Series depuradas

Con base en el archivo en Excel actualizado hasta 2015 de las estaciones climatológicas del estado de San Luis Potosí, proporcionado al autor por la Dirección Local de la Comisión Nacional del Agua (Conagua), se seleccionaron todos los registros de precipitación máxima diaria (PMD) anual con más de 40 valores y escasos datos faltantes, y se obtuvieron 100 series (^{Campos-Aranda, 2018}). Después se llevó a cabo una ratificación de sus valores extremos mínimos y máximos con auxilio de la Conagua, para obtener las llamadas series depuradas.

Pruebas de homogeneidad aplicadas

A cada serie depurada se le aplicó el Test de Von Neumann, como prueba general, que detecta la no aleatoriedad por componentes determinísticas no especificadas y varias pruebas específicas: Anderson y Sneyers de persistencia, Kendall y Spearman de tendencia, Bartlett de inconsistencia en la dispersión y Cramer de cambios en la media. Estas pruebas se pueden consultar en ^{WMO (1971)}, y ^{Machiwal y Jha (2008)}. Se encontró que un total de 39 series resultaron o no aleatorias, o bien presentaron persistencia y/o tendencia.

Series por procesar

Las 39 series no homogéneas se eliminaron, así como las de amplitud menor de 50 datos; con tales restricciones se dispuso de 35 registros de PMD anual en el estado de San Luis Potosí. Nueve series pertenecen al Altiplano Potosino (AP), 10 a la zona media (ZM) y 16 a la Región Huasteca. En este estudio se procesaron las 19 series que se ubican en los climas áridos y semiáridos de las áreas geográficas AP y ZM, cuyas altitudes en general son superiores a los mil metros. En la Tabla 1 se exponen las estaciones procesadas, su altitud, amplitud de registro y valores mínimo y máximo. En la Tabla 2 se muestran sus estadísticos y cocientes de momentos L (Ecuaciones (6) a (8)). Las primeras nueve estaciones climatológicas pertenecen al AP y las 10 restantes a la ZM. En la Figura 1 se muestra su ubicación geográfica en el estado de San Luis Potosí; México.

Figura 1 Localización geográfica de las 19 series de PMD anual procesadas del estado de San Luis Potosí, México. 

Momentos L de la muestra

Los momentos L son combinaciones lineales de los momentos de probabilidad ponderada (b _r ), por ello son robustos ante los valores dispersos de muestra. Su cálculo comienza por ordenar la serie disponible (x _i ) de PMD anual de menor a mayor (x1≤x2≤⋯≤xn) y entonces (^{Hosking & Wallis, 1997}; ^{Rao & Hamed, 2000}; ^{Asquith, 2011}; ^{Stedinger, 2017}):

En la expresión anterior, el número de orden r varía de 0 a 3 y n es el número de datos de la serie de PMD anual. Se deduce que b ₀ es igual a la media aritmética. Los momentos L de la muestra (l) y sus respectivos cocientes (t) de similitud con los coeficientes de variación, asimetría y curtosis son:

Diagrama de cocientes L

Tiene en el eje de las abscisas a t ₃ y en el de las ordenadas a t ₄. Las FDP de tres parámetros de ajuste son líneas curvas con las ecuaciones de tipo polinomio siguientes (^{Hosking & Wallis, 1997}):

Logística Generalizada (LOG):

Pareto Generalizada (PAG):

Log-normal (LGN):

Pearson tipo III (PT3):

y General de Valores Extremos (GVE):

siendo:SF=0.00567·t34-0.04208·t35+0.03763·t36

Utilizando los logaritmos de los datos en las Ecuaciones (1) a (8) se obtienen los cocientes L logarítmicos y entonces se puede utilizar la expresión (12) para evaluar la FDP Log-Pearson tipo III. En la Figura 2 se muestra una porción del diagrama de cocientes de momentos L, procedente de ^{Hosking y Wallis (1997)}.

Figura 2 Diagrama de cocientes L y valores puntuales correspondientes a las 19 series de PMD anual procesadas del estado de San Luis Potosí, México. 

