4.1.El análisis de libros de texto como elemento clave en la formulación de una descomposición genética preliminar

En ^{Arnon et al., (2014)}se reconoce el estudio de libros de texto como un insumo para el análisis teórico, así como los reportes de investigación, estudios epistemológicos y la experiencia de los investigadores sobre una noción o concepto matemático. En particular, el análisis de libros de texto entorno a un concepto permite identificar estrategias pedagógicas para su enseñanza, aspectos clave para el análisis de los datos y otras consideraciones para explicar cómo sucede el aprendizaje. Como destacan ^{Cook y Stewart (2014)} y ^{Cook, Zaskis y Estrup (2018)} es fundamental analizar varios libros de texto para reconocer encuentros y tensiones en las orientaciones pedagógicas motivando la reflexión y el diseño de investigaciones que den cuenta de su pertinencia o complementariedad.

La construcción de un concepto matemático no sigue un camino único. ^{Arnon et al., (2014)} aclaran que pueden considerarse diferentes descomposiciones genéticas para un concepto. Por ejemplo, para la TL ^{Roa-Fuentes y Oktaç (2010}; 2012) proponen dos DG’s: la primera parte de la aplicación de Acciones sobre vectores específicos y la segunda de una estructura Objeto de funciones definidas entre espacios vectoriales de dimensión finita (Transformaciones). Tales modelos obedecen en parte a la presentación que los libros de texto realizan del concepto, sus implicaciones sobre las estructuras y los problemas propuestos. En concordancia con ^{Kilpatrick (2014)} sabemos que el aprendizaje de los estudiantes está condicionado en parte, tanto por materiales físicos, por ejemplo, los libros de texto, como por el uso y/o interpretación que el profesor hace de ellos.

Desde la perspectiva de esta investigación, considerando los criterios propuestos por ^{Campos (2017)} se analiza tres libros de texto, específicamente, identificando el desarrollo de los conceptos de eigenvalor y eigenvector. A través de tales criterios, los cuales describimos más adelante, buscamos rastrear e identificar conocimientos previos, qué avances son requeridos y cómo podrían promoverse de manera que tengan lugar nuevas estructuras mentales y se progrese en la comprensión del concepto de eigenvalor y eigenvector. Tal análisis permite integrar a la reflexión sobre la construcción de conocimiento matemático otro “interlocutor” al diálogo, de tal manera que la DG preliminar sea el resultado de una deliberación profunda desde diferentes perspectivas.

En relación a las estructuras sobre el concepto de eigenvalor y eigenvector en matrices, ^{Salgado y Trigueros (2014)} reportan características de las estructuras Acción, Proceso y Objeto para el concepto, lo cual es un antecedente importante en el presente reporte; a continuación, se describen tales estructuras.

4.2.Acción, Proceso y Objeto: eigenvalores y eigenvectores a partir de matrices

En esta sección se presenta de manera sintética una DG previa presentada por ^{Salgado y Trigueros (2014)} que propone la construcción de los eigenvalores y eigenvectores a partir del concepto de matriz. La descripción de las estructuras que se muestra a continuación son el filtro inicial con el cual se da paso al análisis de los libros de texto.

Acción: se reconocen los eigenvalores y eigenvectores en algunos contextos, pero en otros se realizan solo procedimientos sin llegar a conclusiones correctas; no es posible explicar si un escalar o vector es un eigenvalor o eigenvector de una matriz dada. Existe una dependencia de alguna indicación externa, por ejemplo, en R² o R³ para la cual es posible graficar los vectores v y Av para determinar si son paralelos. Por otra parte, al realizar un procedimiento sobre la ecuación característica (A−λI)v=0 se dan conclusiones equivocadas como: “el vector cero es un eigenvector de la matriz A” (^{Salgado y Trigueros, 2014}).

Proceso: es característico reconocer eigenvalores y eigenvectores de una matriz sin necesidad de recurrir necesariamente a un procedimiento sobre la ecuación característica (A−λI)v=0, es decir, el estudiante puede reconocer propiedades de la matriz o sus relaciones con otros conceptos del AL que le permiten explicar y justificar situaciones que involucran los eigenvalores y eigenvectores. También, se entiende claramente que un efecto de transformación de un vector bajo una matriz donde los vectores Av y v sean paralelos determina que v es un eigenvector y el escalar que los iguala es el eigenvalor. Así, el signo del escalar se asocia e interpreta en relación con la dirección del eigenvector (^{Salgado y Trigueros, 2014}).

Objeto: se reconocen claramente propiedades de los eigenvalores y eigenvectores de una matriz. Hay conciencia de ciertas relaciones con otros conceptos y se actúa sobre los eigenvalores y eigenvectores para explicar o justificar alguna situación, por ejemplo, diagonalizar una matriz. También, se reconocen los espacios propios o eigenespacios asociados a un eigenvalor, se pueden realizar comparaciones entre eigenespacios e identificar propiedades, por ejemplo, la dimensión asociada a cada eigenespacio (^{Salgado y Trigueros, 2014}).

En lo que sigue, describimos los criterios propuestos por ^{Campos (2017)} específicamente en términos del concepto de eigenvalor y eigenvector dando cuenta de la manera en que son usados en este estudio.

