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Un número importante de filósofos ha propuesto lo que se ha llegado a denominar un enfoque “algebraico” de propiedades estructuradas (cfr. entre otros, Bealer 1982; 1989; 1994; Bealer y Mönnich 2003; McMichael y Zalta 1980; Zalta 1983; 1988; Menzel 1986; 1993; Swoyer 1998). Estos enfoques tienen la peculiaridad de que las proposiciones vienen a ser un tipo de propiedad universal. Las teorías algebraicas ofrecen un tratamiento unificado de las propiedades, las relaciones y las proposiciones. Un “álgebra” designa ciertas operaciones definidas sobre una colección de elementos. Así, un álgebra de grupo es una colección de elementos sobre los que se define una operación binaria asociativa que para dos elementos cualesquiera de la colección arroja un tercero como valor, en la que se distingue un elemento neutro y para cada elemento de la colección existe un elemento inverso. Un grupo en el que la operación binaria es conmutativa se ha denominado un “grupo conmutativo”. Un álgebra de anillo es un álgebra de grupo conmutativo al que se añade una segunda operación binaria asociativa, distributiva respecto de la primera operación y con un elemento neutro. Etcétera. Las “operaciones” que definen un álgebra establecen relaciones entre los elementos de un dominio. En algunos casos permiten la “ordenación” de tales elementos en estructuras dotadas de cierta jerarquía. En algunos casos permiten también la “construcción” de elementos de la misma colección a partir de otros.
La intuición central de los defensores del enfoque algebraico es que, de un modo análogo, se podrían definir operaciones, pero esta vez sobre un dominio de propiedades universales.1 Estas operaciones permitirían la “construcción” de universales complejos a partir de universales más simples. Las proposiciones vendrían a ser un tipo específico de universal complejo 0-ádico. Las operaciones de universales a universales generarían una estructura en los universales que sería, por lo menos, un homomorfismo de la estructura semántica de los predicados y oraciones de cualquier lenguaje posible. Se aseguraría de este modo que para cada predicado posible, sin importar su grado de complejidad lógica, exista una única propiedad universal que sea instanciada exactamente por los objetos de los que se dice tal predicado con verdad. Los universales enriquecidos con esta estructura, por lo tanto, vendrían a ser el valor semántico de cualquier predicado posible. Asignar valor semántico a las oraciones se seguiría como un caso especial de la asignación de valor semántico a los predicados.
Existen importantes ventajas explicativas para el enfoque algebraico, tal como se puede apreciar. Existen no menos problemas, sin embargo. Para muchos el compromiso con universales resulta de entrada poco atractivo. La idea de “operaciones” de universales a universales trae consigo una complejidad adicional. ¿Cómo deben ser entendidas tales operaciones? ¿Qué incidencia tienen para las condiciones de identidad de los universales? Se supone que al darle un carácter más “matemático” a la ontología de universales se la haría más aceptable -al menos para filósofos de inclinaciones naturalistas-, pero esto no es el caso, tal como se explicará más adelante. El objetivo de este trabajo es hacer un examen de estas dificultades y una exploración de las formas en que podrían resolverse.
En lo que sigue se va a hacer en primer lugar una presentación de las líneas centrales del enfoque algebraico (sección 1). En segundo lugar, se va a explicar de qué modo las operaciones de universales a universales inciden (o no) en las condiciones de identidad de los universales (sección 2). En tercer lugar, se va a exponer cómo deberían comprenderse las operaciones algebraicas si se las supone como mecanismos de “construcción” de universales complejos (sección 3). En cuarto lugar, se va a explicar, como alternativa a la concepción “constructiva” presentada en la sección anterior, la concepción de las operaciones como “morfismos” o “mapeos” entre universales cuyas condiciones de identidad están determinadas por los poderes causales que fundan en sus instanciaciones (sección 4).
1. El álgebra de universales
La motivación inmediata para introducir un álgebra de universales ha sido el desarrollo de una semántica para lógica intensional (cfr. por ejemplo, Bealer 1982, pp. 45-52; Zalta 1983, pp. 20-22; 1988, pp. 47-48; Menzel 1993), pero no ha estado limitado a las cuestiones formales usuales. Quienes han proseguido la tradición tarskiana han supuesto que los predicados deben tener como interpretación algún conjunto -o conjunto de n-tuplas, si se trata de un predicado relacional- definido en el dominio de objetos que hace de rango de cuantificación. Cuando se ha querido asignar a un predicado una “intensión”, ésta se ha definido como una función de mundos posibles a conjuntos de objetos en esos mundos -o de n-tuplas de tales objetos, según el caso-, que representan, intuitivamente, a los objetos de los que se predicarían con verdad tales predicados (cfr. por ejemplo, Carnap 1956, sección 4; Lewis 1972;2 Cresswell 1988 3). Dos “intensiones” son idénticas si y sólo si asignan los mismos conjuntos a los mismos mundos posibles. Esto puede ser suficiente para definir nociones como las de “validez” y “consecuencia lógica”, y para luego examinar si un sistema satisface las propiedades de consistencia o completitud. Una semántica intensional en estos términos es ontológicamente neutral -o eso lo parece, por lo menos-, pues no se pretende que las clases de objetos sean aquello con lo que debe ser identificada una propiedad. Simplemente se trata de una forma apropiada de representar estructuras lógico-formales importantes.
De acuerdo con esta perspectiva dos propiedades son idénticas si son necesariamente co-extensivas. Esto parece insuficiente para dar cuenta de la distinción entre lo que parecen ser propiedades diferentes. Piénsese en las propiedades de ser una figura con tres lados y de ser una figura con tres ángulos. Aunque se trata de propiedades necesariamente co-extensivas a las que se debería asignar la misma “intensión”, parecen ser propiedades diferentes construidas desde las propiedades de ser un lado y de ser un ángulo. Alguien podría creer que una figura dada posee tres lados, pero no creer que posee tres ángulos -tal vez por carecer del concepto de “ángulo”- y viceversa. Si uno supone que los estados intencionales de creencia u otros son especificados por las proposiciones que son su objeto y si uno supone, adicionalmente, que las proposiciones están “integradas” por propiedades o deben identificarse con propiedades, entonces debería poder diferenciarse entre tener tres lados y tener tres ángulos interiores. Como se va a explicar, el enfoque algebraico -al menos, en una de sus interpretaciones- permitiría introducir condiciones de identidad más finas para propiedades y proposiciones.
