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INTRODUCCIÓN
Las fallas son estructuras geológicas muy comunes que se presentan principalmente en la corteza superior terrestre. Aunque se trata de objetos geológicos que comúnmente forman grupos con relaciones que llegan a ser complejas (véase por ejemplo Peacock et al., 2016), en su definición más elemental una falla se puede considerar como: fractura o zona de fractura a lo largo de la cual ha tenido lugar desplazamiento relativo de los lados, paralelamente al plano de fractura (Bates and Jackson, 1984); o bien como, superficie a lo largo de la cual ocurrió desplazamiento apreciable, que puede ser plana o curviplana (Ragan, 2009). De estas definiciones se deriva que una falla delimita dos bloques, ubicados a uno y otro lado del plano de fractura (Figura 1). En el trabajo geológico es muy común ubicar y definir la geometría de las fallas presentes en el área estudiada, para ello se determina la orientación del plano de fractura, así como la dirección y sentido del desplazamiento. En múltiples ocasiones también es necesario determinar la magnitud del desplazamiento, ya que eso permite conocer la posición de un objeto que solo ha sido observado en uno de los bloques.
Figura 1 Bloquediagrama que muestra las relaciones geométricas del plano de falla, marcadores, plano de observación y estría de falla. α echado de la falla, β pitch del marcador A, γ pitch de la estría de falla, φ pitch de la línea de observación, θ ángulo entre la estría de falla y el marcador A medido sobre el plano de falla, θn ángulo entre la línea de observación y el marcador A medido sobre el plano de falla, S desplazamiento verdadero, SmA separación del marcador A, SmB separación del marcador B, SAB distancia entre marcadores A y B después de la deformación.
Conocer la magnitud del desplazamiento de una falla es de la mayor importancia en muchas situaciones, como por ejemplo en desarrollos mineros, en la búsqueda de blancos de perforación, en la elaboración de secciones geológicas, o en estudios de cuantificación de deformaciones. No obstante lo anterior, durante los levantamientos geológicos es muy poco probable poder determinar el desplazamiento verdadero de las fallas, pues casi siempre se observa solo el desplazamiento aparente de un marcador, ese marcador puede ser una capa, un dique, o cualquier objeto planar o lineal desplazado por la falla. En la literatura hay numerosos trabajos que abordan la determinación del desplazamiento verdadero de una falla (Ramsay and Huber, 1987; Yamada y Sakaguchi, 1995; Ragan, 2009; Xu et al., 2007, 2009; Lisle and Walker, 2013; Nieto-Fuentes et al., 2014), pero la mayoría resuelven el problema geométrico para una o un número limitado de configuraciones geométricas.
Nuestro grupo de trabajo ha estudiado distintos aspectos del análisis estructural en fallas desde hace más de dos décadas, presentando avances paulatinos en el desarrollo de los algoritmos de solución y programas de cómputo que resuelven problemas geométricos y dinámicos (Alaniz-Álvarez et al., 1998; Xu et al., 2007; Xu et al., 2009; Nieto-Fuentes et al., 2014; Xu et al., 2017; Alvarez-del-Castillo et al., 2017). Presentamos esta nueva aportación en el marco de la sección especial de la Revista Mexicana de Ciencias Geológicas, que se publica para celebrar los 20 años de creación del Centro de Geociencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Se trata de la versión más reciente de una aplicación para calcular el desplazamiento verdadero (neto) de una falla, a partir del desplazamiento aparente (separación) de un marcador planar. Este programa de cómputo denominado TruDisp 2.0 es la siguiente iteración (v2.0) de la versión (v1.0) presentada en Nieto-Fuentes et al. (2014, disponible en https://github.com/NIFR91/TruDISP/blob/gh-pages/TruDISP/TruDISP-1.zip y en https://nifr91.gitlab.io/trudisp/releases/TruDisp-v1.0.zip).
