Generación de ondas enfocadas

La metodología de generación de ondas enfocadas en este trabajo se basa en la teoría de onda lineal propuesta por ^{Longuet-Higgins (1974)}. Este método de generación de ondas enfocadas, basado en la teoría lineal, ha sido utilizado en estudios previos (^{Longuet-Higgins, 1974}; ^{Rapp & Melville, 1990}; ^{Baldock, Swan, & Taylor, 1996}; ^{Baldock, 2006}; entre otros). El método considera un espectro de oleaje que se subdivide en N componentes que contienen la misma energía en el dominio de la frecuencia. El objetivo es generar un rango específico de componentes de ondas que entren en fase (enfocamiento) en una ubicación específica y tiempo determinado, generando una ola de mayor altura, producto de la superposición de componentes. La elevación de la superficie libre del agua se puede expresar como la suma de componentes, dada por:

donde ai , ki, ωi=2πfi, y ϕi son la amplitud, el número de onda, la frecuencia angular, y la fase de la i-ésima componente; N es el número de componentes y t es el tiempo. Donde ki y ωi están relacionados por la ecuación de la dispersión ωi2=gkitanh(kih), en donde g y h son la aceleración de la gravedad y la profundidad del agua, respectivamente. La fase de cada uno de los componentes se calcula estableciendo:

en donde x=xf será el punto de enfoque y t=tf el tiempo de enfocamiento, quedando la Ecuación (2) como:

Sustituyendo (3) en (1), obtenemos que el desplazamiento de la superficie libre está dado por:

donde la posición media de la pala generadora de olas se define en x=0 (ver Figura 2c) y el desplazamiento deseado en la pala generadora de olas está dado por:

donde t'=t-tf y el efecto de cambiar tf es retrasar o avanzar toda la señal sin cambiar el punto de enfoque del grupo de ondas teórico xf.

Figura 2 (a) Grupo de ondas enfocadas en aguas intermedias utilizando 32 componentes con una fc=1 Hz, f1= 0.3 Hz, f2= 0.7 Hz y A= 0.06 m, tomando en cuenta un punto de enfoque en x=19 m; (b) espectro tipo “sombrero”; (c) geometría del canal, señalando el sistema de referencia utilizado con origen (x=0 m) en la posición de la pala. 

Considerando las características del canal de oleaje se generó un grupo de ondas conformado por 32 componentes. Estudios previos (^{Rapp & Melville, 1990}; ^{Baldock et al., 1996}; ^{Baldock, 2006}) demostraron una buena representación de este tipo de oleaje utilizando alrededor de 30 componentes. La frecuencia central fc=0.5 Hz, inferior f1=0.3 Hz y superior f2=0.7 Hz se usaron para generar la serie temporal de superficie libre para este estudio (Figura 2a). El tren de ondas generado dio como resultado un espectro tipo “sombrero” (Figura 2b), característico en este tipo de grupo de ondas. El punto de enfoque teórico se localizó en x=19 m (Figura 2c) para un tiempo de cien segundos.

Modelo físico

Los ensayos de laboratorio se llevaron a cabo en el canal de oleaje del Laboratorio de Ingeniería y Procesos Costeros (LIPC) de la Unidad Académica Sisal del Instituto de Ingeniería (II) de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). El canal de oleaje tiene 40 m de longitud, 0.8 m de ancho y 1.27 m de alto (Figura 3), y está equipado con un generador de oleaje unidireccional (GOU) del fabricante VTI, el cual consiste de una pala tipo pistón, con una potencia de 7.5 KW y una carrera de la pala de 1.2 m. El sistema de generación cuenta con generación de segundo orden y absorción activa. En este trabajo se utilizó una serie temporal de superficie libre (Figura 2a) para la generación del oleaje.

Figura 3 Esquema de la geometría del canal. 

Tipología utilizada y casos modelados

El diseño de la tipología de la estructura costera modelada físicamente en el canal del LIPC del II-UNAM corresponde a un dique vertical con banqueta baja (Low Mound Breakwater) a escala 1:20 (Figura 4). El dique y el vertedero para medir el rebase se construyeron con tablas de madera de 3/8''. El vertedero se forró por dentro con láminas de acrílico y se selló con silicón para evitar fugas. Para la banqueta del dique se usó roca caliza y una pendiente de 1:2 (Figura 4).

Figura 4 Sección transversal del dique vertical. 