Es característico de estas lógicas intensionales que se introduce algún mecanismo de abstracción para formar expresiones que designan propiedades. Esto es lo que realiza el operador lambda λ. Sea que “Fx” es un predicado del lenguaje de que se trate. La expresión “λy Fy” expresa la propiedad de ser un y tal que y es F. Si “Rxy” es un predicado relacional, “λzλv Rzv” expresa la relación de ser z y v tales que z está en R con v. El operador lambda obedece un principio de conversión:
La expresión “(λy 1 . . . λy n Fy 1 . . . y n)(x 1, . . . , x n)” debe leerse como la indicación de que ser F se instancia o ejemplifica en x 1, . . . , x n.4 De este modo, el principio de conversión está enunciando de manera general que un objeto es F si y sólo si ese mismo objeto instancia la propiedad de ser F. La validez del principio de conversión, por lo tanto, implica un principio de Comprehensión que puede formularse del siguiente modo en lógica de orden superior, suponiendo que la variable de segundo orden “Π” tiene como rango universales:
Para los proponentes del enfoque algebraico, un lenguaje enriquecido con el operador lambda o con otro mecanismo de abstracción análogo debe interpretarse en lo que se ha denominado una “estructura de modelo algebraica” (algebraic model structure; cfr. Bealer 1982) o una “estructura relacional intensional” (intensional relational structure; cfr. Swoyer 1988). Hay variaciones menores en cómo sean definidas estas estructuras. Se va a seguir aquí la exposición de Chris Swoyer (1998) indicando, cuando sea pertinente, las variaciones que existan en otros autores. Una estructura algebraica intensional I se define como una n-tupla:
Aquí D I es el conjunto de objetos individuales, D R es el dominio de propiedades y relaciones que resulta de la unión de subdominios de propiedades n-ádicas para cada n. De este modo, D 1 R es el conjunto de las propiedades monádicas, D 2 R es el conjunto de las relaciones diádicas, etcétera. Entonces D R = U1 ≤ n D n R. Entre las relaciones diádicas se selecciona de manera especial la identidad. O es el conjunto de operaciones algebraicas de universales a universales.5 Las operaciones algebraicas de O están pensadas para dotar al dominio de relaciones D R de una estructura suficientemente rica para replicar la estructura lógica de las expresiones que resultan de los mecanismos de abstracción.6 Las operaciones son las siguientes:
Negación (NEG): NEG(U) es la negación del universal U que instancian todos los objetos que no instancian el universal U. Si U es n-ádico, NEG(U) también lo es. Por ejemplo, sea el universal de ser un gato. NEG(ser un gato) es un universal que instancian todos los objetos que no son gatos.
Conjunción (CONJ): CONJ(U 1, U 2) es la conjunción de los universales U 1 y U 2. Se trata de un universal diádico, si es que U 1 y U 2 son monádicos. De un modo general, la conjunción de un universal n-ádico y un universal m-ádico es un universal n+m-ádico.7 Por ejemplo, sean los universales monádicos de ser un gato y ser un perro. CONJ (ser un gato, ser un perro) es el universal que instancian los pares ordenados <x 1, x 2> tales que x 1 es un gato y x 2 es un perro.8
Universalización (UNIV): ésta es una familia de infinitas operaciones, una para cada variable de un universal. UNIV i es la universalización de la i-ava variable de un universal n-ádico.9 Si U n es un universal n-ádico, UNIV i (U n) es un universal n-1-ádico. Por ejemplo, sea el universal relacional diádico de odiar x 1 a x 2. UNIV 2 (odiar x 1 a x 2) es el universal monádico de odiar a todos. UNIV 1 (odiar x 1 a x 2) es el universal monádico de ser odiado por todos.
Conversión (CONV): también se trata de una familia de operaciones. CONV i j (U n) es la relación en la que están los objetos <x 1, . . . , x j, x i, . . . , x n> (1 ≤ i < j≤ n) si es que <x 1, . . . , x i, x j, . . . , x n> están en la relación n-ádica U n. Por ejemplo, sea la relación diádica de odiar x 1 a x 2. CONV 1 2 (odiar x 1 a x 2) es la relación diádica en la que están <x 2, x 1> si es que x 2 es odiado por x 1.
Reflexión (REF): es la familia de operaciones que fusionan la i-ava y la j-ava variables de un universal. REF i j (U n) es la relación en la que están los objetos <x 1, . . . , x i, x i, x j+1 . . . , x n>, en donde -como se puede apreciar- el lugar ocupado por la variable x j ha sido sustituido por la variable x i. REF i j (U n) es una relación n-1-ádica, si es que U n es una relación n-ádica. Por ejemplo, sea la relación diádica de amar x 1 a x 2. REF 1 2 (amar x 1 a x 2) es la propiedad monádica de x 1 si es que ama a x 1, esto es, si es que x 1 se ama a sí mismo.
Inserción (PLUG): es la familia de operaciones que “insertan” un objeto en la i-ava variable de un universal que sea por lo menos i-ádico. Si U n es un universal n-ádico, entonces PLUG i (U n, a) es un universal n-1-ádico. Por ejemplo, sea la relación diádica de odiar x 1 a x 2. PLUG 2 (odiar x 1 a x 2, Micifuz) es el universal monádico de odiar a Micifuz. PLUG 1 (odiar x 1 a x 2, Micifuz) es el universal monádico de ser odiado por Micifuz.