Los cambios en TruDisp 2.0 son significativos, pues tiene una GUI completamente nueva y se ejecuta en cualquier navegador. Puede usarse en ambiente Windows, Linux o Android, por lo que corre en computadoras de escritorio, laptops, tabletas, o teléfonos inteligentes. El método de cálculo para determinar el desplazamiento verdadero de la falla es distinto al usado en la versión anterior y se integra una nueva metodología para el cálculo de los errores. TruDisp 2.0 Está disponible en: https://nifr91.gitlab.io/trudisp/
Modelo y geometría usados en TruDisp 2.0
El modelo geométrico utilizado en TruDisp 2.0 se ilustra en la Figura 1. Se asume que el desplazamiento ocurre sobre el plano de falla y que la estría de falla es paralela al vector de desplazamiento. Otras asunciones son que la falla es plana y que el desplazamiento es homogéneo en todo el plano. La magnitud del desplazamiento es distinta a lo largo de la superficie de las fallas, por ello se debe considerar que el área en que es válido asumir desplazamiento constante es limitada. Por otra parte, las observaciones de campo y de mapas del subsuelo muestran que las fallas comúnmente presentan curvaturas, lo cual es debido entre otros factores a las heterogeneidades del medio, el enlace de segmentos de falla y la interacción con otras estructuras. Por esa razón se deben usar valores promedio de rumbo y echado, y debe tenerse en cuanta que la aproximación a una superficie plana será más cercana para fallas o áreas relativamente pequeñas. Para fallas regionales una estrategia puede ser considerar el promedio de rumbo y echado de las zonas centrales de las fallas.
En la Figura 1 se ilustra una falla de tipo normal, en donde el plano de falla (fractura) separa dos bloques denominados “bloque del alto” (bloque de techo) que se encuentra encima del plano de falla y “bloque del bajo” (bloque de piso) que yace bajo el plano de falla. El plano de falla contiene estrías (striaes) que indican la dirección del desplazamiento y hay uno (o dos) marcadores planares que son desplazados por la falla. El ángulo ? es el “echado” o inclinación (dip) de la falla y su rumbo (strike, stk) es el ángulo de 0° a 360° formado entre el norte geográfico y la línea de rumbo de la falla (línea de intersección de los planos horizontal y de falla), se utiliza la regla de la mano derecha. Los ángulos “pitch” son medidos sobre el plano de la falla con respecto a la línea de rumbo de la falla. En la Figura 1 aparecen los ángulos pitch de las líneas de intersección del plano de falla con el plano de observación (phi ??), con el marcador A (betha ?) y el pitch de la estría de falla (gamma ?). El ángulo pitch de una línea sobre el plano de falla puede tomar valores entre 0° y 90°, por lo que es necesario dividir el plano de falla en dos partes iguales separadas por la línea del echado, si la línea cae en la mitad norte será indicada con N y con S si queda en la mitad sur. Nótese que los ángulos
Es común medir el desplazamiento aparente de los marcadores en el plano horizontal, es decir sobre un mapa. También es común medir sobe un plano vertical y perpendicular al rumbo de la falla, cuando medimos en secciones transversales. Sin embargo, en el campo observamos los afloramientos de roca sobre un plano que puede tener cualquier orientación. Ese plano sobre el cual se observa es denominado “plano de observación” (observation plane) (plano O). El modelo permite realizar los cálculos no solo en mapa y sección transversal, sino sobre planos de observación con orientación cualquiera, para ello se requiere introducir su rumbo y echado. La línea que se forma por la intersección del plano de falla y el plano de observación se denomina línea de observación. Sobre esa línea es que se mide el desplazamiento aparente del marcador.
El modelo asume que los datos de entrada tienen errores de medición cuya magnitud es elegida por el usuario. La magnitud del error puede obtenerse de mediciones sucesivas que haya realizado el usuario, o bien pueden considerarse errores típicos según el instrumento de medición que se haya utilizado. Como ejemplo podemos decir que, basados en nuestra experiencia, una brújula “tipo Brunton” tiene un error de ± 2°, aunque puede llegar a ser mayor, dependiendo del equipo y las condiciones en que se realiza la medición.
