)} y ^{Olfos y Villagrán (2001)} coinciden en que las similitudes de los juegos de estrategia y los problemas matemáticos pueden resultar provechosas para el desarrollo de estrategias utilizables en la resolución de problemas; ^{Gairín (2003)} explora la utilidad de juegos de estrategia para iniciarse en el campo de las demostraciones matemáticas y ^{De Guzmán (1984)} puntualiza que no todos los juegos se prestan para el aprovechamiento didáctico, puesto que algunos son simplemente acertijos que no admiten un esquema de pensamiento que conduzca a un método. Sin embargo, ninguno de los autores establece bajo qué condiciones emergen estrategias que enriquezcan el proceso de resolución de problemas y tampoco aportan evidencia de efectos negativos del uso de juegos en la clase de matemáticas.

Con el fin de analizar el uso de juegos en el nivel universitario con relación a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, se llevó a cabo un estudio empírico que gira en torno a la práctica de juegos de estrategia; de manera más particular, se indagaron las estrategias utilizadas por estudiantes universitarios al intentar ganar el juego “círculo de monedas”. En el presente artículo se reportan los detalles de la fase experimental de este estudio y se discuten algunas implicaciones de los resultados obtenidos. Como eje conductor de la investigación se plantean tres preguntas que se responderán al finalizar este manuscrito:

En el manuscrito encontrará 1) marco conceptual, 2) descripción del juego “círculo de monedas”, 3) método, 4) datos obtenidos de la reconstrucción de las partidas, 5) resultados y 6) discusión de resultados, alcances y limitaciones del estudio.

Marco conceptual

Una de las ideas centrales en este trabajo fue identificar las estrategias que usaron los estudiantes al jugar “círculo de monedas”; la importancia radica en que las estrategias utilizadas por los estudiantes pueden ser advertidas a través de sus jugadas y éstas pudieran reflejar situaciones que ocurren no sólo cuando los estudiantes están participando en determinado juego sino también cuando están resolviendo un problema.

^{Gairín (1990)}, al describir las principales diferencias entre un juego de conocimiento y un juego de estrategia, señala que para ganar un juego de conocimiento el dominio de conceptos o algoritmos matemáticos es primordial y, para ganar un juego de estrategia son las habilidades, destrezas, razonamientos y el control sobre éstas lo que determina quién ganará.

Existen similitudes entre las estrategias utilizadas para enfrentarse en un juego (de estrategia) y las señaladas por Polya en la resolución de problemas. En la Tabla 1 se comparan las fases descritas por ^{Olfos y Villagrán (2001)} para enfrentarse a un juego de estrategia con las cuatro fases del modelo de ^{Polya (1945)} en la resolución de problemas.

Tabla 1 Cuatro fases de ^{Polya (1945)} para resolución de problemas y cuatro fases de ^{Olfos y Villagrán (2001)} para enfrentarse a un juego de estrategia. 

Es evidente la importancia de la fase 1 del modelo de ^{Polya (1945)}: si las reglas del juego no quedan claras o, análogamente, no se comprende el problema a resolver, intentar deambular por las siguientes fases resulta infructuoso. Concebir, ejecutar y adecuar un plan permitirá al jugador continuar en la partida pero una visión retrospectiva podría permitirle determinar una estrategia general que lo conduzca a ganar siempre que sea posible.

Es deseable fomentar estas estrategias entre los estudiantes. De acuerdo con ^{Elia, van den Heuvel-Panhuizen y Kolovou (2009)}, la resolución de problemas es una de las actividades cognitivas más significativas y el éxito en la resolución de problemas matemáticos está positivamente relacionado con el dominio de estrategias.

Aunque el juego círculo de monedas no aporta conocimientos de contenidos, argumentaremos en este documento que su práctica fomenta estrategias que se sugiere son útiles para mejorar las habilidades de estudiantes al resolver problemas (Ver ^{Bureau of Exceptional Education and Student Services, 2010}); estas estrategias también contribuyen a los estándares de procesos establecidos por la ^{NCTM (2000)} relativos a resolución de problemas, razonamiento y pruebas.

Estos comportamientos mencionados son semejantes a lo que ^{Cuoco, Goldenberg y Mark (1996)} denominan hábitos de la mente, los cuales son comportamientos que sugieren enseñar a los estudiantes para atender situaciones en la escuela e incluso más allá, en su vida diaria pues pueden ser aplicados en diferentes contextos. En ^{Levasseur y Cuoco (2003)} señalan que estos modos de pensar o hábitos de la mente existen de tal manera que trascienden el contenido del conocimiento y que son admitidos por matemáticos como facetas esenciales en su trabajo. ^{Levasseur y Cuoco (2003)} sugieren que los profesores pueden facilitar el desarrollo en estudiantes de estos hábitos al hacerse explícitos a través de estimular la reflexión en éstos cuando surja la oportunidad. Identificar las estrategias a través de la reconstrucción de jugadas brinda la oportunidad de hacer explícitos estos hábitos empleados en el juego para reflexionar sobre ellos.