A estas operaciones se le han añadido otras, pero estas seis son las básicas y bastarán para lo que se discutirá en este trabajo.10 Swoyer añade para cada una de estas operaciones una operación análoga sobre las extensiones de los universales (cfr. 1998, p. 304). Estas operaciones de extensiones a extensiones permiten preservar la estructura de D R generada por las operaciones de O en D I n -esto es, el n-avo producto cartesiano de D-. En jerga matemática, ext genera un homomorfismo de <D R, O> en <D I, O*>, donde O* es la colección de las operaciones análogas de O.11 Sea I una estructura algebraica intensional tal como se ha explicado. Un modelo M se define como el par:
Aquí den es una función de “denotación” que mapea cada constante de individuo del lenguaje de que se trate en un elemento de D I y cada predicado n-ádico en un elemento de D R. Sea una función de asignación a bajo M, que asigna individuos de D I a las variables de las expresiones del lenguaje. den M a es la denotación modulo el modelo M y la asignación a. Sea ahora predicados n-ádicos “Fy 1 . . . y n” y “Gz 1 . . . z n”, y U n ∈ D n R. Entonces:
La función den es un homomorfismo entre el dominio de las expresiones lingüísticas, de acuerdo con su estructura sintáctica y la estructura algebraica intensional <D I, D R, O, ext>. La función compuesta ext o den es, por lo tanto, también un homomorfismo entre expresiones del lenguaje y extensiones (cfr. Swoyer 1998, pp. 315- 316).
Se definen luego recursivamente los conceptos de “satisfacción” y “verdad” en el modelo M. Sea a(v/i) la asignación que difiere a lo más en la asignación de i a la variable v. Se expresa que el modelo M bajo la asignación a satisface una fórmula φ como “M, a ⊨ φ”. Entonces:
Una fórmula resulta verdadera en el modelo M si toda asignación la satisface. Una fórmula verdadera en todo modelo es lógicamente válida. Hay una relación de consecuencia lógica entre el conjunto de fórmulas Γ y la fórmula φ, esto es, Γ ⊨ φ, si y sólo si todo modelo de Γ es también un modelo de φ. Es de notar que en las cláusulas para predicaciones elementales y para la identidad la satisfacción está definida por la pertenencia a la extensión de un universal, ya sea el que determine la función de interpretación den o la identidad (cfr. Bealer 1982, p. 50; Zalta 1983, p. 27; Swoyer 1998, p. 311). Nada impediría, sin embargo, que en vez de especificar la satisfacción en términos conjuntistas se especificase por la “instanciación” del universal asignado por den.12
Esto no impediría que los hechos de instanciación, luego, tuviesen como consecuencia hechos conjuntistas acerca de la pertenencia a la extensión del universal de que se trate. Las ventajas que ofrece la teoría de conjuntos para el tratamiento de las cuestiones de semántica formal se pueden preservar al existir un homomorfismo entre la estructura algebraica intensional y las extensiones de los elementos de tal estructura. Aunque no se pueden identificar los universales con conjuntos de objetos -que es lo que es una “extensión”-, en la medida en que las extensiones tienen una estructura que “representa” la estructura que otorgan las operaciones algebraicas sobre el dominio de los universales, lo que vale para las extensiones, vale para los hechos sobre la instanciación de universales. Los modelos que descansan en estructuras algebraicas intensionales tienen la ventaja de que ponen de relieve que las relaciones conjuntistas de extensiones son algo derivativo respecto de las relaciones entre universales y su distribución de instanciaciones.
Se ha indicado anteriormente que el álgebra de universales permite generar proposiciones como universales 0-ádicos. Si se parte con un universal n-ádico U n y se van reduciendo progresivamente sus variables libres por la aplicación iterada de operaciones de universalización UNIV y de inserción PLUG se llega, en el límite, a un universal sin variables libres. Es interesante constatar que la misma función den puede asignar proposiciones a oraciones del lenguaje de que se trate. Supóngase, en efecto, una oración “Fa”. Entonces:
Las mismas operaciones algebraicas permiten también generar las proposiciones que sean mapeadas por la función de interpretación den para negaciones y conjunciones.
Los conectivos proposicionales típicos se pueden identificar con las mismas operaciones algebraicas de universales a universales ya descritas.
2. Condiciones de identidad para universales
Las estructuras algebraicas intensionales permiten establecer una correlación estrecha -un homomorfismo- entre la complejidad semántica de las expresiones del lenguaje del que se trate, las propiedades y relaciones universales, y las extensiones de tales propiedades y relaciones. Esto podría ser visto nada más que como un resultado puramente formal y, además, superfluo, pues para examinar las características lógicas del lenguaje intensional parece ser suficiente con representar el valor semántico de términos y predicados directamente en extensiones o, si se prefiere, en “intensiones” tal como han sido concebidas desde Carnap. No se requiere la intermediación de universales para esto.13 Quienes han propuesto el enfoque algebraico, sin embargo, lo han hecho pensando en que un dominio de universales con la estructura algebraica generada por las operaciones descritas trae consigo ventajas ontológicas (cfr. especialmente, Bealer 1982; Bealer y Mönnich 2003). Se ofrece una perspectiva metafísica unificada en la que las propiedades, las proposiciones y los significados vienen a ser entidades de la misma naturaleza. Se trata de una metafísica en la que el dominio de lo “abstracto” está constituido por un solo tipo de entidad: universales. Esos universales serían el objeto de los estados intencionales, serían el valor semántico de predicados y oraciones completas. Serían aquello a lo que se hace referencia por nominalizaciones de verbos y nombres comunes, así como el rango de cuantificaciones. Para filósofos como Terence Parsons (1980) o Edward Zalta (1983; 1988), además, el dominio de universales dotado de estructura algebraica permite “constituir” un dominio de objetos abstractos -del tipo postulado por Alexius Meinong- que están fundados en propiedades que esos objetos “codifican”.