El programa considera dos casos: cuando se tiene la estría y un marcador, y cuando se tienen dos marcadores no paralelos sin tener estrías. Para calcular el desplazamiento verdadero, el modelo considera que hay puntos de los marcadores que estuvieron adyacentes antes de la deformación. Esos puntos son denominados piercing points y la magnitud del desplazamiento está dada por la distancia entre ellos después de la deformación, medida en línea recta.
El programa y su GUI paso a paso
Input: Datos de entrada, sus formatos y errores
El usuario debe introducir el rumbo y echado del plano de falla, de los marcadores y del plano de observación. Los datos se introducen en grados, para los rumbos se usa la regla de la mano derecha y se usa azimut (0° a 360°). Para casos en que no se tiene estría, pero se cuenta con dos marcadores, deberá pulsarse en “marcador B” (marker B) e introducir rumbo y echado del segundo marcador. Igualmente deben introducirse los desplazamientos aparentes Sm A (desplazamiento del marcador A a lo largo de la línea de observación) , Sm B (desplazamiento del marcador B a lo largo de la línea de observación) y la distancia S AB (distancia entre los marcadores A y B medida a lo largo de la línea de observación) (Figura 1). Las magnitudes de esos desplazamientos aparentes son adimensionales, al igual que los resultados obtenidos, por lo que el usuario debe asegurarse de que las mediciones realizadas sean comparables. Para el caso en que se tiene la estría y un marcador se debe introducir la dirección de la estría (trend). La inclinación (plunge) y el ángulo pitch serán calculados por el programa de manera automática y aparecerán donde se indican. Pocas veces se mide en el campo el trend de la estría, es más común que se mida el ángulo pitch. Dado que el trend es el dato de entrada del programa, el usuario debe ir modificando la dirección de la estría (trend), hasta obtener el pitch deseado, es decir, el que midió en el campo. En todos los valores el usuario puede introducir errores.
Para facilitar la visualización de los datos y ayudar al usuario a detectar rápidamente errores, el programa grafica, en el panel “Plane Orientation”, el rumbo y el echado en esquemas donde el vector perpendicular al plano aparece como una flecha (Figura 2). En el caso del rumbo (strike) el sistema de coordenadas está en el plano horizontal y aparece como dos líneas sólidas ortogonales con el norte en la parte positiva del eje de las ordenadas. Nótese que la longitud de la flecha varía según la inclinación del plano. En el caso del echado (dip) el sistema de coordenadas está en el plano vertical, aparece con líneas sólidas hacia arriba del plano horizontal y líneas punteadas hacia abajo del plano horizontal. En el caso de los datos de estrías, la línea móvil indica la proyección de la estría en la horizontal para el caso de la dirección (trend) y la proyección en el plano vertical en el caso de la inclinación (plunge). Los ángulos pitch se calcularán y desplegarán automáticamente, en tiempo real, en su propio panel.
Cuando se tienen dos marcadores y no se tienen estrías, al pulsar sobre “Marcador B” (Marker B) se activa por completo el panel de desplazamientos aparentes (Apparent Displacement). Allí se pueden introducir los valores de Sm A , Sm B y S AB . Hay dos gráficos que muestran las posiciones de los puntos de intersección de A, A’, B y B’, sobre la línea de observación (nótese que solo se visualizan las letras B y A’). La proyección sobre el plano horizontal es la de la izquierda, tiene ejes en línea sólida, a la derecha está la proyección en el plano vertical. Cuando una distancia (Sm A , Sm B o S AB ) se midió en el sentido de la flecha debe considerarse positiva, si se midió en sentido contrario de la flecha debe aparecer como negativa. La gráfica ayudará al usuario a verificar que se haya usado el signo correcto. Para evitar confusiones sugerimos considerar como el marcador A aquel que se intersecte con la línea de observación en la parte más elevada y un valor de S AB =0, pues los valores de Sm A , Sm B así como el desplazamiento neto S, son independientes de S AB , como se muestra más adelante.