En el modelo físico se realizaron tres ensayos a escala (1:20): (a) el primero consistió en la generación de un grupo de ondas enfocadas y propagadas a una profundidad constante de 0.60 m sin la presencia de la estructura; (b) el segundo fue con las mismas condiciones que en (a), pero con la estructura ubicada en el punto de enfoque observado x=17 m, que presenta una diferencia de 2 m con respecto al punto de enfoque teórico; c) el tercero consistió en la interacción del grupo de ondas enfocadas con el mismo oleaje y la misma tipología, pero con un nivel del agua en reposo de 0.50 m. Para los ensayos (b) y (c) se hicieron 15 repeticiones, a fin de calcular los promedios de ensamble. La altura de ola significante (Hs), periodo pico Tp, y nivel del agua en reposo (h) para cada uno de los casos simulados se especifica en la Tabla 1.

Tabla 1 Ensayos realizados en el canal de olas del LIPC de la UNAM. 

Ensayo	h (m)	Tipo de oleaje	Hs (m)	Tp (s)	Estructura (m)	Repeticiones
1	0.60	Ondas enfocadas	0.04	2.00	Sin estructura	4
2	0.60	Ondas enfocadas	0.04	2.00	17.00	15
3	0.50	Ondas enfocadas	0.04	2.00	17.00	15

*Donde h = profundidad en reposo; H_s = altura significante y T_p = periodo de pico.

Adquisición y análisis de los datos

Para medir la transformación del oleaje se colocaron 21 sensores de nivel tipo resistivo fabricados por VTI, utilizando una frecuencia de muestreo de 100 Hz (Figura 5). Asimismo, se realizaron mediciones de presión con 10 sensores colocados alrededor de la estructura (Figura 6) para la medición de presiones y subpresiones (cinco en el muro vertical y cinco en la base). Los sensores utilizados fueron marca Keller America, con una precisión de ±0.25 % o ±0.1% TEB; un intervalo de presión de 0 a 39 225.53 Pascales, y un intervalo de temperatura de -10 a 80 °C. En los ensayos 2 y 3 se utilizó una frecuencia de muestreo para la presión de 19 Hz. Las frecuencias de muestreo utilizadas para cada variable estuvieron en función de la frecuencia de muestreo de los sensores de medición. Por otro lado, para medir el nivel de agua en la cubeta de rebase y estimar el volumen de rebase y gasto, se empleó un sensor resistivo, acústico y de presión.

Figura 5 Plano de ubicación de los sensores de nivel en los ensayos de laboratorio. El ensayo 1 tiene el mismo arreglo, pero sin la estructura y con el sensor S16 ubicado a 0.5 m del S15.  

Figura 6 Plano de ubicación de los sensores de presión. 

Se realizaron las curvas de calibración para todos los sensores resistivos antes de cada uno de los ensayos, a fin de convertir las mediciones de voltaje a metros. Para ello, se generaron curvas de calibración a partir de la medición de diferentes niveles conocidos y su posterior ajuste a través de una regresión lineal, obteniendo un coeficiente de correlación promedio de 0.99. Las series temporales de superficie libre se analizaron a través del método de cruce ascendentes por ceros para encontrar las alturas de ola en el tren de oleaje, y a partir de ellas determinar en cada sensor la altura de ola máxima y la altura de ola significante. En el caso de los sensores de presión no se requiere ninguna calibración y, por lo tanto, se obtuvieron los valores promedio y máximos a partir del registro. El rebase se estimó a partir del nivel de agua en la cubeta por medio de un sensor resistivo, acústico y de presión.

Modelo numérico

Para el modelado numérico se utilizó el modelo Cornell Breaking Wave and Structures (COBRAS) (^{Lin & Liu, 1998}). Este modelo fue desarrollado originalmente por la Universidad de Cornell a partir del modelo de la NASA llamado RIPPLE. En estudios posteriores (^{Hsu, Sakakiyama, & Liu, 2002}; ^{Lara et al., 2006}; ^{Losada et al., 2008}), el modelo COBRAS fue adaptado para el estudio de la interacción de flujo-estructura para cualquier tipología permeable o impermeable.