Estas ventajas teóricas del enfoque algebraico presuponen que uno esté dispuesto a admitir a los universales como categoría ontológica, lo que no será nada atractivo para filósofos de inclinaciones nominalistas. Se podría, sin embargo, descansar en la fertilidad explicativa de los universales precisamente para justificarlos, de un modo análogo a como David Lewis ha sostenido que la razón principal para aceptar “mundos posibles” es por su fertilidad teórica para el análisis de diferentes conceptos ontológicamente centrales, así como para ser base de fundación de otras entidades (cfr. 1986, pp. 1-95), o análogo a la forma en que Hilary Putnam y otros filósofos han sostenido que las entidades matemáticas son “indispensables” para la ciencia natural (cfr. 1971), lo que hace razonable postular su existencia. Cualquiera que sea la evaluación que se pueda hacer de tales líneas de argumentación, sin embargo, lo que interesa examinar en este trabajo es más bien la cuestión acerca de cuál sea la actitud que deba tomarse respecto del carácter específicamente “algebraico” del enfoque algebraico. Esto depende de cuál sea la naturaleza de las “operaciones” algebraicas en cuestión. Piénsese en los pares de universales:14
Parece, intuitivamente, que los universales en el lado izquierdo deberían ser idénticos a los universales en el lado derecho en cada uno de estos casos (1)-(6). Se trata de la transcripción de equivalencias bien conocidas en lógica de proposiciones: la eliminabilidad de la doble negación (1), la conmutatividad (2), la asociatividad (3) y la idempotencia de la conjunción (4), la ley de De Morgan (5) y la definición de la implicación material en términos de disyunción (6). La cuestión es que no es obvio que exista identidad entre estos universales. Si se considera la semántica que se introdujo previamente y las características de las estructuras algebraicas intensionales, nada se dice ahí acerca de identidades entre los universales generados por las operaciones. En efecto, hay motivos por los que alguien puede expresamente querer rechazar tales identidades. Se ha supuesto tradicionalmente que el objeto de actitudes intencionales como las creencias, las preferencias o los deseos son proposiciones. Las condiciones de identidad de una actitud proposicional deberían estar determinadas -entre otras cosas- por la identidad de la proposición que es su objeto. Si el objeto de tal creencia -del mismo sujeto, en el mismo tiempo, lugar y contexto- es la misma proposición, debe tratarse de la misma creencia. Si las proposiciones van a ser lo que especifica el contenido de estados intencionales, conviene que estén tan finamente individualizadas como sea necesario para discriminar tales estados. Supóngase que P es un universal 0-ádico -esto es, una proposición- y que un sujeto S en un contexto determinado c cree:
No es obvio, sin embargo, que uno pueda atribuirle a S también la creencia en el mismo contexto c de:
Pero la equivalencia de las fórmulas análogas de lógica de proposiciones, [P ↔ (¬(¬P ∨ ¬P) ∧ ¬(¬P ∨ ¬P))], es una tautología como puede uno percatarse después de un breve examen. Si uno supone (7) = (8), entonces la creencia de que (7) debería ser la misma creencia de que (8), pero parece obvio que alguien podría asentir sinceramente a (7), pero no hacerlo a (8), por no ser capaz de computar su equivalencia lógica. Este ejemplo se puede generalizar. No importa cuál sea la capacidad cognitiva y de procesamiento de información que posea un sujeto racional. Si este sujeto posee capacidades finitas, para una proposición cualquiera siempre es posible generar otra lógicamente equivalente pero de tal complejidad que la equivalencia no sea computable para ese sujeto.
Si uno pretende, entonces, que las estructuras algebraicas sean adecuadas para especificar las actitudes proposicionales, existe una razón para sostener que la identidad de los universales está determinada por cuáles sean las operaciones algebraicas que los han generado además de los universales básicos sobre los que estén operando. De este modo, bajo esta perspectiva, U ≠ NEG (NEG (U)), por ejemplo. El universal NEG (NEG (U)) está constituido por dos aplicaciones iteradas del operador NEG, mientras que U no lo está, por lo que no pueden ser el mismo universal. Esto es lo que han sostenido filósofos como Bealer (1982, p. 65) o Menzel (1986, p. 38). Las operaciones algebraicas son, de algún modo, “constitutivas” de los universales que permiten “construir”. Un universal como CONJ (U 1, U 2) tiene, literalmente, como “componentes” a U 1 y a U 2, y precisamente en este orden. Este universal complejo es numéricamente diferente de CONJ (U 2, U 1), pues, aunque posee los mismos componentes que CONJ (U 1, U 2), la estructura impuesta sobre ellos por la operación CONJ es diferente.
Por otro lado, sin embargo, una corriente alternativa especialmente importante ha postulado condiciones de identidad para las propiedades determinadas por los poderes causales que tales propiedades fundan en los objetos que las instancian (cfr. por ejemplo, Shoemaker 1980; Mumford 2004; Bird 2007, pp. 43-65; Dumsday 2019). Desde estas perspectivas, un universal es el universal que es por el “impacto causal” que genera su instanciación. A cada universal está asociado un patrón de potenciales interacciones causales en que los objetos que lo instancien podrían entrar -lo que dependerá también de qué otros objetos existan, qué universales estén esos objetos instanciando, así como cuáles sean sus distancias espacio-temporales-. Este patrón es modalmente invariante para cada universal y es aquello con lo que deben identificarse las “leyes naturales”.15 Si uno postula condiciones de identidad “causales” para las propiedades, la función de las operaciones algebraicas de universales a universales varía radicalmente. Una operación que no genere ninguna variación en el “patrón causal” de sus instanciaciones no induce el surgimiento de un universal diferente. De este modo, los universales indicados en el lado izquierdo y en el lado derecho de (1)-(6) son idénticos. Las operaciones algebraicas, entonces, no pueden ser vistas como “constituyendo” universales “complejos” desde universales simples, sino como “mapeos” entre los universales de un dominio independientemente constituido. Se ha hecho usual diferenciar entre propiedades “escasas” y propiedades “abundantes” (cfr. Lewis 1983, pp. 5-19). Las operaciones algebraicas han parecido adecuadas para teorías de universales abundantes, pues estas operaciones permiten validar un principio de Comprehensión tal como el indicado anteriormente. De este modo, se asegura mediante ellas que todo predicado posible esté correlacionado con un única propiedad que sea su valor semántico. Las teorías de propiedades escasas, en cambio, sólo admiten aquellas propiedades que resulten estrictamente requeridas para una caracterización completa del carácter cualitativo de la realidad, de acuerdo con lo que nuestra mejor ciencia empírica estime justificado sobre su estructura. Las propiedades que resulten así justificadas no estarán correlacionadas necesariamente con los predicados de nuestros lenguajes. Se puede apreciar aquí, sin embargo, que esta asociación es precipitada. Un defensor de universales escasos podría perfectamente aceptar operaciones algebraicas de universales a universales, si es que estas operaciones no sean formas de “generar” universales diferentes que estén fundando los mismos poderes causales. Si las condiciones de identidad de universales están conformadas por los poderes causales, entonces las operaciones algebraicas lo que aseguran es que todo “recorte” de poderes causales selecciona una propiedad.