Distancia absoluta ponderada

Uno de los enfoques recientes para la selección de la mejor FDP en los ámbitos local y regional consiste en llevar al diagrama de cocientes L los valores de la muestra (t ₃ y t ₄) y definir su cercanía a alguna de las curvas, para obtener el mejor modelo probabilístico. Lo anterior es relativamente simple en los análisis locales, pero se complica en el enfoque regional, como han señalado ^{Peel, Wang, Vogel y McMahon (2001)}, pues entonces se tiene una nube de puntos. Para evitar la subjetividad en la selección de la FDP, se ha propuesto evaluar la Distancia Absoluta Ponderada (DAP) con la expresión siguiente (^{Yue & Hashino, 2007}):

donde NE es el número de estaciones que integran la región; n_j , el número de datos de cada registro de PMD; t3obsj y t4obsj, los cocientes L de asimetría y curtosis de cada serie, y t4t3obsj es el valor teórico del cociente L de curtosis calculado con cada FDP (Ecuaciones (9) a (13)), para el valor observado del cociente L de asimetría. Una FDP con el menor valor de la DAP es la mejor para los datos, locales (NE = 1) o regionales.

Gráficos de diagnóstico

Los gráficos P-P y Q-Q de probabilidad empírica contra calculada y de cantidad observada contra estimada se han popularizado (^{Coles, 2001}; ^{Wilks, 2011}), y constituyen una manera simple y efectiva de comparar los resultados de una FDP contrastada. Su desventaja radica en la apreciación subjetiva que se hace al comparar diversas FDP con tales gráficas, ya que no se dispone de un valor numérico (^{Nguyen et al., 2017}). ^{Campos-Aranda (2015)} ha expuesto tales gráficos y visualiza más útil la gráfica de Q-Q para observar predicciones sobreestimadas (por quedar arriba de la recta a 45°) o subestimadas (por estar debajo de la recta a 45°).

Pruebas estadísticas

Estos tests como la Ji cuadrada, el de Kolmogorov-Smirnov o el de Anderson-Darling permiten justificar que una muestra se puede aceptar si proviene de una distribución específica que se esté analizando. En las dos primeras pruebas su desventaja radica en tener poca potencia y en la segunda de sólo ser aplicable para una FDP específica (^{Meylan et al., 2012}).

Índices de bondad de ajuste

Tienen la ventaja de ser de cálculo fácil y por lo común involucran la diferencia entre los valores observados x _i y los estimados con la FDP que se contrasta x^i (^{Pandey & Nguyen, 1999}; ^{Zalina, Desa, Nguyen, & Kassim, 2002}). ^{Meylan et al. (2012)} señalan dos desventajas de estos índices: (1) requieren de la aplicación de una fórmula empírica para estimar la probabilidad de cada dato; (2) no aportan un estimado de la probabilidad involucrada en el rechazo o aceptación de la FDP, y quizás ello es su ventaja al comparar varios modelos probabilísticos. En este trabajo se aplicaron ocho índices de bondad de ajuste. ^{Nguyen et al. (2017)} usan los cinco definidos en las Ecuaciones (17) a (22), exceptuando la (19), e incluyen otro similar al AIC (Ecuación (21)).

Fórmula empírica de probabilidad

^{Meylan et al. (2012)} indican que todas las ecuaciones empíricas que asignan probabilidades se basan en ordenar la muestra o serie disponible en magnitudes ascendentes, haciendo posible asociar un orden i con cada dato y después hacen uso de la fórmula general siguiente, la cual asegura simetría respecto a la mediana:

en la cual c es una cantidad constante y n es el tamaño del registro o serie de PMD anual.

^{Haktanir (1991)}, describe un hallazgo práctico de 1971 por Stipp y Young, que procesaron 37 registros anuales de crecientes de exactamente 20 datos cada uno, todos en EUA. Estimaron la probabilidad de cada evento máximo y mínimo de cada serie con base en la distribución Log-Pearson tipo III y después igualaron tales valores con el obtenido de la Ecuación (15), encontrando que c tenía una magnitud aproximada de 0.40, por lo cual:

^{Haktanir (1991)} también indica que años después Cunnane llega a la misma Ecuación (16) de manera teórica e independiente, estableciendo que tal fórmula no es específica de una FDP, y que sus resultados son insesgados y tienen error cuadrado mínimo. ^{Cunnane (1978)} además encuentra, con argumentos estadísticos, que la popular fórmula de Weibull (^{Benson, 1962}) sólo es aplicable para una distribución uniforme, por lo cual no es conveniente emplearla en series de valores hidrológicos extremos (crecientes, sequías, PMD, etc.).