El modelo bidimensional (2DV) COBRAS resuelve las ecuaciones de Reynolds y Navier Stokes promediadas en el volumen (VARANS); utiliza un modelo de turbulencia k-( algebraico no lineal y describe la superficie libre sin restricciones geométricas por medio de la técnica VOF (Volume of Fluid), por lo cual se pueden representar todos los procesos de trasformación del oleaje, incluida la reflexión, la rotura, y el rebase. Este modelo permite obtener el campo de presiones no-hidrostático, reduciendo el número de limitaciones, a diferencia de los modelos de ecuaciones no-lineales de aguas someras (^{Kobayashi & Wurjanto, 1992}) o tipo Boussinesq (^{Chen, Kirby, Dalrymple, Shi, & Thornton, 2003}), debido a que no asume ninguna teoría de ondas.

En este trabajo, el modelo numérico se validó con los datos de superficie libre y presión obtenidos en el canal de oleaje. Asimismo, el modelo se usó para estudiar el papel de la ubicación relativa de la estructura, con relación al punto teórico de enfocamiento del grupo de ondas, en la estabilidad y funcionalidad de la tipología estudiada. Por lo tanto, el dominio de cómputo y las condiciones de contorno se implementaron para reproducir las condiciones del canal de oleaje.

El modelo numérico fue forzado con las mediciones de superficie libre medidas en el sensor más cercano a la pala de generación del canal de oleaje (S1 en Figura 5). Para derivar la condición de flujo, la serie temporal es descompuesta en sus componentes de Fourier, con el objetivo de derivar el perfil de velocidades de cada una de las componentes utilizando teoría lineal (^{Torres-Freyermuth, Losada, & Lara, 2007}). Por lo tanto, la serie temporal del perfil de velocidades se construye por superposición lineal. El modelo numérico utiliza absorción activa para evitar la re-reflexión del oleaje en el contorno.

Se modelaron seis casos (ver Tabla 2), donde el primero corresponde a un grupo de ondas enfocadas sin estructura, con el fin de evaluar el método de generación en el modelo numérico y su capacidad para predecir el punto de enfocamiento en el modelo físico. El segundo ensayo estuvo enfocado al estudio de la interacción del grupo de ondas enfocadas con la tipología propuesta; este caso permitió validar el modelo numérico con las mediciones de superficie libre, presiones, y rebase obtenidas en el laboratorio. Los casos 3 a 6 mantuvieron las mismas condiciones de forzamiento que en el caso 2, pero variando la ubicación de la estructura. Esto permitió evaluar la estabilidad y funcionalidad del dique, considerando la variación de su posición con respecto al punto de enfocamiento teórico en ausencia de la estructura (ver Tabla 2). Para todos los casos se utilizó un dominio computacional de 30 m de largo y 1.3 m de alto. La malla utilizada fue uniforme horizontal y vertical, con resolución de Δx=0.02 m y Δy=0.01 m. El número total de celdas es de 1 500 en x y 130 en y. El tamaño de la malla se seleccionó a través de un análisis de sensibilidad y considerando el tiempo de cómputo.

Formulaciones semiempíricas

En este trabajo se utilizaron formulaciones semiempíricas existentes para el estudio de estabilidad y funcionalidad de estructuras con la tipología de estudio. El objetivo fue comparar su desempeño con respecto a las mediciones y el modelo numérico durante la presencia de ondas enfocadas.

Para el estudio de estabilidad, ante oleaje pulsante, se utilizó el modelo de ^{Goda (1974)}. Este modelo utiliza para el cálculo de la sobreelevación y las presiones las siguientes expresiones:

Los valores de los distintos coeficientes αi están dados por:

Donde:

Las variables utilizadas en el modelo se muestran en la Figura 7 y los parámetros empleados corresponden a las características de los ensayos hechos en el canal de oleaje (Tabla 3).

Figura 7 Diagrama de presiones de ^{Goda (1974)}. 

Para el cálculo de rebase en un dique vertical se utilizó la formulación de ^{Franco y Franco (1999)} dada por:

Donde:

Para el cálculo de rebase con la ecuación de ^{Franco y Franco (1999)} se utilizaron los siguientes parámetros, que se muestran en la Tabla 4 de los ensayos 2 y 3.

Validación del modelo numérico

El modelo numérico fue comparado con las mediciones de superficie libre a lo largo del canal, mediciones de presiones alrededor de la estructura y rebase.