4.3.Criterios para el análisis de los libros de texto y elaboración de una descomposición genética preliminar

El primer criterio, Estructura General del texto, busca identificar la secuencia de los conceptos, su dependencia, conocimientos previos y las orientaciones propuestas con el fin de reconocer parte de la intención pedagógica del libro para el concepto de eigenvalor y eigenvector. El segundo, Presentación y definición de los conceptos, se enfoca en analizar cómo tiene lugar el concepto, lo que impulsa su definición y el reconocimiento de las estructuras y mecanismos mentales que podrían estar presentes. Los Ejemplos y ejercicios corresponden al tercer criterio que busca rastrear y descifrar cómo pueden estar siendo promovidas las estructuras mentales Acción, Proceso, Objeto y Esquema para el concepto de eigenvalor y eigenvector por el texto. Finalmente, el criterio Lector modelo, busca identificar cuáles estructuras, aunque no fueron promovidas explícitamente, son asumidas por el texto para abordar problemas o nuevos aprendizajes. Tal reconocimiento de las estructuras y mecanismos ayuda a completar el panorama en relación a la estrategia que sigue el libro de texto para que el lector alcance una comprensión profunda del concepto. En el desarrollado de los criterios se usan como referentes: las definiciones generales de las estructuras y mecanismos mentales (^{Arnon et al., 2014}), la descripción de las estructuras para el concepto de eigenvalor y eigenvector por ^{Salgado y Trigueros (2014)}, además, de los insumos de otras investigaciones relacionadas con el concepto, así como de la experiencia de los investigadores como profesores y estudiantes.

En ^{Campos (2017)} se usan los criterios para analizar el libro Linear Algebra (^{Friedberg y otros, 2003}) e identificar una aproximación al camino cognitivo sigue libro para el aprendizaje del concepto de eigenvalor y eigenvector. La diferencia principal del presente estudio con ^{Campos (2017)} es que usamos los criterios para analizar tres libros de texto de AL: ^{Poole (2011)}, ^{Del Valle (2011)} y ^{Hoffman y Kunze (1973)}, con el propósito de tener un insumo de tal manera que el diálogo entre los investigadores y los reportes de investigación al respecto, abran paso al diseño de una DG preliminar para eigenvalores y eigenvectores sobre operadores lineales. El interés del estudio no es reconocer la posible DG que sigue cada libro de texto para el aprendizaje del concepto.

En el contexto de una universidad pública en Colombia dichos libros de textos son usados en diferentes niveles de escolaridad, en particular el ^{Hoffman y Kunze (1973)} es implementado para cursos de postgrado en matemáticas.

Los momentos desarrollados en el análisis en los libros de texto fueron seis: 1. Revisar tabla de contenido, prefacio y recomendaciones para el estudiante y /o profesor. 2. Estudiar secciones anteriores al concepto de interés. 3. Identificar formas de introducir y definir los conceptos, posibles estructuras y mecanismos mentales requeridos. 4. Revisar ejemplos e identificar posibles estructuras y mecanismos mentales requeridos y cómo se promueven. 5. Analizar ejercicios y/o problemas e identificar posibles estructuras y mecanismos mentales requeridos y cómo se promueven. 6. Reflexionar de forma global sobre las estructuras necesarias y los mecanismos mentales involucrados para el aprendizaje del concepto. Tales momentos destacan la operatividad de los criterios de análisis de los libros de texto.

Con el insumo obtenido del análisis de los tres libros textos los investigadores discutieron los puntos de encuentro, complementariedad y de tensión involucrando en el diálogo reflexivo los reportes de la literatura. En la Figura 1 se precisa la dinámica de las reflexiones dirigidas hacia la constitución de la DG preliminar, ciclos entre las estructuras y mecanismos mentales relativos a conocimientos previos y presentación de la definición, estructuras y mecanismos promovidas en los ejemplos y ejercicios, por otra parte, las estructuras y mecanismos mentales descuidados y las observaciones identificadas en los reportes de investigación sobre el concepto en cuestión. La interacción en diferentes direcciones entre los elementos destacados en la Figura 1 da paso en la reflexión de los investigadores a una hipótesis sobre cómo puede ocurrir el aprendizaje y tiene lugar entonces la propuesta de una DG preliminar.

Figura 1 Ciclo para la elaboración de una descomposición genética preliminar teniendo como insumo principal el análisis de libros de texto 

5.1.Estructura general de los libros de texto

Álgebra lineal una introducción moderna (^{Poole, 2011}) inicia con el trabajo sobre vectores en R² y R³ , para luego desarrollar definiciones generales de operaciones para vectores en Rⁿ . En los cinco primeros capítulos no hay referencia explícita a la definición de espacio vectorial, sin embargo, conceptos como: combinación lineal, dependencia e independencia lineal, conjunto generador, espacio generado y base se definen en Rⁿ y matrices, antes del capítulo de espacios vectoriales. En la sección 3.6 (ver Figura 2, tabla de contenido) se presenta la definición de TL como una función T:Rⁿ →R^m que preserva combinaciones lineales, para rápidamente centrar la discusión en su representación matricial. El capítulo 4 da paso a la presentación del concepto de eigenvalor y eigenvector, iniciando con una discusión centrada en un “Sistema dinámico de grafos”. En el capítulo 6 se expone con mayor profundidad el concepto de TL gracias a la formulación general del concepto de Espacio Vectorial. Ahora bien, en este texto no se encontró referencia a eigenvalores y eigenvectores en operadores lineales, aún más, el término operador lineal solo es referido dos veces y no es en relación con el concepto de interés.

