2.1. Fines de la educación estadística

Requerimos del desarrollo de conocimientos estadísticos para comprender la información que se genera en el mundo. Los fines de la enseñanza de la estadística se relacionan con la noción de alfabetización estadística, que promueve el desarrollo de habilidades en los estudiantes enfocadas a la organización, interpretación y análisis de datos en diversas situaciones (^{Bilgin et al., 2017}). Adicionalmente, un fin importante de la educación estadística es formar individuos con conocimientos estadísticos claros para responder preguntas que involucran datos (^{Ben-Zvi y Garfield, 2004}).

En esa misma línea, la enseñanza de la estadística contribuye a los fines culturales, formativos, políticos y sociales de la educación matemática. Aprender estadística ayuda a que los ciudadanos comprendan y reconozcan su papel en la sociedad, y que entiendan cómo ha contribuido al desarrollo de nuestra cultura (fines culturales); comprendan los fenómenos que involucran datos y análisis de información (fines formativos); comprendan los fenómenos sociales que los afectan como miembros de una sociedad (fines políticos); y puedan desarrollarse profesionalmente, vivan en sociedad, actúen en ella y tomen decisiones personales (fines sociales) (^{Rico et al., 1997}).

2.2. Estadística en educación primaria: revisiones curriculares

Los temas en estadística en los currículos de primaria pueden variar según el país, algunos tienen como referencia documentos curriculares obligatorios a nivel nacional, otros tienen libertad para usar los documentos disponibles en el país, el resto no poseen un plan de estudios nacional (^{Zieffler et al., 2018}). En lo que sigue, presentamos algunos estudios en los que se han realizado revisiones curriculares sobre los temas tratados en la enseñanza de la estadística en educación primaria en diferentes regiones del mundo.

En una revisión de los currículos de Brasil e Inglaterra, ^{Ainley y Monteiro (2008)} encontraron que, en ambos casos la enseñanza de la estadística se enfoca en la resolución de problemas y en el estudio de variables cercanas a los estudiantes. Por otro lado, constataron que los temas relacionados con la tecnología o con las representaciones gráficas no se incluyen o no tienen propósitos claros y específicos para su enseñanza.

En un estudio comparativo de los currículos de Chile y España, ^{Merino y Reyes (2013)} identificaron que en ambos países, la enseñanza de la estadística en educación primaria se enfoca en el desarrollo de contenidos y competencias para que los estudiantes aprendan a clasificar, organizar, analizar e interpretar datos que provengan de diferentes situaciones de su vida cotidiana. Particularmente, en el currículo español, identificaron que se consideran temas como: variables cualitativas, tablas de doble entrada, gráficas de barras, pictogramas, sectores, media aritmética, moda y rango. Mientras que, en el currículo chileno, se encontró información relacionada con la enseñanza de tablas de frecuencias, pictogramas, uso de objetos físicos o manipulables para realizar conteos de datos, gráficos de barras, líneas, y tallos y hojas, y media aritmética. Los autores resaltan la importancia que ha tenido la inclusión de la estadística durante los últimos años e incentivan a indagar sobre la enseñanza de la estadística en diferentes países, los cambios curriculares y la comparación entre currículos de diferentes regiones.

En otro estudio, ^{Ruiz (2015)} revisó la información del estudio SERCE de la UNESCO (^{Murillo Torrecilla y Román Carrasco, 2009}) para indagar sobre la enseñanza de la estadística en la educación primaria en América Latina. En primer lugar, identificó que a la estadística se le dedica el menor porcentaje de tiempo de enseñanza en comparación con las cuatro áreas del conocimiento matemático: estadística (16%), geometría (18%), medida (19%) y números (50%). En cuanto a los temas que se enseñan, identificó que, para el grado tercero, la enseñanza está enfocada a la organización e interpretación de información por medio de tablas de doble entrada y gráficas de barras. Respecto al grado sexto, la enseñanza se centra en la organización e interpretación de datos por medio de tablas y gráficas, y la enseñanza de la media aritmética. Por último, resalta que en los países analizados no se encontró evidencia de la enseñanza de nociones relacionadas con variabilidad y se podría pensar que no se esperaría que estos temas se incluyeran en el currículo de matemáticas en estos grados. Sin embargo, otros autores argumentan que no tendría sentido abordar la resolución de problemas en estadística sin considerar la variabilidad (^{Cobb y Moore, 1997}; ^{NCTM, 2000}).