Por supuesto, no toda teoría de universales escasos es compatible con el enfoque algebraico. De acuerdo con la concepción defendida por David Armstrong, por ejemplo, un universal auténtico no sólo funda poderes causales, sino que también debe fundar semejanzas objetivas entre los objetos que los instancien (cfr. 1978; 1989; 1997). Esto hace que no pueda admitirse una operación como DISJ, pues objetos que instancien REF 1 2 (DISJ (U 1 x 1, U 2 x 2)) pueden ser muy heterogéneos entre sí, si uno de ellos instancia U 1, pero no U 2, mientras que otro instancia U 2, pero no U 1. Del mismo modo, tampoco sería admisible una operación como NEG, pues objetos que instancien NEG (U) pueden ser también muy heterogéneos entre sí. Para Armstrong, además, las relaciones reflexivas no son relaciones auténticas, lo que -por lo menos- impone restricciones a la operación REF (cfr. 1978, vol. 2, pp. 91-93). Estas limitaciones provienen de la suposición de que un universal auténtico no sólo debe fundar un mismo patrón de poderes causales -cosa que, por lo demás, Armstrong rechaza (cfr. 1997, pp. 69-84)-, sino que además debe fundar semejanzas objetivas. Si se deja a un lado la segunda exigencia, sin embargo, nada obsta para la introducción de una estructura algebraica generada por las operaciones descritas, con todas sus ventajas teóricas.16
3. Operaciones como mecanismos de “construcción”
Tal como se ha indicado, un modo de comprender el álgebra de universales es como especificar la estructura interna de universales constituidos por otros universales, que sea tan fina como la que sea asignada a la sintaxis de las expresiones de un lenguaje. Las operaciones algebraicas de universales a universales tendrían la función de generar universales “complejos” que incluyen en sí otros universales más “simples” e incluso, universales que incluyen objetos particulares. Una proposición singular, por ejemplo, se ha visto como incluyendo literalmente a un objeto del que la proposición versa, así como el universal que se le está atribuyendo. La forma usual en que se han descrito estas proposiciones es como n-tuplas definidas con los recursos de teoría de conjuntos, tal como se ha indicado antes (cfr. por ejemplo, Soames 1987; 2010, pp. 50-51). De este modo, a saber, la proposición de que Sócrates es sabio sería:17
La proposición de que Sócrates no es sabio, por otra parte, sería
Nótese cómo se asume que los operadores entran como constituyentes en la proposición.18 Como las proposiciones son universales 0-ádicos, lo que vale para la conformación de proposiciones, vale para la conformación de universales. El universal conjuntivo de ser sabio y ser ateniense se identifica con:
La proposición de que Sócrates es sabio y es ateniense, por otra parte, se identifica con:
Y puede diferenciarse entre esta proposición (12) en la que se atribuye a Sócrates el universal conjuntivo de ser sabio y ser ateniense de la proposición conjuntiva que enuncia que Sócrates es sabio y Sócrates es ateniense, que vendría a ser:
La concepción de proposiciones estructuradas permite especificar, entonces, condiciones de identidad tan finas como lo puede ser la estructura sintáctica de las oraciones. Permite también explicar cómo es que una proposición singular acerca de Sócrates incluye a Sócrates como elemento y depende ontológicamente de Sócrates.19 Permite explicar cómo las condiciones de verdad de las proposiciones poseen un carácter composicional dependiendo de cuáles sean sus constituyentes y cuál sea su estructura de constitución. La concepción de proposiciones estructuradas entendida de este modo, sin embargo, adolece de un problema de base que ya resultará familiar. No hay una única estructura conjuntista con la que debería identificarse la proposición de que Sócrates es sabio. Con el mismo derecho con que se la ha identificado con el par ordenado (9), se la podría identificar con el par ordenado:
Sucede, además, que un par ordenado puede ser “codificado” en términos de teoría de conjuntos de acuerdo con la definición de Kuratowski, pero también de acuerdo con las definiciones de Wiener o Hausdorff.20 Nada hay en la naturaleza de tales construcciones por las que una de ellas debería ser preferida a las otras. No hay razones por las que, por lo tanto, pueda decirse que la proposición de que Sócrates es sabio se debe identificar con (9) más bien que con (14). Se podría sostener que (9) o (14) pueden ser buenas representaciones de tal proposición, pero la representación no es lo representado. Existe un problema adicional mucho más serio, sin embargo. Un conjunto como (9), por sí mismo, no está predicando nada de Sócrates. Nosotros hemos decidido usarlo como representación de la proposición que enuncia que Sócrates es sabio, pero esto es algo que depende de que queramos interpretar tal conjunto como enunciando tal cosa. Podríamos interpretarlo también como “codificando” la información de que Sócrates no es sabio. Podría ser un mero listado o colección formada por Sócrates y el universal de ser sabio. Una proposición ha de poseer condiciones de verdad por su misma naturaleza intrínseca y no como algo que le viene añadido externamente por una interpretación. Una proposición es, además, algo de carácter unitario que está predicando algo de algo, mientras que un conjunto no lo es (cfr. para estas críticas, Soames 2010; 2014a).21
Otras formas de concebir cómo es que una proposición o universal está “constituido” por otros universales, objetos u operaciones son mucho menos convenientes. Por ejemplo, una estructura mereológica sería sencillamente incapaz de diferenciar entre las Proposiciones (12) y (13), pues la suma mereológica es una operación conmutativa, asociativa e idempotente. Supóngase que (12) y (13) fuesen concebidas en términos mereológicos como:
Sucede que (15) y (16) son la misma suma mereológica.22 Estas dificultades han motivado en algunos filósofos el rechazo general de la idea de proposiciones estructuradas (cfr. Keller 2013, 2019; Keller y Keller 2014; Merricks 2015, pp. 121-156). Las alternativas conjuntista y mereológica no son las únicas que han sido ensayadas. Jeffrey King ha propuesto para las proposiciones una estructura fundada en la estructura sintáctica de algún lenguaje (cfr. King 2007; 2014), por lo que no podrían existir proposiciones si no existiesen lenguajes, esto es, entidades culturales históricas contingentes.23 No es posible ahora examinar todas estas alternativas con detalle.