Figura 2 Contenido de los primeros cuatro capítulos en ^{Poole (2011)}  

Por su parte, Álgebra lineal para estudiantes de ingenierías y ciencias (^{Del Valle, 2011}) se refiere a matrices y sistemas lineales en los dos primeros capítulos. Los espacios vectoriales corresponden al capítulo tres donde se hace mención sobre vectores en R² y R³ , luego la atención se concentra en Rⁿ , el espacio de polinomios y el espacio de funciones. Así, la exposición sobre TL cubre un panorama amplio y denso, es en este contexto donde tiene lugar la definición de operador lineal (Figura 3) y eigenvalor y eigenvector.

Figura 3 Definición de operador lineal (^{Del Valle, 2011, p. 426}) 

El libro Álgebra Lineal de ^{Hoffman y Kunze (1973)} inicia con la definición de ecuaciones lineales y el concepto de cuerpo; de esta manera, toda la presentación del texto se hace sobre un cuerpo arbitrario F. Los capítulos 2 y 3 son dedicados a espacios vectoriales y TL respectivamente, en estos se refieren a operadores lineales como un Grupo con la operación de composición. La mirada estructural de los conceptos permea todo el texto, en particular, el capítulo 4 se dedica al álgebra de polinomios y su factorización sobre un cuerpo F. Así, el concepto de eigenvalor y eigenvector es presentado en el contexto de formas canónicas elementales del AL.

En la Tabla I destacamos elementos clave en relación con la Estructura general de los tres libros, al analizar la secuencia y/o dependencia de los conceptos se consideran puntos de tensión, complementariedad y encuentro. Particularmente, un elemento de tensión identificado se refiere a los conocimientos previos para la presentación del concepto de eigenvalor y eigenvector. Al respecto los investigadores fueron discutiendo tal tensión y sus implicaciones en la comprensión de estudiantes y profesores, sus intereses, los alcances y limitaciones del primer acercamiento con el concepto y la manera en que evoluciona o no.

5.2.Presentación de eigenvalores y eigenvectores en los libros de texto

El segundo criterio de análisis permite evidenciar cómo la estructura del texto y la visión de los autores sobre el AL es determinante en la motivación e introducción del concepto de eigenvalor y eigenvector.

En la Tabla II se presenta la manera en que cada libro de texto introduce o motiva el estudio de los eigenvalores y eigenvectores. El concepto en ^{Poole (2011)} tiene lugar en el contexto de cadenas de Markov y el Modelo de Leslie de crecimiento poblacional. Se invita al lector a estudiar algunas matrices y vectores particulares donde se puede reconocer que al hacer el producto matriz - vector (Ax), el resultado corresponde a un vector múltiplo escalar del vector x.

Después de la definición de eigenvalor y eigenvector (Figura 4) aparecen los ejemplos presentados en la Figura 5 (En el libro de texto se presenta la respectiva solución). Ahora se busca determinar cuándo es cierto que un escalar sea un eigenvalor o que un vector sea un eigenvector de una matriz.

Figura 4 Definición de Eigenvalor y Eigenvector (^{Poole, 2011, p.265}) 

Figura 5 Primeros ejemplos (^{Poole, 2011, p. 266}) 

Con relación a la definición en ^{Poole (2011)} reconocer que el vector Ax es múltiplo escalar de x podría demandar en una concepción Proceso de múltiplo escalar y una concepción Objeto de Matriz y vector. El mecanismo de coordinación puede ser clave para que un lector reconozca la igualdad entre los vectores Ax y λx e identifique a λ como eigenvalor y x como eigenvector de la matriz A. Después de los ejemplos mencionados en la Figura 5 un lector requiere traer varios elementos geométricos, matriciales y algebraicos para comprender y dar cuenta de cuáles son los eigenvalores y eigenvectores en situaciones donde no se cuestione por un escalar o vector como se hizo en los ejemplos de la Figura 5. Así, se presenta el concepto de determinante y discute en relación con los eigenvalores y eigenvectores (ver Figura 2).

Los textos ^{Del valle (2011)} y ^{Hoffman y Kunze (1973)} presentan el concepto de eigenvalor y eigenvector en un contexto matemático motivado por la tarea de diagonalizar un operador lineal. Los autores coinciden en interpretar dicho problema como encontrar una representación matricial diagonal respecto a cierta base. ^{Del valle (2011)} destaca que esto facilita el estudio de propiedades intrínsecas, es decir, invariantes respecto a la base escogida, ejemplo, el determinante. Por su parte, ^{Hoffman y Kunze (1973)}, resaltan que esto aporta al reconocimiento de subespacios invariantes; separar el espacio vectorial y ver qué es lo importante que hace el operador lineal al espacio vectorial.

Previo a la definición de eigenvalor y eigenvector, ^{Del valle (2011)} guía al lector en reflexionar sobre cómo una representación matricial diagonal implica que los vectores de la base seleccionada son transformados de manera especial, esto es, en múltiplos escalares. Tal reflexión se presenta considerando un operador lineal arbitrario sobre un espacio vectorial de dimensión n. Por lo tanto, reconocemos que la definición tiene lugar al caracterizar el efecto de transformación que deben sufrir los vectores de la base bajo el operador lineal para que exista una representación matricial diagonal.