Error estándar de ajuste (EEA)

Es el índice más común (^{Chai & Draxler, 2014}). Se estableció a mediados de la década de 1970 (^{Kite, 1977}), y se ha aplicado en México haciendo uso de la fórmula empírica de Weibull (^{Benson, 1962}). Ahora se aplicará utilizando la fórmula de Cunnane (Ecuación (16)), que de acuerdo con ^{Stedinger (2017)} conduce a probabilidades de no excedencia ( pi:n) aproximadamente insesgadas para muchas FDP, por ello fue adoptada por ^{Nguyen et al. (2017)}. La expresión del EEA es:

en la cual x _i son los datos observados ordenados de menor a mayor; x^i, los estimados para la probabilidad estimada con la Ecuación (16) y la FDP que se contrasta; np, el número de parámetros de ajuste de la FDP, con cinco para la Wakeby y tres para el resto de las contrastadas; el numerador de esta ecuación es la suma de errores al cuadrado (SEC); el EEA tiene las unidades de la variable x _i .

Error relativo estándar de ajuste (EREA)

En el EEA todas las diferencias o residuos se elevan al cuadrado y ello implica dar mayor peso a los valores altos de la muestra; para reducir este impacto, se aplica el EREA, que es adimensional, su ecuación es (^{Pandey & Nguyen, 1999}; ^{Nguyen et al., 2017}):

Error absoluto medio (EAM)

Sus ventajas radican en tener las unidades de la variable, al igual que el EEA, y evitar que el impacto de los valores dispersos sea elevado al cuadrado, y por ello EEA ≥ EAM (^{Willmott & Matsuura, 2005}). Su expresión es (^{Pandey & Nguyen, 1999}; ^{Nguyen et al., 2017}):

Error absoluto máximo (EAMx)

Este índice muestra al más grande de los errores o residuales absolutos, por ello ^{Nguyen et al. (2017)} han señalado que está relacionado con el estadístico de la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Su ecuación es:

Criterio de información de Akaike (AIC)

Este índice emplea en su concepción original el valor máximo alcanzado en la función de verosimilitud durante el ajuste, con tal método, de la FDP que se contrasta. Para poder aplicar el índice, ^{Nguyen et al. (2017)} emplean la suma de errores al cuadrado (SEC) como indicador de la calidad del ajuste y entonces su ecuación es:

En estos primeros cinco índices, el valor menor de ellos indica el mejor ajuste de la FDP y su magnitud máxima el peor ajuste de la FDP contrastada. En los tres índices siguientes ocurre lo contrario, de manera que un valor máximo indica un buen ajuste de la FDP y viceversa.

Coeficiente de correlación de Q-Q (COC)

Este índice ha sido utilizado como el criterio principal de selección por ^{Zalina et al. (2002)} e indica la dependencia lineal que existe en el gráfico de Q-Q, por lo cual varía de 0 a 1. Los valores del COC cercanos a la unidad indican un buen ajuste de la FDP que se contrasta; su ecuación es:

en donde x- y x^im son los valores medios de los datos y de los valores estimados.

Índices de concordancia (d₁, d₂)

De acuerdo con ^{Legates y McCabe (1999)}, Willmott señaló desde inicios de los años de 1980 que el índice COC está limitado y es insensible a las diferencias y varianzas entre x _i y x^i por usar valores estandarizados con sus medias, y por ello propone el índice de concordancia (d ₂) adimensional, con la expresión:

El numerador es la SEC y el denominador se llama el error potencial, por ser el valor máximo que la diferencia entre x _i y x^i puede alcanzar en cada dato. ^{Legates y McCabe (1999)} señalan que el índice de concordancia (d ₂) también resulta sensitivo a los valores dispersos por usar las diferencias entre x _i y x^i al cuadrado, y por ello proponen el índice de concordancia modificado (d ₁), en el cual el numerador y denominar no se tienen al cuadrado sino con valor absoluto, esto es:

Tanto d₂ como d₁ varían de 0 a 1, con una interpretación igual al COC, por lo general d ₂ ≥ d₁.

