1. Introducción

Durante los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática es posible observar dificultades que los estudiantes universitarios manifiestan en la lectura y escritura de expresiones simbólicas (^{Lacués Apud, 2014}; ^{Distéfano, Pochulu y Font, 2015}; ^{Bardini y Pierce, 2015}). Algunas de esas dificultades son tan elementales como el desconocimiento de algunos símbolos. Otras son de mayor complejidad como la imposibilidad de interpretar una proposición representada en

una expresión simbólica, o la de construir una expresión simbólica que esté correctamente formulada, desde el punto de vista sintáctico. En particular, los estudiantes que inician una carrera universitaria que tiene asignaturas de Matemática en su plan de estudios, revelan desconocimiento de distintos aspectos que constituyen el significado de símbolos matemáticos que son de uso habitual en las asignaturas de este nivel de enseñanza. Es posible detectar que numerosos estudiantes no están familiarizados con las prácticas matemáticas ligadas a la construcción de significado de un símbolo, lo que conduce tanto a dificultades en la lectura de materiales didácticos y bibliografía, como a errores en las producciones escritas. En Argentina, una de las posibles causas atribuibles a esta situación podría ser el hecho de que, los símbolos matemáticos que se requieren en el nivel superior, son utilizados con poca o ninguna frecuencia en la escuela secundaria, lo que provoca limitaciones y obstáculos en los estudian-tes que comienzan asignaturas de Matemática en la universidad. Si bien los símbolos constituyen una herramienta fundamental en el quehacer matemático, particularmente en los primeros años de la universidad, no suelen ser objeto directo de enseñanza, y su significado se va generando de manera subsidiaria al de otros objetos matemáticos.

Son numerosas las investigaciones y publicaciones relativas a cuestiones simbólicas focalizadas en la educación primaria o secundaria. Muchas de ellas se centran en la transición de la aritmética al álgebra (^{Hiebert, 1988}; ^{Gómez Granell, 1989}; ^{Palarea Medina, 1999}; ^{Trigueros, Ursini y Lozano, 2000}; ^{Alcalá, 2002}; ^{Socas, 2011}; ^{Ruano, Socas y Palarea, 2008}; ^{Cerdán, 2010}; ^{Rodríguez Domingo, 2015}; ^{Fernández Millán y Molina, 2016}). En otras se detallan y caracterizan diversos tipos de errores, ligados a distintos factores, tales como la diferencia entre la actividad algebraica y la actividad aritmética, el uso de las notaciones y las convenciones, el significado de letras y variables, y la manipulación de símbolos sin sentido (^{Booth, 1988}; ^{Palarea Medina, 1999}; ^{Trigueros, Ursini y Lozano, 2000}; ^{Molina González, 2006}; ^{Ruano, Socas y Palarea, 2008}; ^{Cerdán, 2010}; Rodríguez Domingo y Molina, 2013; ^{Herrera López, Cuesta Borges y Escalante Vega, 2016}).

^{Bardini y Pierce (2015)} analizan el uso de los símbolos en la transición entre la escuela secundaria y la universidad, y destacan las dificultades que las dife-rencias entre ambos niveles provocan en los estudiantes, en relación con los aspectos simbólicos. Situados en el nivel universitario se encuentran los trabajos de ^{Camós y Rodríguez (2009}) y de ^{Colombano, Formica y Camós (2012)}, que analizan las problemáticas originadas en la falta de atención que los docentes le otorgan al uso simultáneo del registro del lenguaje natural y del registro simbólico, al enseñar los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad. También centrado en temáticas del Cálculo, ^{Güçler (2014)} presenta un estudio sobre el simbolismo ligado a la noción de límite en estudiantes universitarios que toman el curso, provenientes de distintas carreras. Muestra un paralelismo entre el discurso coloquial del docente y sus formulaciones escritas en la pizarra, así como también comparaciones entre lo que algunos estudiantes declaran y lo que efectivamente escriben. Concluye que es importante no dar por sentado el poder comunicativo de los símbolos y advierte que, si no se atiende a los diferentes significados matemáticos que pueden generarse a partir del mismo símbolo, se podrían generar dificultades de comunicación en el aula.