Salida (Output): Datos de salida: desplazamientos y cosenos directores
En el panel de salida aparecen los desplazamientos que calcula el programa. Los ángulos ? y ?n servirán al usuario para evaluar la calidad de su cálculo, S es el desplazamiento neto de la falla; Sv es el desplazamiento vertical y Sh el desplazamiento horizontal perpendicular a la falla; Sd es el desplazamiento en dirección del echado de la falla y Ss el desplazamiento en dirección del rumbo de la falla. El programa también calcula los cosenos directores de los planos de falla, de observación y marcadores, sus relaciones geométricas se ilustran en la Figura 2 y se calculan al pulsar Calculate en el panel Apparent Displacement. Los errores calculados aparecen frente a cada dato como ± ε (siendo ε el error asociado a un intervalo de confianza). El 95 % de los datos de la simulación Montecarlo se encuentran en ese rango de error.
Historial (History)
Los cálculos realizados aparecen enlistados en el panel del historial (History) con un número consecutivo que se indica en la primera columna (Figura 2). Al pulsar en el número consecutivo de un renglón (primera columna), los datos de entrada y salida de ese cálculo se cargarán automáticamente. Se pueden escribir notas que sirvan para identificar una falla específica, o guardar allí cualquier información importante que se desee. Los datos de cada cálculo se pueden borrar individualmente pulsando en el ícono de cesto de basura. Pulsando el botón salvar (save) el historial se guardará en un archivo de texto con los valores separados por coma y un desplazamiento por línea (formato csv). Por defecto el nombre del archivo que se guarda es “trudisp-data-[fecha en milisegundos desde 00:00:00 UTC].csv”. El usuario podrá modificar posteriormente ese nombre a su conveniencia, así como hacer modificaciones en los datos del archivo. Nótese que los ángulos aparecerán en radianes. Para recuperar un archivo guardado se debe pulsar “cargar” (load) y los datos aparecerán en el panel del historial.
Diagramas (Diagrams)
El panel de diagramas (Diagrams) contiene las figuras en donde se ilustran las relaciones geométricas de los elementos utilizados en los cálculos.
Cómo se realizan los cálculos
En la Tabla 1 se muestra el algoritmo para obtener el desplazamiento de una falla partiendo de mediciones de campo. Los datos de entrada son los siguientes: El rumbo (strike, stk) y el echado (dip) para los planos de falla (F), observación (O), marcador (A) y opcionalmente marcador (B). La dirección (trend, trnd) y la inclinación (plunge, plng) de la estría (𝔰). La distancia entre los marcadores (S AB ) y los desplazamientos aparentes Sm A y Sm B . Se explica también, de manera simplificada, lo que calculan las ecuaciones.
Tabla 1 Algoritmo para el cálculo de desplazamiento
| Entrada: stkF , dipF , stkO , dipO , stkMA, dipMA, stkMB , dipMB , trnd, plng, SmA, SmB , SAB | ||
|
Salida: El desplazamiento | ||
| 1 | transformar orientaciones a radianes mediante (1) | |
| 2 | obtener los cosenos directores utilizando (2) | |
| 3 |
|
La ecuación (3) obtiene la intersección de dos planos aplicando el producto cruz. |
| 4 |
si la orientación de |
|
| 5 | si se conoce la orientación de la estría entonces | |
| 6 |
|
La ecuación (4) obtiene la intersección de una línea con un plano. |
| 7 | en otro caso | |
| 8 | ι = intersección plano F, plano MA y plano MB aplicando (5) | La ecuación (5) obtiene el punto de intersección de tres planos. |
| 9 | ι’ = intersección plano F, plano M’A y plano M’B aplicando (5) | |
| 10 |
|
|
| 11 |
si la orientación de |
|
| 12 | fin | |
| 13 | calcular ángulos pitch usando (8) y (9) | (8) y (9) obtienen el ángulo pitch del marcador y la estría, respectivamente. |
| 14 | obtener los valores de |
|
| 15 | calcular componentes de desplazamiento aplicando (12, 13, 14 y 15) | |
| 16 |
devolver |
|
Los ángulos suelen ser medidos en grados, por ello el primer paso consiste en transformar a radianes cada valor de orientación mediante:
El siguiente paso consiste en expresar las orientaciones de los planos en función del vector normal unitario
que transforma el rumbo (stk’) y el echado (dip’) a la base canónica.