Transformación del oleaje

El oleaje generado corresponde al punto de enfocamiento teórico, de acuerdo con la Ecuación (5), localizado en x=19 m. Sin embargo, las mediciones en el canal de oleaje muestran que el enfocamiento sucede en x=17 m. En la Figura 8 se presenta la serie temporal de la superficie libre a diferentes posiciones a lo largo del canal correspondientes a los ensayos 1 (sin estructura) y 2 (con estructura). Para el caso sin estructura, la transformación del tren de olas es reproducida de manera satisfactoria por el modelo numérico (Figuras 8a-1 y 8b-1), incluyendo la predicción del punto de enfocamiento (Figura 8c-1). La diferencia de 2 m de la ubicación del punto de enfocamiento entre el modelo lineal, los datos de laboratorio y el modelo numérico sugiere que las diferencias se encuentran principalmente asociadas con procesos de transformación del oleaje no-lineales. ^{Baldock et al. (1996)} reportaron un incremento en las diferencias entre el punto de enfocamiento teórico y el observado con el incremento de la no-linealidad del grupo de ondas, las cuales causan un efecto en la dispersión de las ondas.

Figura 8 Comparación entre las mediciones y las predicciones del modelo numérico de la serie temporal de superficie libre en (a) x=1 m; (b) 8 m, y (c) 17 m para la propagación de ondas enfocadas en el canal de oleaje para los casos en (1) ausencia y en (2) presencia de la estructura en x=17 m. 

La Figura 8a-2-c-2 muestra las mediciones de superficie libre, realizados en presencia de la estructura (ensayo 2). El modelo numérico reproduce de manera satisfactoria los procesos asociados con la propagación del grupo de ondas (Figura 8a-2 y Figura 8b-2). El oleaje, al interactuar con la estructura, induce la rotura del oleaje, así como el rebase y la reflexión parcial. Es evidente el incremento de la altura de las olas en el ensayo 2 (Figura 8c-2), el cual está asociado con el proceso de reflexión del oleaje en la cara de la estructura. El modelo numérico predice de manera cualitativa la asimetría del oleaje y la transformación del grupo. Sin embargo, subestima la altura del oleaje en la cara de la estructura (ver Figura 8c-2).

Campo de presiones

Las presiones y subpresiones máximas alrededor de la estructura son necesarias para determinar su estabilidad. En la Figura 9 se muestra la comparación de las mediciones de presión en los 10 sensores instalados alrededor de la estructura durante el ensayo 2 contra las mediciones del modelo numérico. Las mediciones muestran una atenuación de la presión dinámica a lo largo de la base de la estructura. El modelo numérico es capaz de reproducir la amplitud y la variación temporal de presiones tanto en los sensores que se encuentran sumergidos como en los que son inundados ocasionalmente debido a la interacción del oleaje con la estructura. El modelo reproduce la variación temporal de la presión en la cara de la estructura (Figura 9a-e). Las diferencias principales se presentan en el sensor P2 (Figura 9b), las cuales están asociadas con las limitaciones del modelo para predecir la superficie libre en esa posición (Figura 8c-2).

Figura 9 Comparación de la serie temporal de presiones entre las mediciones y el modelo numérico en los sensores ubicados en: la cara barlomar del dique (a: P1; b: P2; c: P3; d:P4; e: P5) y en la base del dique (f: P6; g: P7; h: P8; i: P9; j: P10). La ubicación de los sensores se detalla en la Figura 6. 

La Figura 10 y la Tabla 5 muestran la comparación entre las presiones máximas medidas en el laboratorio y obtenidas por el modelo numérico. El modelo numérico subestima las presiones en los sensores P1 a P9.

Figura 10 Presiones y subpresiones dinámicas máximas medidas en el ensayo 2 (línea continua) y modeladas (línea discontinua). Una distancia de 0.09 m equivale a 1 KPa. 

Tabla 5 Error absoluto y relativo de las presiones y subpresiones del modelo físico (Ensayo 2) y numérico (Caso2). 