Descripción del juego “círculo de monedas”

El juego “círculo de monedas” es un juego bipersonal en el que no es posible que una partida concluya con un empate.

En este juego, tal como se muestra en la Figura 1, debe colocarse cualquier número de monedas o fichas dispuestas en un círculo, los jugadores se turnan para sacar una o dos fichas, si eligen tomar dos fichas éstas deben estar una junto a la otra, sin espacios vacíos entre ellas. El ganador es aquel que saca la última ficha (^{Gardner, 1988}).

Figura 1 Configuración inicial del juego círculo de monedas 

^{Gardner (1995)} explica que el jugador que realiza el segundo movimiento puede ganar siempre e indica cómo es que puede hacerlo:

Después de que el jugador que realizó el primer movimiento ha tomado una o dos monedas, las monedas restantes forman una cadena curvada con dos extremos. Si esta cadena contiene un número impar de monedas, el jugador que realiza el segundo movimiento toma la moneda central. Si contiene un número par, toma las dos monedas centrales. En ambos casos deja dos cadenas separadas de igual longitud. A partir de este punto, cualquier movimiento que el oponente realice en una cadena deberá ser duplicado por el segundo jugador tomando una o dos monedas de la otra cadena (^{Gardner, 1995: 212, nuestra traducción}).

Método

En esta sección se describen los sujetos de estudio y el contexto de la aplicación; además se detallan las características de la recolección, organización y análisis de datos.

Se reportan los resultados de dos parejas de jugadores, todos ellos estudiantes de segundo semestre de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas de la Universidad Autónoma de Baja California (UABC). Las características de los cuatro jugadores se detallan en la Tabla 2, en la última columna se define una identificación para la relatoría.

Tabla 2 Sexo, edad e identificación de los jugadores. 

Contexto y recolección de datos

La sesión de juegos se llevó a cabo en la Facultad de Ciencias, UABC. Se realizó un sábado para evitar interrupciones y contar con aulas separadas para cada bina. Se explicó la dinámica a seguir, las reglas del juego y el rol de cada uno de los miembros. Cuando los estudiantes señalaron que las reglas estaban claras, se dio inicio a la sesión que consistiría en ocho partidas en las que un jugador realizaría el primer movimiento de las partidas pares y el otro jugador iniciaría las partidas impares.

Se utilizó un tablero numerado y monedas de chocolate de cuatro centímetros de diámetro que favorecieran el análisis posterior del vídeo para observar claramente los movimientos de los jugadores, Figura 2.

Figura 2 Tablero utilizado para jugar círculo de monedas 

La recolección de datos se llevó a cabo a través de videograbación y registro escrito por parte de los jugadores. Para grabar la sesión se utilizaron dos dispositivos para prevenir fallas técnicas, se colocó una mesa para llevar a cabo la partida y se situó estratégicamente una computadora que pudiera grabar el desarrollo de la sesión, enfocándose en los movimientos de los jugadores. Se optó por grabar con una computadora, puesto que para la toma fija que se buscaba representaba algunas ventajas, por ejemplo una amplia capacidad de memoria y la posibilidad de permanecer conectada a la corriente eléctrica evitando la descarga inesperada. Un colaborador técnico llevó a cabo una grabación más focalizada con celular o cámara de video, además se encargó de proveer a los estudiantes los tableros de juego y de registrar la duración de cada partida y el ganador de la misma.

Para registrar las observaciones de los jugadores, se les otorgaron dos cuadernillos (uno para cada juego), conformados por ocho hojas de distintos colores (una para cada partida). Se indicó que durante cada partida debían anotar sus observaciones e ideas en la parte delantera de la hoja y, al finalizar cada partida, debían preguntarse “¿Sé cómo ganar?” y anotar su respuesta detallada en la parte trasera de la hoja correspondiente. El código de colores se implementó para relacionar más fácilmente las anotaciones con la videograbación.

Organización de datos y reconstrucción de jugadas

Los datos fueron sometidos a un análisis cualitativo. Antes de iniciar con el análisis de datos se organizó la información obtenida por las diferentes fuentes. En la Figura 3 se muestra la duración de las partidas de círculo de monedas y en la Tabla 3 los detalles relativos a qué jugador inicia la partida, cuántos movimientos hace y quién resulta ganador.