Figura 3 Esquema que muestra las relaciones geométricas de los parámetros del plano de falla y su normal, en el sistema de coordenadas
Si se conoce la orientación de la estría
La función (X) aplica el producto cruz
En el caso que nos ocupa la dirección de la línea de observación debe estar orientada hacia abajo
Con la línea de observación podemos calcular el desplazamiento aparente
Donde ς permite calcular el vector desplazamiento
Figura 4 Esquema que muestra las relaciones geométricas de un marcador M con la parte M’ desplazada por una falla.
En el segundo caso no se cuenta con la orientación de la estría, en su lugar se tiene un segundo marcador. Con estos dos marcadores podemos detectar la intersección de los dos planos antes y después del desplazamiento, los cuales, sobre el plano de la falla, serían piercing points (Figuras 1 y 5). El desplazamiento neto
Figura 5 Esquema que muestra las relaciones geométricas entre dos marcadores M
A
y M
B
con las partes correspondientes M’
A
y M’
B
desplazadas por una falla.
Los desplazamientos aparentes, la línea de observación y las orientaciones de los marcadores determinan la ecuación de los planos, para el marcador M
A
tenemos
Donde
en donde no interviene S AB .
Finalmente, calculamos los ángulos pitch de las líneas de observación, falla y marcador. Para ello se utiliza la función
Que calcula la intersección de un plano
De esta forma calculamos los ángulos pitch para cada plano
y para la estría
Calcular
Adicionalmente se pueden calcular la magnitud de las componentes del desplazamiento (Figura 1):
Cálculo de los errores
En TruDisp 2.0 los errores se estiman empleando el método Montecarlo. Los errores reportados son resultado de considerar la propagación del error sugerido por el usuario. Para esto se considera que el valor (V) tiene una distribución normal
Es importante notar que, generalmente, el cálculo con el valor introducido (sin errores) y la media de la simulación Montecarlo (introduciendo errores) serán similares. Sin embargo, esto no necesariamente se mantendrá para toda operación, debido a la transformación no lineal de los valores de entrada para calcular el desplazamiento. El usuario debe tener en consideración el impacto del error de medición en los resultados obtenidos y sus posibles consecuencias en la interpretación de los resultados.
Casos especiales
Hay dos casos especiales en los que no es posible realizar el cálculo del desplazamiento real de la falla, ya que no se observa desplazamiento aparente, estos son: (1) cuando el ángulo
Los errores se harán muy grandes conforme
Ejemplo y comparación con TruDisp 1.0
Hay diferencias importantes entre TruDisp 2.0 y su versión previa Trudisp 1.0. Para el usuario la diferencia más evidente es que los parámetros de entrada en TruDisp 2.0 son los datos que usualmente se miden directamente en el campo y que el programa puede correrse en diversos dispositivos Android, Windows y Linux, lo que hace más fácil su uso.
Internamente los algoritmos de solución de las versiones de TruDisp son muy diferentes. El algoritmo usado en TruDisp 2.0 se expuso en el apartado “Cómo se realizan los cálculos”, mientras que, por su parte, TruDisp 1.0 calcula el desplazamiento neto resolviendo ecuaciones trigonométricas para 18 configuraciones que se pueden dar con orientaciones de falla, plano de observación, marcadores y estría. El error lo calcula como error absoluto a partir de derivadas parciales, las cuales se aproximaban numéricamente. Entre los inconvenientes de este método se tiene el error introducido por la aproximación numérica y el asumir la derivabilidad de las funciones. Para el cálculo de la propagación del error introducido por el usuario la versión 1.0 resuelve la ecuación:
donde Δ es el error en S, β, γ, φ y Sm, respectivamente. Las derivadas parciales son calculadas numéricamente, aproximando la primera derivada como: f(S) ≈ (f (S0+h)-f(S0-h))/2h, con un valor de h = 0.0001 para evaluar la derivada en el punto S0 (Nieto-Fuentes et al., 2014).
Aunque los métodos de cálculo son distintos, los resultados obtenidos con las dos versiones de TruDisp son consistentes. A manera de ejemplo, en la Tabla 2 mostramos los resultados de casos que fueron obtenidos con modelos en papel, usando el método descrito en Ragan (2009, p. 169). Los ángulos se midieron con un transportador. Nótese que la configuración de la falla y los marcadores es la misma, solo cambia que las mediciones se hicieron en un plano de observación oblicuo y en mapa.
Tabla 2 Ejemplos del cálculo de desplazamiento neto.
| Caso 01. Plano de observación oblicuo | Rumbo* Dirección | Echado* Inclinación | TruDisp 1.0 | TruDisp 2.0 |
|---|---|---|---|---|
| Falla | 045±2 | 65±2 | ||
| Plano de observación | 300±2 | 86±2 | ||
| Marcador | 85±2 | 40±2 | ||
| Estría | 119±2 | |||
|
Desplazamiento real usado en el modelo =60 Separación medida en el modelo SmA=69 | ||||
| Desplazamiento neto S calculado | 60±2.4 | 60.00±1.42 | ||
| β | 40±2S | 40±2 S | ||
| γ | 55±2 N | 56±4 N | ||
| φ | 80±2 N | 80±2 N | ||
| Sv | 44.5±3.6 | 44.99±2.03 | ||
| Sh | 20.8±2.9 | 20.97±1.67 | ||
| Sd | 49.1±3.2 | 49.64±2.34 | ||
| Ss | 34.4±3.1 | 33.65±3.30 | ||
| Caso 02. Mapa | Rumbo* Dirección | Echado* Inclinación | TruDisp 1.0 | TruDisp 2.0 |
| Falla | 045±2 | 65±2 | ||
| Plano de observación | 0±2 | 0±2 | ||
| Marcador | 85±2 | 40±2 | ||
| Estría | 119±2 | |||
|
Desplazamiento real usado en el modelo =60 Separación medida en el modelo SmA=78 | ||||
| Desplazamiento neto S calculado | 60±2.4 | 60.01±1.38 | ||
| β | 40±2S | 40±2 S | ||
| γ | 55±2 N | 56±4 N | ||
| φ | - | - | ||
| Sv | 44.5±3.6 | 44.99±2.04 | ||
| Sh | 20.8±2.9 | 20.98±1.63 | ||
| Sd | 49.1±3.2 | 49.65±2.33 | ||
| Ss | 34.4±3.1 | 33.65±3.35 | ||
*Se utiliza la regla de la mano derecha. En las medidas angulares se introdujo un error de ±2°. En negritas cursivas aparecen los datos calculados.
CONCLUSIONES
La limitante principal para calcular el desplazamiento verdadero de una falla, a partir de datos de campo, es que hay un gran número de configuraciones entre los parámetros que intervienen en el cálculo y que los métodos gráficos y trigonométricos son muy demandantes de tiempo. La solución es tener un programa de cómputo que permita realizar los cálculos rápidamente para cualquier combinación de valores medidos. TruDisp 2.0 permite realizar esos cálculos de manera rápida y amigable. El algoritmo de solución utilizado es general y permite evaluar la calidad de los resultados analizando los errores obtenidos. Este nuevo algoritmo calcula también el desplazamiento neto en ausencia de estría de falla y teniendo dos marcadores. El cálculo de los errores utiliza un método estocástico, que consideramos más adecuado dadas las funciones trigonométricas (no lineales) involucradas en los cálculos. En las pruebas que presentamos, los cálculos realizados con TruDisp 2.0 son consistentes con los obtenidos usando TruDisp 1.0.
TruDisp 2.0 es una herramienta útil en diversos trabajos en los que se requiera ubicar un objeto desplazado por una falla. También será de utilidad para la cartografía y el trabajo geológico regional, así como en la enseñanza de la Geología Estructural en niveles de intermedio a avanzado.