Enfoques disponibles

La habilidad predictiva de las FDP está relacionada con las predicciones realizadas a periodos de retorno (Tr) superiores al tamaño del registro (n), o bien a la comparación con los valores extremos observados en el registro. Existen tres enfoques para probar o verificar tal habilidad predictiva, el primero es el más simple y consiste en el contraste numérico de las predicciones obtenidas con cada FDP para diversos Tr adoptados.

El segundo enfoque de verificación de la habilidad predictiva fue ejemplificado por ^{Haktanir (1992)}. Utiliza muestras aleatorias generadas con modelos básicos (LP3, GVE y WAK), que emplean los parámetros de ajuste obtenidos en los registros adoptados como representativos de las regiones geográficas estudiadas. Las mejores FDP se adoptan con base en el menor EREA.

A partir de la década de 1990 (^{Wilks, 1993}; ^{Zalina et al., 2002}; ^{Nguyen et al., 2017}) se ha propuesto un tercer enfoque de contraste, basado en muestras aleatorias generadas a partir del registro histórico mediante muestreo con remplazo (técnica bootstrap), el cual contrasta predicciones dentro del registro obtenidas con las FDP probadas con los valores extremos de tal muestra. Las mejores FDP son las que muestran menor dispersión.

Enfoque adoptado

Corresponde al primero y más simple, pues se cuenta con las mejores FDP de cada registro de PMD anual, según el diagrama de cocientes L y de acuerdo con los ocho índices de habilidad descriptiva aplicados. Consiste en adoptar una de las FDP contrastadas y sus predicciones, siguiendo una regla establecida a priori, por ejemplo, adoptar los valores más críticos o mayores en la mayoría de los Tr contrastados, siempre y cuando tales predicciones sean similares, lo cual implica exactitud y genera confianza en las magnitudes adoptadas bajo tal esquema subjetivo.

Observaciones generales

Respecto a la distribución Log-Pearson tipo III (LP3), se obtuvo un menor error estándar de ajuste en el dominio real en las estaciones Charcas, Los Filtros, Mexquitic y Santo Domingo del Altiplano Potosino, y en las estaciones Paso de San Antonio y San Francisco de la Zona Media. En las 13 estaciones restantes, el mejor ajuste se obtuvo en el dominio logarítmico.

En relación con la distribución Wakeby (WAK), en un total de nueve registros se obtuvo que el parámetro de ubicación (ξ) resultó ligeramente superior al valor mínimo de la serie, lo cual estrictamente es incorrecto. En estos nueve registros se ajustó la distribución Wakeby con ξ = 0, según procedimiento de ^{Hosking y Wallis (1997)}, y se contrastaron sus resultados (índices de habilidad descriptiva y predicciones) contra los ajustes previos. Exclusivamente en la estación San José Alburquerque se encontró más adecuada según los índices EAMx y COC, así como predicciones menos dispersas, es decir, mejoró su habilidad predictiva.

Resultados en el Altiplano Potosino

Concentrado por estaciones pluviométricas

En la Tabla 6 se han integrado los resultados de las últimas columnas de cada tabulación no expuesta del índice analizado, es decir, se tienen las mejores FDP en cada estación de acuerdo con cada índice. Cuando dos o más FDP mostraron igual valor para el índice analizado en una cierta estación, la mejor FDP se escogió con base en el mejor valor promedio (último renglón de cada tabulación no expuesta).

Tabla 6 Mejores FDP según índices de habilidad descriptiva en las nueve series de PMD anual procesadas del Altiplano Potosino del estado de San Luis Potosí, México. 