Figura 3 Duración de las partidas de círculo de monedas. 

Tabla 3 Jugador que inicia, jugador que gana y número de movimientos. 

También se utilizó un sistema de representación con el propósito de convertir cada registro en un dato. Con el apoyo de las videograbaciones se llevó a cabo una reconstrucción de las partidas con el fin de visualizar los movimientos de los jugadores, observar patrones y la evolución de las jugadas. Para facilitar la revisión de las reconstrucciones, las imágenes capturadas han sido etiquetadas de la forma partida.movimiento.jugador.

Reconstrucción de una partida de círculo de monedas

Retomando el concepto de cadena utilizado por ^{Gardner (1995)} para referirse a las distribuciones que pueden presentarse en el círculo de monedas, se denominará cadena a un conjunto de monedas sin espacios vacíos entre ellas y en el que pueden identificarse dos extremos únicos; una moneda aislada es en sí misma una cadena, además el término monedas de frontera se referirá a aquellas que al ser retiradas no generan una nueva cadena.

Para especificar el número de cadenas en el círculo y cuántas monedas hay en cada una de ellas se hablará de configuraciones. En la notación se utilizarán guiones para separar la cantidad de monedas en cada cadena. Así, por ejemplo, la configuración (2-2-1) indica que se tienen tres cadenas, dos de dos monedas y una de sólo una moneda, en tanto la configuración (5-2) señala que hay dos cadenas, una de cinco monedas y otra de dos. En la Tabla 4 se ejemplifica una reconstrucción.

Tabla 4 Reconstrucción de círculo de monedas. Partida 1, equipo 2. 

Datos obtenidos de la reconstrucción de las partidas

Se comenzará con un análisis general con base en la información presentada en las tablas 2 y 3 y posteriormente se analizarán de forma concreta las jugadas.

En la Figura 3 se evidencia cómo en una primera etapa las partidas duraron poco tiempo pero posteriormente tuvieron incrementos significativos en su duración y una evolución interesante. Por ejemplo en el caso del equipo 1, la diferencia en la duración de la partida 2 respecto a la partida 1 fue de 2’51’’ (dos minutos cincuenta y un segundos), de la partida 2 a la partida 3 fueron 3’21’’, de la 3 a la 4 fueron 4’02’’ y después comenzó un descenso en el tiempo invertido; de la partida 4 a la partida 5 disminuyó 1’31’’ respecto a la anterior, de la 5 a la 6 disminuyó 5’24’’ y, aunque hubo un incremento de la partida 6 a la 7, la duración de la última partida fue de tan soólo 47 segundos puesto que los jugadores decidieron detener el juego al reconocer que la configuración de monedas en el tablero indicaba la derrota de uno de los jugadores.

¿Qué ocurrió en las etapas del juego descritas en el párrafo anterior? Considerando la información de la tabla 2 y el caso del equipo 1; la primera partida duró 1’20’’ y la segunda 4’11’’, el jugador 1B perdió en ambas; esta situación podría ser resultado de que ambos jugadores estaban comprendiendo el juego y podría significar la aparición de una primera estrategia: la prueba y el error. La estrategia prueba y error consiste en probar una idea y ver si ésta funciona, se enfoca en el éxito de la partida sin procurar generalizar en primera instancia, es una estrategia fácil de implementar puesto que basta con respetar las reglas del juego para proceder.

El incremento del tiempo que ocurrió en la partida 2 podría indicar que el jugador 1B había comprendido el juego y se volvió un oponente más fuerte, por ello tardaron más en derrotarlo. La duración de las partidas 3 a 7 sugiere que hubo un equilibrio en el nivel de juego de ambos contendientes, el jugador 1B ganó las cuatro partidas siguientes y perdió la séptima. En la octava partida el juego fue suspendido por los contendientes pues declararon saber quién ganaría; esto fue interpretado como una señal de que los estudiantes manejaban la estrategia pensar hacia atrás: esta estrategia se caracteriza por suponer el juego terminado y pensar qué configuración o configuraciones previas conducen a este resultado.