En la figura 6 se muestra la definición del concepto de eigenvalor y eigenvector por ^{Del Valle (2011)}. El autor precisa que tal definición se cumple para espacios vectoriales de dimensión infinita, en este sentido se consideran ejemplos que corresponden a operadores lineales sobre el espacio de funciones infinitamente diferenciables. En particular, el primer ejemplo requiere pensar en un escalar arbitrario sobre R y establecer un análisis en los casos cuando el escalar es cero y/o distinto de cero. En seguida ^{Del Valle (2011)} invita al lector a considerar relaciones y equivalencias con conceptos destacados en capítulos anteriores. Tal referencia involucra representaciones matriciales relativas a una base y posteriormente, tal como se muestra en la Figura 7, se presenta una cadena de equivalencias dadas por el operador lógico bicondicional. En términos cognitivos esto podría requerir al lector coordinar ciertos Procesos, a la vez que darse la interacción entre elementos del Esquema de TL y espacio vectorial.

Figura 6 Definición de Eigenvalor y Eigenvector (^{Del Valle, 2011, p. 458}) 

Figura 7 Relación bicondicional de existencia con relación al concepto de eigenvalor y eigenvector (^{Del Valle, 2011, p. 464}) 

Destacamos la presencia del operador lógico bicondicional para referirse a los eigenvalores y eigenvectores, Figura 7, (^{Del Valle, 2011}); este aspecto que está presente en definiciones y algunos teoremas, pero puede ser descuidado tanto por profesores como estudiantes. ^{Campos (2017)} considera que los libros de texto acostumbran a presentar la implicación en una dirección, asumiendo que la otra no produce dificultades al lector.

Finalmente, destacamos que, aunque la motivación en ^{Del Valle (2011)} es en esencia la misma que la planteada por ^{Hoffman y Kunze (1973)}, según se describe en tabla II, las definiciones marcan diferencias en los dos textos. Por un lado, la definición en ^{Hoffman y Kunze (1973)} se enmarca en espacios vectoriales sobre un cuerpo arbitrario F y en ésta se define a la vez el espacio propio o eigenespacio como se muestra en la Figura 8.

Figura 8 Definición de Eigenvalor y Eigenvector (^{Hoffman y Kunze, 1973, p.181}) 

Por otra parte, el enfoque estructural del texto de ^{Hoffman y Kunze (1973)} marca un discurso posterior a la definición que podría exigir al lector una demanda cognitiva mayor a la requerida por el texto de ^{Del Valle (2011)}. Un aspecto que se reitera en este libro de texto es poder articular varias relaciones y conocimientos de secciones anteriores del libro para avanzar en la búsqueda de características, equivalencias y estrategias que permitan describir los eigenvalores y eigenvectores de un operador lineal recurriendo a alguna representación matricial. En la Figura 9, en el párrafo antes de la definición, se destaca una parte de una cadena de conexiones que los autores bosquejan para referirse a los eigenvalores y eigenvectores en representaciones matriciales.

Figura 9 Referencia a eigenvalor en matrices en ^{Hoffman y Kunze (1973, p.181}) 

Consideramos que, en los tres textos, aunque se muestra una dependencia diferente entre los conceptos y un abordaje teórico en distintas profundidades, se reconoce la necesidad de ciertas estructuras y mecanismos mentales, que pueden ser capturados en una interacción entre el Esquema de TL y Esquema de espacio vectorial. De manera que es posible entender la definición y avanzar en el estudio de eigenvalores y eigenvectores. Al referirnos a los Esquemas queremos destacar la importancia de las conexiones, relaciones y transformaciones entre elementos o conceptos que evolucionan; por ejemplo, reconocer los polinomios, funciones o matrices como vectores, de esta manera se pueden ir dinamizando tales Esquemas referidos.

A continuación, se destacan algunas consideraciones sobre los ejemplos y ejercicios propuestos por los libros de texto centrando la atención en las estructuras y mecanismos mentales que podría ser promovidas por los autores para el aprendizaje de eigenvalores y eigenvectores.

5.3.Sobre ejemplos y ejercicios propuestos en los libros de texto

Después de estudiar y revisar los ejemplos y ejercicios ofrecidos por los libros de texto, se desarrolló un plan para caracterizar los ejemplos y ejercicios y dar cuenta de cómo se promueve el aprendizaje del concepto de eigenvalor y eigenvector. Las categorías básicas consideradas con sus respectivas etiquetas se describen a continuación. Éstas toman como base las descripciones referentes a las estructuras mentales presentadas por ^{Salgado y Trigueros (2014)} que fueron sintetizadas en este escrito en la sección 4.2.

Las categorías con etiqueta A-P y P-O fueron consideradas dado que se reconocieron ejemplos y/o ejercicios que podrían involucrar aspectos simultáneamente más de una categoría. Por ejemplo, la categoría A-P describe ejemplos y/o ejercicios que involucra aplicar un procedimiento o teorema y, además, explicar o justificar situaciones que confrontan las ideas que va desarrollando el lector. La configuración de dichas categorías ayuda a fijar la atención en cómo cada libro de texto parece motivar las concepciones Acción, Proceso u Objeto para el lector sobre el concepto de eigenvalor y eigenvector. En cada libro de texto se identificó la secuencia con relación a las categorías A, P y O. El símbolo → hace referencia al orden en que se presentan en el texto los ejemplos y/o ejercicios según las categorías establecidas. De esta manera, P ↔ O, indica que en el libro los ejemplos y/o ejercicios siguen entre algunos de la categoría P, otros de la categoría O y continua el orden de presentación de esa manera. Así, en la Tabla III se presenta la clasificación de los ejemplos y ejercicios según las categorías mencionadas.