Estación	Índices de habilidad descriptiva								Mejores dos FDP*
	EEA	EREA	EAM	EAMx	AIC	COC	d 2	d 1
Cedral	LP3	WAK	WAK	LP3	LP3	WAK	LP3	WAK	WAK(4), LP3(4)
Charcas	WAK	WAK	WAK	GVE	WAK	GVE	WAK	WAK	WAK(6), GVE(2)
La Maroma	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP(8)
Los Filtros	BEK	LGN	WAK	BEK	BEK	BEK	BEK	WAK	BEK(5), WAK(2)
Matehuala	BEK	WAK	WAK	BEK	BEK	BEK	BEK	WAK	BEK(5), WAK(3)
Mexquitic	WAK	LGN	WAK	WAK	WAK	BEK	LOG	WAK	WAK(5), BEK(1)
Peñón Blanco	LP3	WAK	GVE	LP3	LP3	LP3	LP3	GVE	LP3(5), GVE(2)
Santo Domingo	BEK	WAK	WAK	LP3	BEK	BEK	BEK	LOG	BEK(4), WAK(2)
Vanegas	PAG	LP3	LP3	PAG	PAG	PAG	PAG	LP3	PAG(5), LP3(3)
Regional	LOG	BEP	WAK	LP3	LOG	WAK	LP3	WAK	WAK(3), LP3(2)

*Entre paréntesis el número de veces que ocurre.

En la Tabla 6 se observa que en todas las columnas aparece la distribución Wakeby (WAK), con una ocurrencia en los índices EAMx y COC, hasta seis en el índice EAM, y cinco en los índices EREA y d ₁. El modelo probabilístico Wakeby es el mejor en 31.9% de los casos. Estos resultados orientan a definir la FDP Wakeby como un modelo que siempre se debe aplicar al procesar registros de PMD anual en climas áridos y semiáridos. En el último renglón de la Tabla 6, la segunda opción de la FDP regional pueden ser las distribuciones LOG y LP3 con dos ocurrencias cada una; se escoge la segunda por ser mejor en relación con dos índices no correlacionados (EAMx y d ₂).

Suprimiendo la distribución Wakeby de la Tabla 6, se busca la siguiente mejor y entonces se forma la Tabla 7, cuya columna final indica las dos mejores FDP y su número de ocurrencias en cada registro procesado. Como resumen de resultados de la Tabla 7 para el Altiplano Potosino, se puede indicar que las FDP Beta son la mejor opción en cuatro estaciones, después siguen los modelos LP3 y LOG en dos estaciones cada uno y, por último, la distribución Pareto generalizada es la mejor opción de una estación.

Tabla 7 Mejores FDP (excluyendo la Wakeby), según índices de habilidad descriptiva en las nueve series de PMD anual procesadas del Altiplano Potosino del estado de San Luis Potosí, México. 

Estación:	Índices de habilidad descriptiva								Mejores dos FDP*
	EEA	EREA	EAM	EAMx	AIC	COC	d 2	d 1
Cedral	LP3	LOG	LOG	LP3	LP3	LP3	LP3	LOG	LP3(5), LOG(3)
Charcas	LGN	BEK	LOG	GVE	LGN	GVE	LP3	LOG	LOG(2), GVE(2)
La Maroma	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP	BEP(8)
Los Filtros	BEK	LGN	BEP	BEK	BEK	BEK	BEK	BEP	BEK(5), BEP(2)
Matehuala	BEK	GVE	LOG	BEK	BEK	BEK	BEK	BEP	BEK(5), LOG(1)
Mexquitic	LOG	LGN	LOG	LOG	LOG	BEK	LOG	LOG	LOG(6), BEK(1)
Peñón Bco.	LP3	BEP	GVE	LP3	LP3	LP3	LP3	GVE	LP3(5), GVE(2)
S. Domingo	BEK	LOG	BEP	LP3	BEK	BEK	BEK	LOG	BEK(4), LOG(2)
Vanegas	PAG	LP3	LP3	PAG	PAG	PAG	PAG	LP3	PAG(5), LP3(3)

*Entre paréntesis el número de veces que ocurre.

En la Figura 3 se muestra el gráfico Q-Q de la estación Mexquitic, cuyos valores estimados de PMD anual se obtuvieron con la FDP Wakeby. Este ajuste corresponde a un EEA de 1.45 milímetros, que fue el mínimo encontrado en las estaciones del Altiplano Potosino (Tabla 5).

Figura 3 Gráfico Q-Q de la estación Mexquitic obtenido con la FDP Wakeby. 