En el caso del equipo 2 ocurre una situación semejante en términos generales pero a menor escala, se inició con partidas breves, hay un ligero incremento de tiempo y posteriormente un descenso. El jugador 2A sólo ganó una de las 8 partidas; el poco tiempo de duración de las partidas del equipo 2 en comparación con la duración de las partidas del equipo 1, podría significar que no se logró un equilibrio en el desempeño de los jugadores. Quizá las estrategias utilizadas por el jugador 2A no representaron un desafío para su oponente. Un posible efecto de enfrentar un jugador fuerte a uno débil es que quizá el jugador más fuerte no requeriría una gran colección de estrategias para ganar, lo cual podría inhibir el surgimiento de las mismas.

A continuación se discuten las jugadas de forma concreta. Para estudiar la reconstrucción de las jugadas se recurrió a un análisis de atrás hacia adelante. Ganar cuando sólo queda una moneda en el círculo es trivial porque bastará con que el jugador en turno la retire. Cuando sólo quedan dos monedas en cadena esto podría parecer igual de trivial, sin embargo, el jugador podría cometer el error de tomar sólo una y otorgar la victoria al oponente. Si se tienen dos monedas separadas el jugador en turno está destinado a perder la partida puesto que deberá tomar una, dejando la última moneda al oponente.

Cuando tres monedas quedan en el círculo, éstas pueden estar distribuidas en una, dos o tres cadenas, es decir, las posibles configuraciones son (3), (2-1) y (1-1-1). La configuración (1-1-1) garantiza que, aun sin esfuerzo, el jugador que recibe el tablero con esta configuración ganará en su próximo movimiento, esta configuración no aparece en ninguna de las partidas analizadas. Al tener una cadena de tres monedas, el único movimiento que asegura la victoria es quitar la moneda central. Esta situación se presenta en las partidas 5 y 7 del equipo 1, en ambos casos los estudiantes juegan de manera óptima retirando la moneda central. La configuración (2-1), también tiene un solo movimiento que conduce a una victoria segura, consiste en retirar una moneda de la cadena que contiene dos monedas para dejar la configuración (1-1). En la tabla 3 puede observarse cómo el jugador 2A cometió un error al recibir la configuración (2-1), retiró una moneda aislada y esto lo condujo a la derrota; su contrincante escribió en el cuadernillo de anotaciones: “no estaba seguro si ganaría, mi oponente pudo ganar y no lo hizo”. Esto sugiere que el jugador 2B identificó el movimiento que conduce a la victoria al recibir la configuración (2-1). En la tercera partida, el jugador 2A al enfrentarse nuevamente a la misma configuración efectuó el movimiento idóneo y además identificó “en mi turno debo dejar dos fichas separadas de otras dos”. Al parecer los jugadores habían identificado un patrón, este hecho podría ser el resultado de la estrategia conocida como búsqueda de patrones, ésta consiste en identificar una estructura que se repita en el juego e intentar encontrar una solución a partir de dicha estructura.

La variedad de posibles configuraciones para 4 o más monedas es bastante amplia, lo que hace aún más extenso el análisis de cada una de ellas de acuerdo a la sesión de juegos que se estudia, los detalles para cada configuración pueden consultarse en ^{González (2014)}, aquí sólo se incluyen las jugadas y configuraciones que resultan significativas para la discusión de resultados. Esta amplitud de las posibles configuraciones cuando están involucradas 4 o más monedas podría favorecer que una de las primeras estrategias usadas por los jugadores haya sido la prueba y el error para disminuir la complejidad del juego a un número de monedas que sea dominado por el estudiante. Esta situación también podría ser la manifestación de otra estrategia, la simplificación de tareas difíciles, que se caracteriza por conducir el tablero a configuraciones que el jugador pueda enfrentar más fácilmente.

Una situación singular ocurrió en la octava partida del equipo 1 (Tabla 4); al llegar a la configuración (4-1) los jugadores indicaron que no tenía sentido continuar porque el jugador que había dejado el tablero en esta configuración había asegurado su victoria. Este hecho se considera una manifestación de las estrategias pensar hacia atrás e identificación de patrones, lo que se describe a continuación apoya esta suposición, Tabla 5.

Tabla 5 Reconstrucción de círculo de monedas. Partida 8, equipo 1. 

Cuando el tablero se encontraba como se muestra en la toma 8.3.1B, los jugadores detuvieron la partida porque sabían que si jugaban correctamente el jugador 1B ganaría pero ¿cuándo descubrieron esto? ¿La aparición de la configuración (4-1) ha sido inducida por los jugadores de manera intencional? Al revisar los cuadernillos de anotaciones del equipo 1, el jugador 1A al finalizar la primera partida escribió “tengo una idea de cómo hacer perder al jugador contrario. Es decir, aislar una y otras dejarlas en pares”. Cuando se analiza la reconstrucción de la primera partida, esta descripción de “una aislada y otras en pares” sólo coincide con la configuración (4-1), más adelante, en la hoja correspondiente a la cuarta partida, 1A escribió “se hicieron dos movimientos y quedaron pares y una aislada”, al ver la reconstrucción de las imágenes su descripción coincide con la configuración (6-1) esto muestra que el jugador 1A tenía una hipótesis que había probado para la configuración (4-1) y esperaba validar para la configuración (6-1). Sin embargo, no ganó esta partida y desechó su hipótesis.