En los libros analizados los ejemplos ubicados en la categoría A tiene un mayor porcentaje; en los libros de ^{Poole (2011)} y ^{Del Valle (2011)} el mayor porcentaje de los ejercicios propuestos se ubica en la categoría A. Solo el libro de ^{Del Valle (2011)} presenta Ejercicios Resueltos y como se muestra en la Tabla III, el 100% se encuentran en la categoría O. Como se puede ver en las columnas de la Tabla III, las categorías no son lineales y en el caso de ^{Del Valle (2011)} los ejemplos inician en la categoría O.

Respecto a la categoría A-P, en ^{Poole (2011)} el porcentaje es mayor mientras que en ^{Del Valle (2011)} es el más bajo. Este aspecto fue de interés para los investigadores, pues tales ejemplos y ejercicios se reconocieron como situaciones donde el lector necesitaba reflexionar y reconocer significados o características de los eigenvalores y eigenvectores. Desde una mirada cognitiva y considerando la teoría APOE, tales situaciones podrían promover el desarrollo de una concepción Proceso de eigenvalor y eigenvector en un lector, sin embargo, en los libros de texto revisados estos son muy pocos.

Al considerar un lector que inicia el estudio del concepto de eigenvalor y eigenvalor con el texto de ^{Del Valle (2011)} podría enfrentar grandes retos cognitivos por la secuencia que sigue la presentación de los ejemplos y ejercicios. Posiblemente, un lector más experimentado pueda lidiar mejor con la secuencia presentada en ^{Del Valle (2011)}, no obstante, tal problema no nos ocupa en este reporte y es necesario investigar a profundidad sobre tal asunto. Por otra parte, la categoría P-O se dio solamente en los ejercicios propuestos y para los textos de ^{Poole (2011)} y ^{Del Valle (2011)}. Vale la pena destacar que tales ejercicios se encuentran muy poco en los libros revisados y fueron también reconocidos como situaciones que podría impulsar una comprensión más profunda del lector sobre los eigenvalores y eigenvectores.

En lo que sigue se presentan algunos ejemplos y ejercicios de los libros de texto acompañados de reflexiones sobre cómo pueden favorecer el aprendizaje del concepto de eigenvalor y eigenvector.

Los ejemplos y ejercicios en ^{Poole (2011)} se caracterizan por involucrar representaciones geométricas del concepto. En la Figura 10, la imagen izquierda ilustra cómo la matriz transforma a dos vectores que son eigenvectores. Otras situaciones involucran analizar más de un vector y su respectiva imagen; parte derecha de la Figura 10. Desde la perspectiva de la teoría APOE, este tipo de situaciones podría favorecer una concepción Proceso del concepto dado que un lector no requiere actuar directamente sobre un vector específico mediante la matriz de transformación; necesita argumentar la existencia de eigenvalores y eigenvectores, en este caso debe reconocer la relación de colinealidad entre los vectores.

Figura 10 Ejemplos y ejercicios que involucran la interpretación geométrica de eigenvalores y eigenvectores en ^{Poole (2011) p. 268-269}  

En la sección anterior se indicó que la relación bicondicional suele presentarse en los libros de texto en un solo sentido. Particularmente, el concepto de eigenvalor y eigenvector involucra una relación bicondicional de existencia: si λ es un eigenvalor de T debe existir un eigenvector y, por otra parte, si v es un eigevector de T debe existir un eigenvalor. Por su parte, ^{Poole (2011)} no se refiere explícitamente a tal relación, sin embargo, parece asumirla, pero descuida enfatizarle al lector respecto a esto. En enunciado del ejemplo de la figura 11 se refiere a los eigenvalores, pero no hay ninguna observación respecto a los eigenvectores, consideramos que podría ser importante acompañar los comentarios de las respuestas con reflexiones sobre los eigenvectores.

Figura 11 Ejemplo que involucra la existencia de eigenvalores sobre diferentes cuerpos en ^{Poole (2011, p. 271}) 

En la Figura 12 se presenta un ejercicio de ^{Del Valle (2011)} que corresponde a la categoría A-P. Es importante destacar que este ejercicio involucra los eigenvalores de las matrices AB y BA, en el enunciado aparece una afirmación de validación o verificación seguida de la pregunta: ¿tienen los mismos vectores propios correspondientes? La cual involucra los eigenvectores e invita a la reflexión acerca de si son los mismos eigenvectores. Esta situación puede promover un mejor entendimiento de los eigenvalores y eigenvectores en relación a la terna {T, λ, v} involucrada, es decir, representación matricial u operador lineal, escalar y vector; también aporta a la comprensión de la relación de existencia entre eigenvalor y eigenvector bajo el operador lineal o su representación matricial.