Resultados en la Zona Media

FDP aplicadas

Para cada estación climatológica o registro de PMD anual se escogieron cuatro FDP por contrastar. La primera corresponde a la mejor opción de la Tabla 3, es decir, es la FDP más adecuada según resultados del diagrama de cocientes L. Las siguientes dos FDP por aplicar fueron las obtenidas como mejores opciones de acuerdo con los ocho índices de habilidad descriptiva, las cuales se concentraron en la Tabla 7 y Tabla 10. Por último, se aplicó la FDP Wakeby debido a su gran capacidad descriptiva, que fue mostrada en la Tabla 6 y Tabla 9; por ello, se sugiere de aplicación bajo precepto. En la Tabla 11 y Tabla 12 de predicciones calculadas y adoptadas se han destacado con negritas las siguientes tres estaciones: La Maroma, Río Verde y San José Alburquerque, debido a que en ellas sólo se contrastan tres FDP, pues la Tabla 7 y Tabla 10 reportan sólo una mejor FDP en los ocho índices de habilidad descriptiva aplicados.

Cuando alguna de las dos mejores FDP de la Tabla 7 o Tabla 10 coincidía con la primera distribución aplicada, se cambió esta última por su segunda y/o tercera opción de la Tabla 3. La opción que tiene la primera FDP aplicada se indicó entre paréntesis rectangular en la Tabla 11 y Tabla 12 de predicciones calculadas y seleccionadas. Para las dos mejores FDP de la Tabla 7 y Tabla 10 se indica en paréntesis circular el número de índices de habilidad descriptiva en que son las mejores. Lo mismo se indica para la distribución Wakeby, pero tal dato procede de la Tabla 6 y Tabla 9.

Estadísticas obtenidas

En la Tabla 1 se observa que la mayoría de los registros procesados de PMD anual tienen una amplitud de 50 años o más, debido a lo cual se calculó el cociente entre el valor máximo del registro (P_M ) y la predicción de un periodo de retorno de 50 años (P ₅₀). Este cociente se indica en las columnas 2 de la Tabla 11 y Tabla 12; cuando es cercano a la unidad indica que el registro no tiene valores dispersos extremos (outliers) que se apartan de la tendencia natural de los datos. En cambio, cuando excede a 1.50 existe presencia de uno o más valores dispersos, caso de las cuatro estaciones: Cedral, Peñón Blanco, Santo Domingo y Rayón.

En las cuatro estaciones citadas, la distribución Wakeby, debido a la extraordinaria flexibilidad que le otorgan sus cinco parámetros de ajuste, conduce a predicciones muy elevadas en el periodo de retorno de mil años, como se observa al compararlas con las obtenidas con las otras FDP contrastadas. En ninguno de los casos citados se adoptó la FDP Wakeby, por considerarse exageradas sus predicciones, al no coincidir con las de los otros tres modelos probabilísticos contrastados en tal estación. ^{Nguyen et al. (2017)} también encuentran que la distribución Wakeby tiene baja habilidad predictiva, al mostrar gran variabilidad en sus predicciones.

En la Tabla 11 y Tabla 12 de predicciones calculadas y adoptadas en las estaciones del Altiplano Potosino y de la Zona Media se están tomando en cuenta de manera implícita las habilidades descriptivas y predictivas de cada una de las FDP contrastadas; por ello, las conclusiones siguientes se consideran globales del estudio.

Se obtuvo que en 12 estaciones los valores adoptados proceden de las dos FDP que fueron mejor opción de acuerdo con los ocho índices de habilidad descriptiva. En cinco estaciones, las predicciones adoptadas fueron calculadas con las FDP mejores opciones según el diagrama de cocientes L, y sólo en dos estaciones se adoptaron las predicciones calculadas con la distribución Wakeby.

Como ya se indicó, exclusivamente en tres estaciones: La Maroma, Río Verde y San José Alburquerque se obtuvo una concordancia total en los ocho índices de habilidad descriptiva para las FDP Beta-P, Pareto generalizada y Log-Pearson tipo III, respectivamente. Dichas estaciones se han destacado con negritas tanto en la Tabla 11 como en la Tabla 12.

Por áreas geográficas, en el Altiplano Potosino de nueve registros procesados, la FDP Beta-κ fue el modelo adoptado en tres estaciones y la distribución Log-Pearson tipo III en dos estaciones. En la Zona Media de 10 registros procesados, tuvo preponderancia de adopción la FDP Logística Generalizada con cuatro estaciones y le siguió la distribución LP3 con tres estaciones.