Sensor	Presiones Modelo físico (Pa)	Presiones Modelo numérico (Pa)	Ea=P-PNumérico(Pa)	Er=P-PNuméricoP×100(%)
P1	998.76	908.00	90.76	9.09
P2	1 108.81	1 014.00	94.81	8.55
P3	954.10	878.00	76.10	7.98
P4	849.10	788	61.10	7.20
P5	787.21	748.00	39.21	4.98
P6	660.03	597.00	63.03	9.55
P7	514.80	466.00	48.80	9.48
P8	373.00	366.00	7.00	1.88
P9	224.00	223.00	1.00	0.45
P10	111.02	131.00	19.98	18.00
		Promedio	50.18	7.71

El modelo numérico presentó una subestimación en la superficie libre con respecto al modelo físico, que se refleja en la subestimación en las presiones y subpresiones máximas. Estos resultados son consistentes con el trabajo de ^{Guanche (2007)}, quien reportó que la colocación de las piezas en la banqueta del dique puede influir en el resultado en caso de que la geometría difiera de la sección ideal simulada por el modelo. Aunado a ello, existen limitaciones para modelar la complejidad de la interacción de oleaje-estructura a través de parámetros del medio poroso influyen en los resultados del modelo numérico . Asimismo, los métodos de generación de oleaje en canales físicos y modelos numéricos pueden crear variaciones tanto en superficie libre, rebase y presiones, dependiendo de las limitaciones de los métodos debido a las características de cada uno. En los canales físicos puede ser una limitante la zona de generación, disipación, material de construcción del canal entre otros; y en los modelos numéricos, las condiciones que se consideran para generar la solución (^{Alves-Oliveira, 2012}). Por lo tanto, existe una influencia en el método de generación de oleaje en los resultados obtenidos. Las diferencias entre el modelo numérico y físico se podrían resolver si se mejora el método de simulación, como se muestra en el trabajo de ^{Lara, Ruju y Losada (2010)}, donde se modela el movimiento de la pala, acercándose más a la realidad.

Rebase

La funcionalidad de la estructura se evalúa a partir del rebase. El rebase se calculó con base en la medición del nivel realizada por el sensor S17 localizado en el vertedero para el ensayo 2. Para este caso, el rebase sucede de manera abrupta durante el enfocamiento del oleaje. La comparación del modelo numérico con las mediciones muestra una buena predicción, pero con una muy ligera subestimación (Figura 11 y Tabla 6).

Figura 11 Comparación entre el modelo numérico y mediciones de laboratorio del rebase instantáneo. 

Tabla 6 Caudales obtenidos del modelo físico (Ensayo 2) y numérico (Caso 2), que muestran su error absoluto y error relativo. 

Ensayo	Caso	Tipo de oleaje	Qfísico	Qnumérico	Ea=Q-QNumérico	Er=Q-QNuméricooQ×100(%)
2	2	Ondas enfocadas	0.014	0.013	0.001	9.66

Aplicación del modelo numérico

El modelo numérico reproduce de manera satisfactoria las mediciones de superficie libre, presiones, y rebase realizadas en el canal de oleaje (Figura 8, Figura 9, Figura 10 y Figura 11). Por lo tanto, en esta sección el modelo se empleó para simular otros casos que serían difíciles de implementar en el modelo físico. Se usó el mismo grupo de ondas enfocadas, pero se cambió la ubicación de la estructura con respecto al punto de enfocamiento teórico. En los casos modelados, la estructura se ubicó en las posiciones x= 7, 14, 20 y 27 m (Tabla 2).

La Figura 12 muestra las presiones dinámicas y subpresiones dinámicas máximas para cada uno de los casos modelados. Se observa que para el mismo tren de oleaje, las presiones máximas tienen una variación de hasta el 14 %, dependiendo de la ubicación de la estructura y, por lo tanto, las condiciones del oleaje en rotura. Llama la atención el registro de la subpresión en el sensor P10 para el caso 3 (estructura localizada en x=7 m). Este valor se encuentra asociado con un pico en el modelo, posiblemente relacionado con un valor espurio. Al ignorar este pico, la tendencia es similar a los otros casos. Por otro lado, el rebase presenta diferencias aún más significantes entre casos, con diferencias de 45 % (Figura 13). Con mayores alturas de oleaje incidente existe un incremento en las presiones y subpresiones máximas (Figura 12), y el rebase (Figura 13) en la estructura. Es importante resaltar que la presencia de la estructura afecta el punto de enfocamiento real debido al efecto de la reflexión y por lo tanto hace que la predicción sea muy complicada.

Figura 12 (a) Variación de la presión dinámica máxima en profundidad y (b) variaciones de las subpresiones dinámicas máxima con respecto a la distancia horizontal para los casos 2 al 6. 

Figura 13 Evolución temporal del rebase instantáneo para: (a) caso 3, (b) caso 4, (c) caso 5 y (d) caso 6.