Figura 12 Ejercicio de la categoría A-P de ^{Del Valle (2011, p. 571)}  

Los libros de texto ^{Del Valle (2011)} y ^{Hoffman y Kunze (1973)} son los que definen el concepto de eigenvalor y eigenvector sobre operadores lineales. Dichos textos se refieren a representaciones matriciales asociadas a TL en espacios vectoriales de dimensión finita relativas a una base, particularmente, para operadores lineales tales representaciones son matrices cuadradas. En la figura 13 se muestra un ejercicio del ^{Hoffman y Kunze (1973)} donde se cuestiona sobre el polinomio característico del operador identidad y el operador cero. En ambas preguntas se debe reconocer una representación matricial del operador lineal asociada a alguna base β, en particular se puede elegir la base canónica y encontrar el polinomio característico para la matriz I−λI, con λ en F. No obstante, lo anterior puede implicar reconocer la invariancia de los eigenvalores a representaciones matriciales y ser entendida ahora sobre las raíces del polinomio característico.

Figura 13 Ejercicio sobre polinomio característico de un operador lineal (^{Hoffman y Kunze, 1973, p. 188}) 

Algunos ejercicios presentados en ^{Hoffman y Kunze (1973)} hacen referencia a operadores lineales sobre R³ a partir de una representación matricial asociada a la base canónica. Por ejemplo, en un ejercicio se pide determinar si el operador lineal es diagonalizable mostrando que existe una base para R³ formada por eigenvectores. La manera de referirse al operador lineal es usando una matriz 3×3 e indicando que es la representación matricial relativa a la base canónica. En relación con lo anterior, en el análisis de los textos de ^{Del Valle (2011)} y ^{Hoffman y Kunze (1973)} no se reconocieron ejercicios que promovieran un entendimiento de los eigenvalores como un invariante a representaciones matriciales. Rápidamente se considera el polinomio característico y la atención se concentra en este como una manera que referirse y caracterizar los eigenvalores de un operador lineal. Cognitivamente y desde la teoría APOE lo anterior puede involucrar un tránsito importante; totalizar el Proceso de eigenvalor y eigenvector y avanzar hacia la concepción Objeto.

En los libros de texto revisados en relación con el concepto de eigenvalor y eigenvector identificamos que se ocupan más en presentar ejemplos que consiste en seguir un procedimiento o usar un teorema. Las situaciones que invitan al lector a explorar, reflexionar, relacionar y cuestionar aspectos sobre el concepto son escasas. Rápidamente se enfrenta al lector con ejercicios que implican hacer una demostración o resolver una situación que demandan un alto entendimiento del concepto, lo que en términos de la teoría APOE podría requerir tal vez una concepción Objeto.

A continuación, conectamos y complementamos las reflexiones con los reportes de investigación sobre el concepto de eigenvalor y eigenvectores en el campo de la Matemática Educativa.

5.4.Reflexiones sobre eigenvalores y eigenvectores desde la Matemática Educativa

Reportes de investigación en Matemática Educativa sobre el concepto de eigenvalor y eigenvector señalan que el componente procedimental y algorítmico suele ser privilegiado por los profesores y estudiantes, descuidando la comprensión conceptual (^{Bouhjar, Andrews-Larson, Haider y Zandieh, 2018}). Asimismo, los libros de texto hacen transiciones rápidas, omitiendo aclaraciones pertinentes para dar paso a la parte procedimental; aspecto que fue posible evidenciar en los libros de texto analizados. Algunas consecuencias de lo anterior es la incapacidad de los estudiantes para reconocer la naturaleza matemática de los objetos implicados en la igualdad Av=λv y cómo es transformada en (A−λI)v=0 (Stewart y ^{Thomas, 2011}). Los estudios publicados también destacan la importancia y necesidad de diseñar una instrucción del concepto de eigenvalor y eigenvector usando programas de tecnología computacional e involucrando situaciones de modelación o aplicación (^{Klasa, 2010}; ^{Beltrán, Murillo y Jordán, 2017}; ^{Beltrán-Meneu, Murillo-Arcila y Albarracín, 2017}), esto con el propósito de introducir el concepto en un contexto concreto para los estudiantes y favorecer la construcción de conocimiento más allá de desarrollar destrezas procedimentales.

Por otra parte, en relación con los modos de pensamiento y formas de representación (^{Sierpinska, 2000}; ^{Hillel, 2000}) característicos del AL, ^{Caglayan (2015)} destaca la importancia de establecer relaciones y conexiones entre las formas de representación para el concepto de eigenvalor y eigenvector con el fin de favorecer la comprensión y el desarrollo de significados más robustos. Algunos estudios como ^{Plaxco, Zandieh y Wawro (2018)}, ^{Zandieh, Wawro y Rasmussen (2016)} y otros de los referidos anteriormente coinciden en iniciar la instrucción del concepto de eigenvalor y eigenvector considerando un contexto más concreto para el estudiante, que promueva significados y representaciones, incluyendo los ambientes de geometría dinámica. Pero, ¿cómo guiar el diseño de tal instrucción para los eigenvalores y eigenvectores? Al respecto ^{Klasa (2010)} menciona que puede considerarse la teoría APOE para diseñar la instrucción a la luz de una descomposición genética desde la TL; involucrando de esta manera los operadores lineales.

Estudios desde la perspectiva de la teoría APOE (^{Salgado y Trigueros, 2014}; ²⁰¹⁵; ^{Yáñez, 2015}; ^{Campos, 2017}) destacan estructuras y mecanismos mentales en la construcción de eigenvalor y eigenvector, articuladores geométricos en R² y R³ y recomendaciones para la enseñanza. En particular, ^{Salgado y Trigueros (2014)} presentan una DG para el concepto de eigenvalor y eigenvector con matrices. De la DG se destacan como estructuras previas la matriz y vector como Objetos, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, espacio nulo, conjunto generador y espacio generado como Procesos. Como aspecto clave en la DG destacamos la construcción como Objeto de la ecuación Av=λv. Así, se realizan acciones sobre la ecuación para determinar condiciones que garanticen solución no trivial. Esta manera de construcción del concepto difiere con el modelo que se propone en la siguiente sección.

Por otra parte, es importante señalar que el modelo de ^{Salgado y Trigueros (2014)} involucra coordinar varios Procesos, lo que guarda congruencia con las reflexiones recogidas del análisis de libros de texto. Desde la reflexión y la deliberación entre los investigadores, proponemos la interacción entre los Esquemas de TL y espacio vectorial y Proceso de factorización de un polinomio sobre un cuerpo, como estructuras previas para el concepto de eigenvalor y eigenvector dado que captura la importancia del nivel de relaciones y conexiones entre los conceptos; otro aspecto diferenciador del modelo propuesto en ^{Salgado y Trigueros (2014)}. En este sentido los articuladores geométricos como la rotación respecto al origen de 180° y 0° y la colinealidad referidos por ^{Yáñez (2015)} hacen parte de las relaciones involucradas entre los Esquemas de TL y espacio vectorial. Tales relaciones pueden irse consolidando de manera anticipada a la instrucción directa sobre eigenvalores y eigenvectores.

6.1.Estructuras previas a la construcción del concepto de eigenvalores y eigenvalores

Como resultado de todo lo expuesto en las secciones anteriores, a continuación, se parte de las estructuras previas necesarias para iniciar la construcción del concepto de eigenvalor y eigenvector. De manera general se propone el Esquema de TL y el Esquema de espacio vectorial en un nivel Inter y la factorización de polinomios sobre un cuerpo como Proceso. En la figura 14, los recuadros con líneas punteadas y conectados por las flechas moradas se refieren a las estructuras previas.

Figura 14 Descomposición genética hipotética del concepto de Eigenvalor y Eigenvector a partir del análisis de libros de texto. 

Un nivel Inter del Esquema de TL implica establecer relaciones entre TL y otras estructuras básicas como Proceso de base y Objeto de vector (^{González y Roa-Fuentes, 2017}). Tales estructuras son importantes, pues el aprendizaje de eigenvalores y eigenvectores implica trabajar con operadores lineales y sus representaciones matriciales. Otras estructuras involucradas en el Esquema son Proceso de matriz asociada, espacio nulo y determinante. Dado un operador lineal T:V→V(TL cuyo dominio y codominio es el mismo), las representaciones geométrica, funcional y matricial están relacionas respecto a la base relativa a V. Una estructura Proceso de TL permite expresar cualquier vector v∈V como una combinación lineal de los vectores de la base β = {v₁ , v₂ , ..., v_n }; de esta manera, el operador lineal (TL) queda determinado mediante los vectores v_i de la base β (^{González y Roa-Fuentes, 2017}). Así, mediante el Proceso de operador lineal se pueden obtener las imágenes T(v_i ) con i=1, ..., n, las cuales están en V y por lo tanto son una combinación lineal de los vectores de la base β. Una representación matricial del operador lineal T será el resultado de la coordinación entre el vector de coordenadas relativo a la base β, [T(v_i )]_β, y el Proceso de matriz (^{Trigueros, Maturana, Parraguez y Rodríguez, 2015}).

Aunque se mencionan por separado los Esquemas de TL y espacio vectorial estos se encuentran relacionados e interactúan entre sí; un concepto en particular que motiva dicha interacción es el concepto de base. ^{Parraguez y Oktaç (2010)} consideran que un nivel Inter del Esquema de espacio vectorial implica establecer relaciones entre conceptos como subespacios, TL, bases, entre otros. Se contempla que una concepción previa de espacio vectorial permite acceder a otras estructuras como vector y la operación múltiplo escalar. Una concepción Proceso de múltiplo escalar permite pensar en forma dinámica, esto es, dado un escalar k∈K- cuerpo y un vector v∈V, la transformación kv produce un nuevo vector que pertenece al espacio vectorial V. La estructura Objeto de vector, permite concebir a un vector como un elemento de un espacio vectorial y según la experiencia con conceptos matemáticos se reconoce que los vectores también pueden ser polinomios, matrices, funciones, entre otros.

Finalmente, una concepción Proceso de factorización de un polinomio sobre un cuerpo K le permite al estudiante determinar sus raíces o justificar por qué no existe raíces sobre dicho cuerpo.

6.2.Estructuras y mecanismos mentales para construir el concepto de eigenvalor y eigenvector

En un nivel Inter del Esquema de TL se puede reconocer que un operador lineal es una TL definida de un espacio vectorial V en sí mismo. Las líneas punteadas de naranja que se suspenden de las estructuras previas en la figura 14, destacan el inicio de la construcción de los Esquemas a partir de Rⁿ , considerando un momento inicial en R² y R³ . Tales Esquemas se dinamizan y actualizan en función de nuevas experiencias que involucren otros espacios de dimensión finita como Cⁿ , P_n (espacio de polinomios de grado menor o igual a n), M_mn (espacio vectorial de matrices de tamaño m×n), entre otros, los cuales admiten representaciones matriciales relativas a una base. Los diferentes recuadros y flechas negras en la figura 14 sintetizan los aspectos claves de las construcciones necesarias.