Un caso de particular interés en términos de su currículo y de las revisiones curriculares en estadística en los diferentes niveles escolares es Nueva Zelanda, dado que la estadística ha sido considerada en el currículo desde hace más de 50 años (incluidos algunos grados de primaria) y, a finales del siglo pasado, se consideró en todos los niveles escolares (^{Watson, 2013}). A principios de este siglo, el Ministerio de Educación de ese país generó una nueva asignación curricular dando visibilidad a la estadística como dominio relevante a nivel de las matemáticas. Como resultado, actualmente, en el currículo se hace referencia a matemáticas y estadística, mientras que, en el pasado se hablaba nada más de matemáticas. En los programas de los primeros niveles escolares relativos a estadística, se encuentra información relacionada con recoger, clasificar, visualizar y comparar datos de diferentes variables estadísticas. En primaria, se resalta la importancia de determinar las variables y los procedimientos adecuados para la recogida de datos, así como su correspondiente y adecuada representación. En el análisis de datos, se hace referencia a identificar patrones, relaciones, tendencias y variaciones sobre los datos. Finalmente, se resalta el hecho de elaborar conclusiones a partir de los datos analizados como un aspecto importante en la educación estadística en primaria (^{New Zealand Ministry of Education, 2007}).

En un trabajo posterior, realizado por ^{Groth (2018)}, se revisaron los documentos curriculares de Australia, Estados Unidos, Inglaterra y Nueva Zelanda para observar el tratamiento de la estadística en los primeros grados escolares. En todos ellos se incluye la estadística en educación primaria y se recomienda abordar el estudio de planeamiento de preguntas estadísticas. No obstante, los documentos difieren en cuanto a los tipos de preguntas y su finalidad. Por ejemplo, en algunos documentos se hace referencia a abordar preguntas específicas con datos categóricos y otros documentos hacen referencia a preguntas abiertas sin especificar el tipo de datos.

En ^{Opolot-Okurut y Eluk (2011)}, se describe el panorama de la enseñanza de la estadística en educación primaria y secundaria para las escuelas en Uganda. Los temas de estadística para primaria se relacionan con interpretar información y con el uso de gráficos. En los primeros grados de primaria, se hace referencia a la representación de datos en gráficas de barras y tablas de datos sencillos; mientras que, en los últimos grados, se alude a información sobre los promedios estadísticos. En un estudio similar sobre el currículo de Sudáfrica, se señala la importancia de organizar, representar, analizar e interpretar datos en la enseñanza de la estadística en primaria (^{Wessels, 2011}).

Del mismo modo, ^{Frischemeier (2018)} señala que en Alemania, la enseñanza de la estadística en educación primaria incluye los temas como plantear preguntas, recopilar y aprender a representar datos; a su vez, se considera importante desarrollar el análisis de los datos y se hace alusión al uso de las herramientas tecnológicas para explorar conjuntos grandes de datos en contextos reales.

En lo que sigue, describimos una propuesta de temas que podrían contemplarse en los currículos de estadística en educación primaria.

2.3. Temas considerados en la enseñanza de la estadística en educación primaria

En esta sección, con base en las investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje de la estadística describimos los temas que se recomienda incluirse en educación primaria. En ese sentido, autoras como ^{Batanero (2000)} afirman que la enseñanza de la estadística en este nivel educativo debe estar enfocada hacia la organización y representación de diferentes tipos de datos mediante dibujos, tablas y gráficas; el análisis y la interpretación de información en relación con el contexto. Asimismo, ^{López (2015)} argumenta que la enseñanza de la estadística en primaria no debe basarse en conceptos, procedimientos y/o técnicas descontextualizadas, sino que se deben desarrollar los procesos de organización, representación, análisis e interpretación de datos en diferentes contextos y situaciones cercanas a los estudiantes.

De esta manera, los estudiantes en primaria pueden aprender a tomar decisiones y evaluar afirmaciones en diferentes contextos (^{English y Watson, 2018}). En estas primeras etapas de la educación, es importante que los estudiantes reconozcan fenómenos naturales y sociales, y que la estadística sea una herramienta con la que se pueden estudiar esos fenómenos (^{López et al., 2015}). Un ejemplo de estas posturas es el trabajo de ^{Chick y Pierce (2008)}, en el que se muestra cómo estudiantes de primaria utilizan gráficos de líneas y tablas de frecuencia para discutir sobre el almacenamiento de agua en la ciudad de Melbourne.

Por otro lado, las nociones como población, muestra y variables estadísticas también se consideran importantes para la enseñanza de la estadística en primaria. Asimismo, las nociones intuitivas de centro y variabilidad son importantes para realizar análisis estadísticos que permitan el desarrollo de habilidades estadísticas para la comprensión y análisis de la información (^{Ruiz, 2015}). En este sentido, se deben enseñar contenidos estadísticos como frecuencia, media aritmética, rango y gráfico de barras para comprender su importancia en el análisis de información en situaciones de la vida real.

Para la comprensión de los conceptos y procedimientos estadísticos en la enseñanza en primaria, es importante promover el uso de representaciones gráficas para organizar y visualizar los datos; el empleo de materiales manipulativos para recoger datos de la vida real; y la inclusión de nuevas tecnologías para el análisis de conjuntos de grandes datos con cálculos estadísticos (^{Serrano, 2011}; ^{Zieffler et al., 2018}). Así, la representación y análisis de datos es un eje central en la enseñanza de la estadística; por ejemplo, para organizar datos se usan tablas de frecuencias y, para representarlos, se usan diferentes tipos de gráficos como el de barras, los histogramas, los pictogramas, de sectores, de líneas, y de tallos y hojas. A su vez, para describir y analizar conjuntos de datos son necesarias las medidas de tendencia central o algunas medidas de dispersión (^{Alsina, 2016}).

2.4. Definición de unidades de análisis

Para analizar las propuestas curriculares llevamos a cabo un análisis de contenido. Primeramente, constituimos las categorías en función de los fundamentos teóricos expuestos en las dos secciones anteriores (2.2 y 2.3). Luego, organizamos la información con base en estas tres categorías: conceptos y procedimientos, representaciones y fenomenología (como se muestra en la Figura 1) (^{Cañadas et al., 2018}).

Figura 1 Sistema de categorías sobre la enseñanza de la estadística en educación primaria 

Respecto a los conceptos y procedimientos, estos se usan para describir y analizar características sobre una población de interés. En algunas ocasiones, no contamos con la información completa de la población y recurrimos a conformar muestras que permitan estudiar diferentes variables cualitativas (nominales u ordinales) o cuantitativas (discretas o continuas) y con ello postular algunas conclusiones acerca de la población. Además de estos elementos, consideramos las medidas de centralización (media, mediana y moda), posición (cuantiles), y medidas de variación o dispersión (rango y varianza) que permiten describir conjuntos de datos y sus distribuciones.

En cuanto a los tipos de representación, estos dependen de los aspectos que se busquen destacar, mostrar o sintetizar del conjunto de datos y de las relaciones entre ellos. Por ejemplo, el propósito de usar un histograma es destacar o mostrar cómo varía la frecuencia con la que se distribuyen los datos al agruparlos en ciertos intervalos preestablecidos. Usamos un gráfico de caja o bigotes para extraer ideas sobre la forma en que están distribuidos los datos e identificar extremos de los intervalos al agruparlos en cuartiles. Por su parte, el usar un gráfico de barras permite la comparación de frecuencias entre categorías, mientras que un gráfico circular nos permite observar la relación de cada categoría respecto al total, en el caso de una distribución de un conjunto de datos cualitativos.

Finalmente, la fenomenología refiere a la organización, análisis e interpretación de información, y el uso de la estadística para la resolución de problemas. Por ejemplo, utilizamos la estadística para (a) organizar, representar y resumir información de conjuntos de datos que tenemos interés en estudiar, (b) describir y analizar información de conjuntos de datos para determinar relaciones o características entre los datos y (c) interpretar los resultados obtenidos con base en un análisis de datos para establecer relaciones con el contexto de la situación. Dentro de la fenomenología consideramos también contextos matemáticos y no matemáticos.

Una vez descritas las categorías para analizar las propuestas curriculares, damos paso a describir el proceso de codificación de los temas de estadística en primaria.

3.1. Fuentes de información del estudio

Como fuentes de información para la codificación y revisión de los temas que se contemplan en la enseñanza de la estadística en educación primaria, tanto en Colombia como en los demás países, se consideraron los programas curriculares oficiales.

En el caso de Colombia, se cuenta con dos documentos curriculares: Estándares básicos de competencias en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas (^{Ministerio de Educación Nacional (MEN), 2006}), y Derechos básicos de aprendizaje (DBA) (^{MEN, 2016}). De estos documentos, revisamos las secciones relacionadas con el pensamiento aleatorio en educación primaria.

Para el caso de los demás países, revisamos los lineamientos nacionales de los 56 países¹ que participaron en TIMSS 2015 (^{Mullis et al., 2016}) (un estudio internacional de tendencias en Matemáticas y Ciencias para medir el rendimiento de los estudiantes de grados cuarto y octavo en estas áreas) a partir de la información curricular del área de matemáticas disponible en TIMMS Enciclopedia. Es por esta razón que elegimos estos países, pues se tiene información curricular de matemáticas disponible hasta grado 4 y grado 8. Para este trabajo, nos enfocamos y revisamos la información curricular ofrecida hasta el grado 4. En la siguiente sección, describimos los procedimientos para la codificación de la información y ejemplos de análisis.

3.2. Codificación y análisis de los temas: Colombia

La codificación se llevó a cabo teniendo en cuenta el sistema de categorías en donde los conceptos corresponden a aquellas afirmaciones o segmentos de texto que los incluyen junto con verbos como “comprender”, “describir” o “analizar”; por ejemplo, segmentos de texto como “comprender las medidas de tendencia central”, “describir un conjunto de datos a partir de la moda” o “analizar distintos gráficos de una variable cuantitativa”. Estos segmentos de texto se codificaron con los códigos “Medidas de tendencia central”, “Moda”, “Gráficas” y “Variable cuantitativa”.

Por otro lado, codificamos los procedimientos a partir de afirmaciones o segmentos de texto que los incluyen junto con verbos como “calcular”, “hallar” o “representar”; por ejemplo, códigos como “Media” y “Pictograma” para aquellos segmentos de texto que incluían frases como “calcular la media” y “representar con un pictograma”, respectivamente. En algunos casos, un código puede representar un conocimiento conceptual (propiedades de la media) o procedimental (cálculo de la media).

El documento de los Estándares tiene dos partes: un marco conceptual y un apartado de estándares para matemáticas que permite identificar lo que se espera que aprendan los estudiantes colombianos en los diferentes grados escolares (1-3, 4-5, 7-9, 10-11). Nos centramos en revisar la información del pensamiento aleatorio para los grados de primero a quinto (1-3 y 4-5). Los temas identificados se basan en la asignación de un código con base en la Figura 1, a al menos un segmento de texto en cada uno de los documentos. Por ejemplo, para el segmento de texto en los grados 1-3: “Interpreto cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno” (^{MEN, 2006, p. 81}) asignamos los códigos “Variables cualitativas” en conceptos y procedimientos, y “Contextos no matemáticos” e “Interpretar” en fenomenología. Para el segmento de texto en los grados 4-5: “Represento datos usando tablas y gráficas (pictogramas, gráficas de barras, diagramas de línea, diagramas circulares)” (p. 83), asignamos los códigos “Tablas”, “Gráficas”, “Pictogramas”, “Gráficas de Barras”, “Gráficas de Líneas” y “Gráficas circulares”.

En el documento de los Derechos básicos de aprendizaje encontramos información relacionada con estadística para cada uno de los grados de primaria y no por ciclos como en los estándares. Por ejemplo, para el segmento de texto del grado 3: “Lee e interpreta información contenida en tablas de frecuencia, gráficos de barras y/o pictogramas con escala, para formular y resolver preguntas de situaciones de su entorno” (^{MEN, 2006, p. 81}) asignamos los códigos “Contextos no matemáticos” e “Interpretar” en fenomenología, los códigos “Gráficos de barras”, “Pictogramas” y “Tablas” en representaciones y “Frecuencia” en conceptos y procedimientos. Adicionalmente, para el texto del grado 3: “Identifica la moda a partir de datos que se presentan en gráficos y tablas” (p.18), codificamos “Moda” como conceptos y procedimientos y “Gráficos” y “Tablas” como representaciones.

Con base en la codificación de ambos documentos, concretamos los temas que se consideran en este país para estadística en primaria. En la siguiente sección, presentamos el proceso de codificación para la información curricular de los otros países.

3.3. Codificación y análisis de los temas: países participantes en TIMSS 2015

Revisamos la información curricular de cada uno de los países participantes en el estudio TIMSS 2015 y codificamos los segmentos de texto en términos de las categorías. El procedimiento fue similar a la codificación para el caso de Colombia. Asignamos el número uno cuando encontramos información que hacía referencia a cada código del sistema de categorías de la Figura 1.

Por ejemplo, el segmento de texto² “Recoger datos e informaciones, elaborar formas para organizarlos y expresarlos, interpretar datos presentados bajo forma de tablas y gráficos” fue codificado con los códigos “Organizar” e “Interpretar” en fenomenología y los códigos “Tablas” y “Gráficas” en representaciones. El segmento de texto “Calcular la media, mediana y moda en un conjunto de datos estadísticos” fue codificado con los códigos “Media”, “Mediana” y “Moda” en conceptos y procedimientos. En la Tabla I, presentamos un ejemplo de síntesis de la codificación realizada para cinco países de la muestra seleccionada con algunos códigos.

Luego de codificar la información, procedimos a calcular las frecuencias absolutas y porcentuales que nos permitieron identificar los códigos más y menos frecuentes. Con base en estas frecuencias, identificamos los temas que se consideran en la enseñanza de la estadística en educación primaria. En los resultados, detallamos dichos temas y describimos las diferencias y similitudes entre los países.

4.1. El caso de Colombia

En esta sección, describimos los resultados que obtuvimos al revisar los documentos curriculares para el caso de Colombia: Estándares y los DBA. En la Tabla II, presentamos los temas propuestos en la enseñanza de la estadística en educación primaria obtenidos a partir del proceso de codificación. Una estrella en las columnas Estándares o DBA significa que existe al menos un segmento de texto con el tema en el documento correspondiente, es decir, el tema aparece en los documentos curriculares. En la columna del documento de los estándares, se muestran los resultados hasta grado quinto de primaria, ya que los temas vienen por ciclos de grados en este documento (1-3 y 4-5). Para el documento de los DBA, se muestran los temas que se consideran hasta grado cuarto.

De manera general, en Colombia, se consideran los conceptos básicos de población, muestra y variables estadísticas; como medidas de tendencia central se incluye la media, la moda y la mediana y como medida de dispersión, el rango. Respecto a las representaciones se consideran las tablas, objetos concretos (manipulativos) para los conteos, los pictogramas, las gráficas de barras, circulares y de línea. En cuanto a los contextos, encontramos la organización, interpretación y análisis de información en contextos no matemáticos, así como la resolución de problemas.

Con base en la información de la Tabla II, identificamos algunas diferencias respecto a los temas que se proponen en los dos documentos curriculares. Los conceptos de población, muestra, variables estadísticas (cuantitativas), la moda y el rango se incluyen en los DBA, pero no en los estándares. En la Tabla II se observa que los temas de media, mediana y el gráfico circular se incluyen en los estándares y no en los DBA. No obstante, corroboramos que estos temas aparecen en el grado quinto de los DBA. Por lo tanto, constatamos que no hay ningún tema que aparezca en los estándares que no se encuentre en los DBA.

4.2. El caso de los países participantes en TIMSS 2015

Como primer resultado, constatamos que cinco países (Armenia, Israel, Polonia, Marruecos y Serbia) no incluyen la enseñanza de la estadística o solamente aparece el término genérico estadística en sus currículos en el nivel primaria. En la Tabla III mostramos las frecuencias porcentuales que indican la cantidad de currículos que incluyen los diferentes temas en la enseñanza de la estadística en términos de las categorías propuestas. Por ejemplo, el 24% de países de TIMSS 2015 incluyen el tema variables cuantitativas en estadística en primaria.

Con base en la información de la Tabla III, no encontramos ningún tema con una frecuencia del 100%. Sin embargo, identificamos que el tema más común en estos países son las representaciones gráficas (con una frecuencia del 90%) junto con las tablas (69%). De igual manera, los temas relacionados con las representaciones tienen las mayores frecuencias porcentuales (mayores al 50%). De esta manera, la gráfica más común es la de barras (45%), seguida por la circular (31%), los pictogramas (22%) y el gráfico de líneas (14%); por su parte, la representación ejecutable tiene un 16% de frecuencia. En cuanto a los histogramas y/o gráficos de tallos y hojas, encontramos que hay al menos un documento curricular de la muestra que los incluye.

En cuanto a los usos, los temas con mayor frecuencia nos indican que los documentos curriculares se centran en la organización (45%) y análisis de la información (35%). Respecto a los contextos, el de mayor frecuencia es el no matemático (27%). Por otra parte, se consideran también, interpretar información (24%) o la resolución de problemas (20%).

Respecto a los conceptos y procedimientos, las mayores frecuencias las tienen las medidas de tendencia central: la media aritmética (47%), la moda (35%) y la mediana (29%). También identificamos que se hace alusión explícita a los temas de variables cualitativas y cuantitativas (24%) y el rango como medida de dispersión (12%).

4.3. Comparación entre Colombia y los países participantes en TIMSS 2015

En la Tabla IV, presentamos la comparación entre la información curricular de Colombia y la de los países participantes en TIMSS 2015.

En los documentos curriculares de Colombia se hace referencia a los conceptos básicos de población y muestra, que no se mencionan en los países participantes en TIMSS 2015. En ambos casos, se consideran las variables cualitativas o cuantitativas, al igual que las tres medidas de tendencia central (media, moda, mediana). La única medida de dispersión que encontramos en común es el rango; en ninguno de los casos se hace referencia a otras medidas de dispersión o de posición.

Otro de los temas que se consideran en ambos casos son las representaciones gráficas (barras, pictogramas, circular y líneas), al igual que las tablas. El currículo colombiano no incluye, por ejemplo, la representación ejecutable y el gráfico de tallos y hojas, que sí se consideran en otros países. Asimismo, la representación manipulativa (uso de objetos concretos) aparece solo en los documentos de Colombia.

Por último, en cuanto a la fenomenología, encontramos que todos los temas son comunes, excepto los contextos no matemáticos que solo aparecen en los documentos curriculares de los países participantes en TIMSS 2015.