En el cuadernillo de anotaciones del jugador 1B, en la hoja correspondiente a la tercera partida escribió en el encabezado de la parte delantera “4-1” lo cual sugiere que al iniciar esta partida sabía que dejar el tablero en esta configuración lo conduciría a la victoria. Además, el jugador agregó: “recreé cada posibilidad en mi mente y al ver que mi oponente sabía qué estrategia realizar, busqué tener en cuenta las uniones de monedas.” Por una parte aquí se manifiesta la estrategia pensar hacia adelante la cual consiste en predecir los posibles movimientos del oponente y actuar con base en esta predicción y por otra parte el estudiante reconoce la capacidad de su oponente y esto lo obliga a esforzarse más en sus jugadas.

Pese a que ambos integrantes del equipo 1 mostraron tener idea de que dejar el tablero en esta configuración les permitiría ganar, en la partida 5 el jugador 1A hace un movimiento que deja el tablero en configuración (4-1), sin embargo, perdió la partida. Para analizar el porqué de esta eventualidad se incluyó la reconstrucción en la Tabla 6.

Tabla 6 Reconstrucción de círculo de monedas. Partida 5, equipo 1. 

Aunque el jugador 1A tenía identificada la configuración (4-1) como favorable para aquel que la propicia, cometió un error en los movimientos sucesivos y perdió la partida, en el cuadernillo de anotaciones y en la videograbación no hay evidencia de que el jugador haya reflexionado acerca de su error, sin embargo, en partidas sucesivas continuó confiando en esta configuración e incluso aceptó su derrota en la partida 8, cuando su contrincante lo acorraló con la configuración (4-1) y ambos decidieron detener el juego.

Conforme el número de monedas disminuye resulta más sencillo generar hipótesis y tomar decisiones acerca de qué moneda o par de monedas quitar del tablero. Pese a que al tener seis o siete monedas los jugadores del equipo 1 procuraron llevar el juego a la configuración (4-1), es claro que aún no tienen una amplia gama de estrategias para seis o más monedas. Los cuadernillos de anotaciones del equipo 2 muestran que los jugadores estaban conscientes de que existe la forma de determinar cómo ganar pese a que no la habían descubierto aún.

En la quinta partida, el jugador 2A escribió “Me di cuenta que el juego se decide al quedar siete fichas”, al finalizar la sexta partida escribió “Dejaré cuatro fichas y tres separadas, pero para ganar necesitas ser segundo”, en la hoja correspondiente a la octava partida se lee “Traté de ver movimientos en siete fichas pero hay muchas combinaciones” y al concluir agrega “Sólo estoy seguro de una manera de ganar, dejar dos y dos fichas”. Esto es una muestra de cómo el jugador intentó validar sus hipótesis para siete fichas y de que identificó que dejar una configuración (2-2) a su oponente le aseguraría la victoria.

En el caso del jugador 2B, al finalizar la quinta partida indicó “No podría describir una solución general, me baso en calcular variantes”, en la sexta partida escribió “Al yo sacar una y él sacar dos del otro lado, queda una situación de tres de un lado y cuatro del otro y siempre, aunque esta vez cometí un error, la estrategia me hará ganar”. El jugador 2B había avanzado un poco más en la construcción de estrategias ganadoras y en el caso de siete monedas había identificado que recibir la configuración (4-3) le permitiría dominar el juego. En la octava partida escribe “No descubrí un algoritmo, mi estrategia era llevar el juego a posiciones nuevas para ganar analizando variantes. La única posición que podría decir con certeza que ganas es cuando hay dos y dos separadas y le toca al otro”. Al igual que el jugador 2A, el jugador 2B identificó claramente las ventajas de dejar el tablero en configuración (2-2) a su rival.

El análisis de jugadas y anotaciones sugiere que, aunque los estudiantes logran visualizar algunas variantes en el juego, resulta más complicado llevarlas a cabo cuando hay una sola cadena en el tablero.

Resultados

Como se planteó en la introducción de este manuscrito, a partir de la reconstrucción de jugadas y el análisis de las mismas, se responderán las siguientes preguntas: