En los últimos años ha crecido el interés por la lógica de orden superior y las preguntas metafísicas que el uso de estos recursos implica. Este libro es testimonio del nuevo paradigma que se ha establecido en la metafísica contemporánea. Con 17 contribuciones originales de primer nivel, este volumen se constituirá como una obra imprescindible para comprender la metafísica de orden superior.

El libro se divide en cinco partes. La primera es una introducción general a la metafísica de orden superior. En el capítulo 1, Peter Fritz y Nicholas Jones explican las líneas generales del libro e introducen las cuantificaciones de orden superior, las teorías de tipos y el mecanismo de abstracción-λ. Cualquier lenguaje que incorpore estos elementos es un lenguaje de orden superior. El uso de estas herramientas formales en metafísica abre el programa de investigación de la metafísica de orden superior.

Los cuantificadores de orden superior se suelen introducir como una manera obvia de formalizar los discursos ordinarios acerca de las propiedades y las proposiciones. En consecuencia, una hipótesis natural es que la interpretación pretendida de los cuantificadores de orden superior está determinada por el significado de las expresiones del lenguaje natural en el que se habla acerca de las propiedades y las proposiciones. Pero Andrew Bacon, en el capítulo 2, sostiene que esto es incorrecto. Si bien hay analogías entre los enunciados de las teorías de propiedades y los enunciados de orden superior, también hay diferencias importantes. De hecho, cuando ocurren divergencias, los enunciados de orden superior “están más cerca de la acción metafísica” (p. 59). Esto quiere decir que las preguntas metafísicas pueden ser abordadas más directamente con formalizaciones de orden superior, pues el habla informal en las teorías de propiedades introduce “ruido metafísico” (p. 64) que desvía la atención de los problemas. Además, con formalizaciones de primer orden hay que introducir predicados problemáticos como “... instancia ...”, mientras que un marco de orden superior permite generalizar directamente en posición de predicado, oración u operador. En la misma línea, en el capítulo 3, Jeremy Goodman sostiene que la inteligibilidad de los lenguajes formales (incluida la lógica de primer orden) no depende de la traducción de sus fórmulas a un lenguaje natural previamente comprendido (p. 73). Por otro lado, el problema con la lógica de primer orden, aunque también permite hacer metafísica, “es que es aburrida” (p. 79). Esto es debido a que las preguntas metafísicas que se pueden formular usando solo negación, conjunción, cuantificación de primer orden e identidad son muy limitadas (pp. 77-80). La lógica de orden superior, en cambio, permite introducir preguntas que muestran la fertilidad de las cuantificaciones de orden superior en todos los tipos. Goodman se enfoca en preguntas de la ‘ciencia de grano’. Es decir, una investigación acerca de la identidad de las propiedades y proposiciones (pp. 95-103).

La segunda parte está dedicada a la metafísica de orden superior pura, la cual aborda problemas relacionados exclusivamente con los lenguajes de orden superior. Hay al menos dos tipos de preguntas. Por un lado, preguntas acerca de qué lenguaje de orden superior usar en la metafísica y, por otro lado, preguntas sobre lo que se puede formular en lógica de orden superior sin usar constantes no lógicas (e.g., preguntas acerca de identidad y existencia). En particular, en el capítulo 4, Andrew Bacon y Cian Dorr proveen una teoría sistemática de la identidad de las entidades de orden superior llamada “clasicismo”. Se trata de un fortalecimiento del ‘booleanismo’, esto es, una teoría acerca de la interacción entre las identificaciones y los operadores veritativo-funcionales de la lógica proposicional clásica. Para los autores, el clasicismo es una extensión natural del booleanismo, pues se extiende a otras constantes lógicas como la identidad y los cuantificadores. Según el clasicismo, la equivalencia lógica en la lógica de orden superior clásica, H, más los principios de conversión-β y η, son suficientes para la identidad de orden superior. La axiomatización del clasicismo obedece estos principios y el siguiente esquema (p. 118):

Dicho de otra forma, dos proposiciones son idénticas si son equivalentes (o más precisamente, las fórmulas que expresan esas proposiciones). Finalmente, Bacon y Dorr elaboran una teoría de modelos para el clasicismo (pp. 147-169).

También acerca de qué tan finamente están individuadas las entidades, Øystein Linnebo, en el capítulo 5, aborda la paradoja de Russell-Myhill. Las populares teorías de proposiciones estructuradas adscriben una estructura interna isomorfa a las oraciones que las expresan. Ahora bien, la idea de estructura proposicional entra en conflicto con las cuantificaciones de orden superior, específicamente con generalizaciones de segundo orden del teorema de Cantor (p. 196). Sean F y Q variables de tipo <t, t> y sean p y q variables de tipo t. La concepción estructurada de las proposiciones se compromete con:

Entonces, [Estructura-t] implica una función inyectiva de <t, t> a t. Pero no puede haber correspondencia uno a uno. Pues, dicho de forma cantoriana, habría más propiedades de proposiciones que proposiciones. Esta versión del argumento Russell-Myhill puede extenderse a otros tipos (p. 199). El resultado de esta paradoja es que excluye la posibilidad de que las proposiciones sean estructuradas y, a su vez, impone límites a la individuación fina de las entidades de orden superior. Linnebo argumenta que las restricciones predicativas de los esquemas de comprehensión no son razonables para bloquear esta paradoja. En su lugar, se propone restringir los esquemas de comprehensión con una concepción jerárquica de la realidad (pp. 208-215). La realidad no es ‘plana y gruesa’, más bien ‘alta y fina’.

Normalmente se utilizan teorías de tipos simples funcionales o relacionales para hacer metafísica de orden superior. En el capítulo 6, Laura Crosilla muestra una teoría de tipos constructiva y la contrasta con las teorías de tipos simples. Una de las diferencias importantes es que en la teoría constructiva los tipos se definen con reglas que describen el proceso generativo de construcción de los tipos a partir de sus elementos y un criterio de identidad (pp. 223-225). Crosilla explora si esta teoría puede ser usada para hacer cuantificaciones absolutamente irrestrictas (pp. 233-238).

La tercera parte de este volumen aborda la metafísica de orden superior aplicada a varios problemas tradicionales. En estas discusiones las formalizaciones incluyen constantes no lógicas. En el capítulo 7, Tim Button y Robert Trueman presentan una teoría de propiedades de raigambre fregeana en la que las entidades están ordenadas jerárquicamente en tipos estrictos, de modo que ninguna propiedad puede ser objeto, ni se puede hacer referencia a las propiedades mediante términos singulares (pp. 247-252). La nominalización, entonces, es un desafío para el ‘realismo fregeano’, pues términos singulares como “sabiduría” tendrían como valor semántico una propiedad, contra el supuesto fregeano. Button y Trueman elaboran una teoría formal de universales que se interpreta de forma ficcionalista. La idea central es que los predicados nominalizados no expresan propiedades (de orden superior), sino que expresan universales (los cuales, si fuesen reales, serían objetos de primer orden).

La metafísica de orden superior también contempla metafísica modal. En el capítulo 8, Maegan Fairchild defiende el contingentismo híbrido, esto es, la tesis de que es contingente qué individuos existen, pero es necesario qué propiedades existen. Esta posición enfrenta dos desafíos. Primero, el problema de la haecceitas. ?Cómo una propiedad (e.g., ser idéntico a Sócrates) se ‘fija’ en un individuo objetivo cuando el individuo está ausente? Segundo, está el problema de explicar la asimetría modal entre la contingencia de primer orden y el necesitismo en segundo orden (y para todos los demás tipos). Fairchild sostiene que la idea de haecceitas es irreductiblemente de orden superior (p. 300):

De modo que no hay compromiso ni con una ‘estoidad’ (thisness) ni con una relación entre entidades existentes y no existentes. Ahora bien, la asimetría surge por: (i) una lógica cuantificacional libre que vale para todos los tipos y (ii) una diferencia entre el tipo e y todos los demás tipos en lo que refiere a la interacción de la lógica libre y la comprehensión irrestricta.

En el capítulo 9, Harvey Lederman aborda la metafísica de orden superior y las actitudes proposicionales, y llama ‘relacionalismo’ a la idea de que las creencias son relaciones entre agentes y proposiciones. Lederman muestra que la formalización de fenómenos como el puzzle de Frege es incompatible con la lógica de orden superior estándar (pp. 325-327). Frente a esto plantea dos problemas. Uno es metasemántico, en el que se cuestiona el significado de las expresiones de orden superior (pp. 330-332). El otro es un problema epistemológico. Si los lenguajes de orden superior cortan sus vínculos con el lenguaje natural, se pierde una pieza importante de evidencia para las categorías ontológicas que el ‘pluralista neo-fregeano’ postula (p. 332).

La cuarta parte del volumen se enfoca en la historia de la metafísica de orden superior. En el capítulo 10, Kevin C. Klement muestra el tratamiento de las funciones y la cuantificación de orden superior en Frege y Russell. El autor muestra las dificultades que enfrentaron estas teorías al considerar las funciones como objetos. En el capítulo 11, Fraser MacBride elabora una visión neo-quineana contra la lógica de segundo orden, específicamente con: (i) la idea de que la lógica de segundo orden no es estrictamente lógica, y (ii) la idea de que las cuantificaciones de orden superior no pueden interpretarse como teniendo universales como rango. En el capítulo 12, Adriane Rini muestra dos motivaciones por las cuales Prior apela a los lenguajes de orden superior. Una de ellas tiene que ver con querer evitar el compromiso con universales, y la segunda tiene que ver con las cuantificaciones de orden superior en el lenguaje natural.

La quinta y última parte del libro está dedicada a la discusión de algunos temas de metafísica de orden superior. En el capítulo 13, Christopher Menzel muestra una teoría de primer orden de proposiciones-e, las cuales serían individuadas de manera fina para el tratamiento de las actitudes y aborda también las paradojas de Prior-Kaplan (pp. 446-450) y Russell-Myhill (pp. 450-453). Menzel también señala que una aproximación de primer orden debe procurar ser pura, esto es, sin la introducción de predicados no lógicos (como I de instanciación o T de verdad). Frente a esto, en el capítulo 14, Timothy Williamson desafía la posición de Menzel, particularmente la idea de mantener la lógica pura (pp. 460-462). También discute si la cuestión de las actitudes realmente motiva distinciones de grano fino para las proposiciones-e (pp. 462-470).

En el capítulo 15, Bryan Pickel discute un problema acerca de la generalidad absoluta. ?Cómo puede ser irrestricta una cuantificación de primer orden si no tiene como rango aquello que los cuantificadores de segundo orden tienen como rango? Pickel sostiene que no es suficiente la estrategia que consiste en imponer restricciones sintácticas de formación para preservar la idea de generalidad absoluta, pues es estándar la lectura en la que los cuantificadores de orden superior tienen como rango propiedades y relaciones (pp. 489-495). Tampoco es razonable la idea según la cual el obstáculo es semántico (pp. 495-498). En el capítulo 16, Williamson responde que es la paradoja de Russell la que resuelve el problema (p. 505) y que las cuantificaciones de segundo orden no pueden funcionar como cuantificaciones restrictas de primer orden.

En el capítulo final, Agustín Rayo responde al ‘primer-ordenismo’ de Menzel y Pickel. La idea central de estos últimos se puede resumir con la conjunción de las siguientes tesis: (i) hay que dar sentido a las cuantificaciones absolutamente generales y, (ii) los cuantificadores de orden superior deben entenderse como cuantificadores restrictos de primer orden. Rayo propone una alternativa anti-absolutista (pp. 516-519). Se sostiene que los dominios sobre los cuales se cuantifica son abiertos (open-ended). En específico, es abierto qué proposiciones y modalidades hay. También aborda la paradoja Prior-Kaplan (pp. 535-537).

Lamentablemente no es posible discutir con detalle todos los aspectos relevantes de las contribuciones. Con todo, vale la pena reiterar que este volumen es un aporte indispensable.