Considerando un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo K, la construcción comienza con la realización de dos Acciones (Figura 14). La primera Acción es de comparación: Dado un operador lineal T:V→V, sobre un espacio vectorial V o una representación matricial A_T y un vector especifico v₀ ∈V se busca un escalar λ₀ tal que T(v₀ )=λ₀ v₀ . Esta Acción puede ser interiorizada en un Proceso (Proceso 1,figura 14) para dar cuenta de la existencia de un escalar λ₀. Tal construcción también puede provenir de la coordinación entre el Proceso de operador lineal y el Proceso de múltiplo escalar. Así, se reconoce a T(v₀ ) o A_T v₀ y λ₀ v₀ como nuevos vectores del espacio vectorial V; bajo el cumplimiento de la relación de igualdad se puede denominar a v₀ y λ₀ como un eigenvector y eigenvalor de T respectivamente. Tal coordinación puede ser motivada en espacios vectoriales como R² y R³ de forma geométrica mediante la colinealidad entre v₀ y T(v₀ ) o v₀ y A_T v₀ (^{Yáñez, 2015}).

Dado λ₀ en el cuerpo K y un operador lineal T o representación matricial A_T , la segunda Acción consiste en determinar vectores v₀ que verifiquen T(v)=λ₀ v o A_T v=λ₀ v. La interiorización de esta Acción (Proceso 2,figura 14) permite reconocer la existencia de vectores v₀ no nulos como eigenvectores del operador T o la matriz A_T con correspondiente eigenvalor λ₀. El Proceso 2 puede coordinarse con el Proceso de espacio nulo mediante la contenencia de eigenvectores del operador lineal T o A_T en el espacio nulo de T−λ₀ I (A_T −λ₀ I). El Proceso resultante (Proceso 3,figura 14) es coordinado con el Proceso de determinante el cual permite identificar que si (A_T −λ₀ I)=0 entonces, existen vectores diferentes de cero en Nul (T−λ₀ I)[Nul (A_T −λ₀ I)] (Proceso 4,figura 14). Mediante tales construcciones mentales se entiende que encontrar los eigenvalores y eigenvectores de T o A_T equivale a determinar escalares λ₀ y vectores v₀ tal que v₀ ∈Nul (T−λ₀ I)[Nul (A_T −λ₀ I)]. Así, el Proceso de espacio nulo da paso a reconocer que (A_T −λ₀ I)v₀ =0, dotando de sentido la ecuación característica (A_T −λI)v=0]. A partir de lo anterior se puede relacionar el det det (A_T −λI) como una condición para que existan vectores no nulos en Nul (T−λI)[Nul (A_T −λI)] y denominar al det det (A_T −λI) como el polinomio característico.

El Proceso 4 y el Proceso 1 se coordinan mediante la relación bicondicional (↔) de existencia dando resultado al Proceso de eigenvalor y eigenvector (figura 14). Una concepción Proceso de eigenvalor y eigenvector, por ejemplo, implica reconocer que si v₀ es un eigenvector asociado al eigenvalor λ₀, entonces todo vector diferente de cero del espacio generado por v₀ es un eigenvector de T asociado al mismo eigenvalor λ₀. De esta manera, se acepta al Nul (T−λ₀ I) como el eigenespacio asociado al eigenvalor λ₀. Lo anterior puede ser motivado mediante la comparación del espacio generado por diferentes eigenvectores (^{Salgado y Trigueros, 2014}; ²⁰¹⁵). La coordinación bajo la relación bicondicional de existencia permite entender que: si v es un eigenvector de T (A_T ) entonces, existe un escalar λ en el cuerpo K tal que T(v)=λv o (A_T v=λv). Y, si λ es un eigenvalor de T (A_T ) entonces, existen vectores v∈V no nulos tal que T(v)=λv o (A_T v=λv).

A partir de la comparación entre diferentes representaciones matriciales del operador lineal es posible reconocer que los valores λ que son raíces del polinomio característico son invariantes a cualquier representación matricial de T. Mediante el mecanismo de encapsulación se da paso a considerar el Proceso eigenvalor y eigenvector como una totalidad, identificando que las raíces del polinomio característico determinan todos los eigenvalores de T o A_T y de esta manera se puede establecer todos los eigenespacios (E_λ ); subespacios vectoriales de V donde el operador lineal es invariante (^{Camacho y Oktaç, 2016}). Se puede considerar sumar eigenvalores de un mismo operador lineal y analizar si el escalar resultante es un eigenvector del operador (^{Wawro, Watson, Zandieh, 2019}). En este punto hay plena consciencia que, al hablar por ejemplo de eigenvalor, necesariamente se involucran los eigenvectores o viceversa, es decir, la encapsulación del Proceso de eigenvalor y eigenvector permite reconocerlo como un objeto conformado por parejas (λ, v) que definen una relación funcional, donde λ∈K y v∈E_λ diferente del vector cero. En este sentido, se pueden aplicar Acciones sobre E_λ como determinar la dimensión y comprarla con otros eigenespacios relativos a otros eigenvalores. Asimismo, es posible aplicar Acciones sobre el Objeto eigenvalor y eigenvector, por ejemplo, para formar una base del espacio V que solo contiene eigenvectores, es decir, una eigenbase. Lo anterior consideramos que da paso al estudio y construcción de conceptos como la diagonalización de operadores lineales.