Interesa notar aquí, sin embargo, que bajo cualquiera de estas alternativas las proposiciones estructuradas son incapaces de solventar el requerimiento que las ha motivado en un principio. Se supone que las proposiciones estructuradas -como caso límite de universales- son necesarias para poder discriminar estados intencionales que, intuitivamente, deberían tener objetos proposicionales diferentes. Como alguien podría asentir sinceramente a P, pero no a CONJ (NEG (DISJ (NEG(P), NEG(P)), NEG (DISJ (NEG(P), NEG(P))), entonces se supone que debe tratarse de proposiciones diferentes, cuya diferencia está determinada por la ocurrencia de las operaciones iteradas NEG, CONJ y DISJ. Lo que las operaciones permiten discriminar es la estructura de composición que sea impuesta sobre ciertos universales, pero no ofrecen ningún modo de discriminar diferentes formas de hacer referencia a un mismo universal. Los mismos escenarios tan discutidos acerca de cómo un hablante puede tener creencias sobre Cicerón, pero no tenerlas sobre Tulio, aunque Cicerón = Tulio, pueden ser replicadas para universales. Supóngase, en efecto, que hay un universal con la siguiente estructura algebraica:
Supóngase, sin embargo, que Pedro hace referencia al universal U 1 mediante la expresión predicativa “F”, mientras que Juan hace referencia al mismo universal con la expresión predicativa “G”. Pero F = G. Dada esta identidad, si a es F se sigue que a es G. Se sigue también que el universal de no ser conjuntamente F y U 2 = el universal de no ser conjuntamente G y U 2. Pero si Pedro no sabe que F = G, Pedro podría creer que un objeto a no es conjuntamente F y U 2, pero no creer que a no es conjuntamente G y U 2. Lo mismo vale para Juan. Se trata del mismo universal, sin embargo. Lo que explica esta diferencia doxástica no tiene que ver con la estructura del universal (17) -que es lo que permiten discriminar las operaciones algebraicas-, sino con algo que tiene que ver exclusivamente con nuestros mecanismos semánticos para hacer referencia al mismo universal.24
4. Operaciones como mapeos
Tal como se ha explicado con anterioridad, existe una segunda forma de interpretar las operaciones algebraicas de acuerdo con la cual éstas no son “componentes” de universales complejos, sino que efectúan simplemente un mapeo entre ellos. Desde esta perspectiva, lo que determinan las operaciones algebraicas es cierta estructura de nuestra representación de los universales por sus relaciones mutuas, no es la constitución de una estructura de composición de los universales representados. De este modo, por ejemplo, NEG (NEG (U)) = U, CONJ (U 1, U 2) = CONJ (U 2, U 1), CONV 2 1 (CONV 1 2 (Ux 1 x 2)) = Ux 1 x 2, etcétera. Como el universal designado por “U” y el universal designado por “NEG (NEG (U))” son el mismo, lo que está efectuando la ocurrencia iterada del operador NEG es una estructuración del modo de representar el mismo universal. Una concepción de este tipo es adecuada si es que las condiciones de identidad de los universales están determinadas por los poderes causales que fundan en sus instanciaciones. Es razonable, si se asume tal cosa, la identidad entre CONJ (U 1, U 2) y CONJ (U 2, U 1), por ejemplo, pues el orden en que vengan los dos universales U 1 y U 2 no hace una diferencia en los poderes causales que tengan sus instanciaciones.
Una vez que se adopta esta concepción, el álgebra de universales adquiere una estructura familiar. Las operaciones NEG, CONJ y REF determinan un álgebra de Boole. En efecto, la operación REF 1 2 (CONJ (U 1 x 1, U 2 x 2)) viene a ser el “producto” o “ínfimo” de los universales U 1 y U 2.25 La operación REF 1 2 (DISJ (U 1 x 1, U 2 x 2)) viene a ser la “suma” o “supremo” de los universales U 1 y U 2. Para cada universal U existe su “complemento”, que es NEG (U). Hay también un “universal nulo” que se puede designar con expresiones de la forma REF 1 2 (CONJ (Ux 1, NEG (Ux 2))), para cualquier universal U.26 De un modo análogo, existe un ‘universal máximo” que instancia necesariamente todo objeto, pues no importa qué poderes causales confiera un universal U, todo aquello que instancie U, debe también instanciar el universal máximo. Este universal se puede designar con expresiones de la forma REF 1 2 (DISJ (Ux 1, NEG (Ux 2))) para cualquier universal U.27 Por comodidad, se va a designar REF 1 2 (CONJ (U 1 x 1, U 2 x 2)) como “U 1 ⊗ U 2”, se va a designar REF 1 2 (DISJ (U 1 x 1, U 2 x 2)) como “U 1 ⊕ U 2” y se va a designar REF 1 2 (CONJ (Ux 1, NEG (Ux 2))) como “∅”. El universal máximo, por otra parte, REF 1 2 (DISJ (Ux 1, NEG (Ux 2))) se expresará como “U”. Es fácil constatar que el álgebra de universales satisface las siguientes ecuaciones. A la izquierda están las ecuaciones que satisface el producto lógico y a la derecha están las ecuaciones duales que satisface la suma lógica:
Los universales sobre los que se especifica esta estructura algebraica pueden ser ordenados parcialmente por una relación de “subordinación” o “subsunción”, tal como la descrita por el árbol de Porfirio. Se va a expresar la subordinación de U 1 a U 2 como “U 1 ≼ U 2”. Si U 1 ≼ U 2 se sigue que todo objeto -o n-tupla de objetos, según el caso- que instancie U 1 debe instanciar U 2. La subordinación del universal U 1 respecto del universal U 2 puede definirse como el hecho de que el supremo de U 1 y U 2 es U 2, esto es, U 1 ⊕ U 2 = U 2. Condiciones equivalentes son que U 1 ⊗ U 2 = U 1, NEG (U 1) ⊕ U 2 = U o U 1 ⊗ NEG (U 2) = ∅. La relación de subordinación ≼ es un orden, pues se trata de una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. Esto es:
Se trata, además, de un orden “parcial”, porque no todo par de universales están conectados por ≼. ¿Qué sucede con la estructura determinada por los restantes operadores algebraicos? Estos determinan lo que se ha denominado un “álgebra cilíndrica” (cfr. Henkin, Monk y Tarski 1971; 1985). La estructura de un álgebra cilíndrica es menos familiar que un álgebra de Boole. Tiene como característica central la introducción de un operador adicional y un elemento distinguido. No es necesario aquí entrar en los detalles de un álgebra de este tipo.28
Dado que las proposiciones son simplemente el caso límite de universales 0-ádicos, la lógica de proposiciones es también un caso límite de esta estructura algebraica. La inclusión del álgebra de proposiciones en el álgebra de universales permite una explicación muy natural de, por ejemplo, las equivalencias lógicas entre proposiciones como P ⊗ Q y Q ⊗ P. Se trataría, en efecto, de la misma proposición, por lo que no es de extrañar que posean las mismas condiciones de verdad. Este punto en el enfoque que se describe aquí contrasta también con el enfoque “constitutivo” explicado en la sección anterior. No se trata, por supuesto, de que queden comprometidas las equivalencias lógicas típicas de lógica de proposiciones. Se trata de que no pueden estar fundadas en la identidad de lo que representan dos representaciones algebraicas diferentes.
Más importante que lo anterior, sin embargo, resultan las ventajas que se derivan de esta concepción de las operaciones algebraicas como morfismos para los problemas: (a) de arbitrariedad, (b) de contenido representacional y (c) de unidad de la proposición a los que se ha hecho mención en la sección anterior.
(a) En efecto, los universales complejos construidos mediante operaciones aplicadas sobre universales simples requieren una estructura adecuada capaz de “codificar” la contribución de sus constituyentes y la posición que ocupan las operaciones. Lo usual ha sido apelar a teoría de conjuntos para efectuar esta estructuración, tal como se ha explicado. Hay una pluralidad de estructuras conjuntistas igualmente buenas para esta tarea. No hay ninguna razón por la que debería preferirse una de ellas sobre otras. Identificar a un universal complejo con una de ellas resulta arbitrario. Si se asume, sin embargo, la concepción de las operaciones como “morfismos” no hay ninguna estructura interna de los universales que deba ser “codificada”. No se requiere hacer intervenir teoría de conjuntos u otra para “prestar” estructura a los universales complejos, porque no hay tal. No hay, tampoco, riesgo de arbitrariedad al identificar a esos universales con una construcción conjuntista más bien que otra.
Una concepción así, por supuesto, tiene costos asociados. Los universales y las proposiciones, como caso límite de universal, se encuentran entre sí en relaciones inferenciales. La proposición P ⊗ Q implica P. Si algo instancia el universal U 1 ⊗ U 2, entonces debe instanciar el universal U 1. Estas relaciones inferenciales se explican fácilmente si es que, de algún modo, el universal U 1 ⊗ U 2 está “construido” a partir de U 1 y de U 2. Si se supone, en cambio, que las operaciones algebraicas sólo efectúan un “mapeo” entre universales, no se puede descansar en tal estructura interna para explicar las conexiones inferenciales, pues no hay tal.29 Por otra parte, se supone que los universales serían el contenido semántico de los predicados y las proposiciones serían el contenido semántico de las oraciones de cualquier lenguaje posible. Típicamente las expresiones de un lenguaje poseen una estructura composicional de modo que el significado de las oraciones es una función de cuáles sean sus componentes y cuál sea su forma de composición. Universales y proposiciones con estructura interna parecen fácilmente poder ser correlacionados con tales expresiones lingüísticas, pero universales y proposiciones internamente simples no. No es posible desarrollar esta cuestión aquí con toda la atención que requiere, únicamente podemos dar algunas indicaciones generales. Una perspectiva que conciba a los universales y a las proposiciones sin estructura interna debe suponer que las conexiones inferenciales están fundadas en los mapeos entre universales. Los morfismos entre universales son los que determinan que algo, por ejemplo, sea un supremo o un ínfimo de dos universales. En vez de pensar que, de algún modo, U 1 ⊗ U 2 se ha “construido” desde U 1 y U 2 -lo que fundaría que todo lo que instancia U 1 ⊗ U 2 instancia también U 1- es el hecho de que todo lo que instancia U 1 ⊗ U 2 debe instanciar U 1 y debe instanciar U 2 lo que funda que U 1 ⊗ U 2 es el ínfimo de U 1 y de U 2. Lo que estamos inclinados a denominar como “estructura interna” de universales y proposiciones es una proyección del plexo de conexiones inferenciales y de morfismos entre esos universales.
Un costo mucho mayor para esta perspectiva, sin embargo, es que no se puede pretender de ningún modo que universales y proposiciones concebidos de este modo permitan explicar los quiebres de la mutua sustituibilidad de términos co-referenciales en contextos intensionales. La concepción “constructiva” de las operaciones algebraicas, tal como se ha explicado, pretende explicar cómo es que, por ejemplo, P y CONJ (NEG (DISJ (NEG(P), NEG(P))), NEG (DISJ (NEG(P), NEG(P)))) serían proposiciones diferentes y, por lo tanto, alguien podría creer la primera y no la segunda. Si se supone, en cambio, que las operaciones algebraicas son morfismos, se trata de la misma proposición. Si alguien cree P y no cree CONJ (NEG (DISJ (NEG(P), NEG(P))), NEG (DISJ (NEG(P), NEG(P)))) está creyendo y no creyendo lo mismo. Un sujeto racional que tenga tal actitud poseería sencillamente una creencia incoherente, aunque se trate de una creencia de la que no sabe que es incoherente. No importa lo inteligente, sofisticado y concienzudo que sea un sujeto racional, con tal de que sea finito, habrá creencias incoherentes de este tipo que podrán serle atribuidas -pues para cualquier proposición que crea, existirá un equivalente algebraico suficientemente complejo que ese agente no sea capaz de computar como la misma proposición respecto de la cual no podrá atribuírsele creencia-. Se puede apreciar, entonces, que la concepción de las operaciones algebraicas como morfismos obliga a tomar opciones drásticas respecto de las actitudes “proposicionales”. O bien debe suponerse que hay incoherencias ubicuas en sujetos racionales finitos, o bien debe suponerse que no son proposiciones el objeto de estas actitudes, sino otra cosa. Nuevamente, no es posible hacer aquí un examen detenido de estos problemas, sino simplemente indicar que se trata de un campo de cuestiones que requieren opciones filosóficas y ninguna de las alternativas parece carente de costos importantes.
(b) Tal como se indicó, la concepción de las operaciones algebraicas como mecanismos de construcción de universales tiene el problema de que sólo se les puede asignar un contenido representacional mediante una interpretación, pues las estructuras conjuntistas, por sí mismas, no representan nada. De acuerdo con la concepción de las operaciones algebraicas como morfismos, en cambio, todo universal y toda proposición es internamente simple. La estructura que estamos inclinados a atribuirles está fundada en la red de morfismos que asigna a tales universales una “localización” en el “espacio” conformado por la totalidad de los universales. Cualquier propiedad universal cumple la función ontológica de fundar el carácter cualitativo y los poderes causales de sus instanciaciones. Las cosas son de la forma que son porque instancian ciertos universales mejor que otros. El conocimiento que podemos llegar a tener de un universal es, por lo tanto, el conocimiento del modo en que es que algo que lo instancie o, del modo en que algo sería si lo instanciase, aunque de hecho no lo instancie. Esto vale también para las proposiciones que son un caso límite de universal. No se requiere “interpretar” el universal para que sea aquello que determina cómo sería algo que lo instanciase.
En cambio, cuando se trata de una expresión de un lenguaje -cualquier colección de ítems que queramos usar como tal- se requiere que exista cierta forma de “codificación” asignada a los ítems de que se trate, que sea conocida por quien profiere un acto de habla en ese lenguaje y por aquel al que se dirige. Esa codificación mutuamente conocida permite que la configuración de ítems tenga un carácter representacional, esto es, permite que el conocimiento de tal configuración -como podría ser una secuencia de fonemas proferidos en un tiempo y lugar determinados por alguien- permita el conocimiento de otros hechos representados por ella. La dificultad que ofrecía la perspectiva “constructiva” de las operaciones algebraicas es que lo que terminaba presentando como significado de predicados y oraciones de un lenguaje era, finalmente, otro lenguaje conformado por una colección de ítems tan requerida de interpretación como el primero. Por contraste, un universal especifica cómo serían las cosas precisamente por ser él mismo un modo en que las cosas pueden ser. Nadie debe suponer nada acerca de qué “representa” tal universal, como si su conocimiento nos debiese llevar a conocer otra cosa. De este modo, universales internamente simples evaden el problema de la “representación” que ha afectado otras concepciones de las proposiciones por el simple hecho de que, estrictamente, no representan nada.30 Son aquello que expresiones de cualquier lenguaje posible pretende representar -entre varias otras categorías de entidades-.31
(c) No es difícil constatar, adicionalmente, que para universales que no poseen una estructura interna no se requiere una explicación de la “unidad de la proposición”, esto es, una explicación acerca de cómo es que una colección de constituyentes puede llegar a conformar por sí misma una proposición unitaria que está atribuyendo algo a algo.
5. Conclusiones
Se han presentado aquí dos alternativas radicalmente diferentes de comprender el álgebra de universales fijada por ciertas operaciones de universales a universales. El enfoque algebraico ha sido propuesto originalmente para ofrecer universales que puedan ser asignados a cualquier predicado posible, sin importar cuál sea su grado de complejidad sintáctica. Esto ha dejado abierta, sin embargo, la cuestión de cuál sea el impacto que tales operaciones efectúen para las condiciones de identidad de los universales que determinen. Una importante corriente ha comprendido las operaciones algebraicas de universales a universales como mecanismos para “constituir” universales complejos que, de algún modo, han de estar “compuestos” por otros universales y las operaciones que los dotan de estructura. Otra corriente, sin embargo, ha comprendido las operaciones algebraicas como “mapeos” o “morfismos” entre universales. Las operaciones determinan cierta estructura representacional de tales universales, pero no una estructura de los universales representados.
Conforme a la primera concepción “constructiva”, las operaciones son constituyentes de los universales que determinan. Esto hace que deban diferenciarse los universales tan finamente como sean las operaciones que los integren y su modo de integración -además de los universales “básicos” sobre los que estén operando, por supuesto-. Una concepción de este tipo parece especialmente apropiada si se pretende especificar el contenido de estados intencionales. Se han indicado dos problemas que afectan a esta concepción. En primer lugar, no es nada obvio cómo haya de ser concebida la naturaleza de estas estructuraciones de universales. Muchos han supuesto que una estructura conjuntista sería adecuada, pero tales estructuras son arbitrarias, pues no hay una única estructura conjuntista que deba ser vista como la manera de “representar” la estructura de un universal. En segundo lugar, la principal motivación de esta concepción -esto es, la especificación de los objetos de estados intencionales- no se logra al otorgar a los universales condiciones de identidad tan finas como sea su estructura algebraica. Esto todavía es insuficiente para distinguir estados intencionales intuitivamente diferentes, pero que tienen por objeto al “mismo” universal por lo que respecta a su estructura algebraica.
Conforme a la segunda concepción, en cambio, las operaciones de universales a universales son “mapeos” o “morfismos” entre universales. La estructura que configuran las operaciones es una estructura de la representación que hacemos de tales universales por sus conexiones mutuas, pero no debe verse como una forma de estructurar a tales universales intrínsecamente. Una concepción de este tipo es adecuada para la suposición de que las condiciones de identidad de los universales están determinadas por los poderes causales que se fundan en los objetos que los instancien. Las operaciones algebraicas aseguran que cualquier “recorte” de poderes causales selecciona un universal que funda exactamente tales poderes. Cuando se adopta esta perspectiva, el álgebra de universales adopta una forma muy familiar desde un punto de vista algebraico. Las operaciones NEG y CONJ permiten generar un álgebra de Boole. Las restantes operaciones, por su parte, permiten una generalización de un álgebra de Boole que ha sido conocida como un “álgebra cilíndrica”. Si se conciben los universales y las proposiciones desde esta perspectiva no se requiere explicar cómo es que una colección de constituyentes pueden conformar algo unitario, pues los universales no tienen una estructura interna que requiera ser representada de un modo u otro. El problema del contenido representacional queda también resuelto porque un universal es simplemente el modo en que las cosas son y que determina un determinado carácter cualitativo y causal.32