Como parte del estudio de la complejidad cognitiva que presentan algunas tareas con expresiones simbólicas, ^{Distéfano, Pochulu y Font (2015)} identifican categorías en los tipos de respuestas que formulan estudiantes universitarios ante dichas tareas y describen algunos errores frecuentes vinculados a cuestiones simbólicas.

Las publicaciones de ^{Distéfano, Urquijo y González (2010)} y de ^{Lacués Apud (2011}, ²⁰¹⁴⁾ se focalizan en experiencias de enseñanza para mejorar las habilidades en el registro simbólico-algebraico con estudiantes de nivel universitario. Reportan un impacto positivo de distintas intervenciones educativas para favorecer el manejo de expresiones simbólicas, concluyendo que es posible promover una mayor competencia en los estudiantes en la utilización de símbolos mate-máticos. Es por esto que resulta de interés estudiar el proceso de construcción de significado de los símbolos matemáticos, con el propósito de favorecer los procesos de significación y simbolización en la clase, cuando ello se estableciera como un propósito de enseñanza del docente.

En este trabajo se presentan algunos resultados de una investigación centrada en la descripción de los procesos de significación y simbolización, tomando la concepción pragmática de significado que adopta el Enfoque Ontosemiótico que propone ^{Godino, Batanero y Font (2009}). A partir de la identificación de algunas prácticas matemáticas vinculadas a la construcción de significado de algunos símbolos, se describe una secuenciación de su manifestación. Esta secuenciación podría resultar el punto de partida para el diseño de una intervención didáctica destinada a la enseñanza de los símbolos, como una manera de favorecer la construcción de su significado en los estudiantes.

2. Marco Teórico

Los lineamientos teóricos que han sido fundamento de la investigación que da origen a este artículo provienen del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS), de Godino, Batanero y Font (2008).

En este enfoque, se considera una práctica matemática a “toda actuación o expresión (verbal, gráfica, etc.) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y problemas” (^{Godino, Batanero y Font, 2009, p.4}). Este concepto da origen a la noción de significado que se aborda en este enfoque. El significado de un objeto matemático se define como “el sistema de prácticas operativas y discursivas para resolver un cierto tipo de problemas” (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007, p.7).

En este contexto, el aprendizaje supone la apropiación por parte del estudiante de los significados validados en el seno de una institución, mediante su participación en las comunidades de prácticas (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007; ^{Godino, Batanero y Font, 2009}). Por lo tanto, se torna relevante el proceso mediante el cual un sujeto crea un significado, vinculando una expresión con un contenido a través de una función semiótica. Las funciones semióticas son “entendidas como una relación entre un antecedente (expresión, significante) y un consecuente (contenido, significado) establecida por un sujeto (persona o institución) de acuerdo con un cierto criterio o código de correspondencia” (^{Godino, Batanero y Font, 2009, p.8}).

El EOS considera que objeto matemático “es cualquier entidad o cosa a la cual nos referimos, o de la cual hablamos, sea real, imaginaria o de cualquier otro tipo, que interviene de algún modo en la actividad matemática” (^{Godino, Batanero y Font, 2009, p.4}). Por consiguiente, en este contexto, es posible considerar a los símbolos matemáticos como un objeto. Particularmente, pueden encuadrarse en una de las categorías de los denominados objetos primarios: los elementos lingüísticos. El enfoque distingue seis tipos de objetos primarios, u objetos de primer orden: situaciones-problemas, elementos lingüísticos, conceptos o definiciones, propiedades, proposiciones y argumentos (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007). Los distintos objetos no resultan aislados entre sí, sino que se vinculan a través de las funciones semióticas construidas entre ellos, dado que pueden ejercer el rol de antecedente o de consecuente de las mismas (^{Godino, Batanero y Font, 2009}).

3. Metodología

La investigación que dio origen a los resultados presentados en este artículo es de tipo cuali-cuantitativa. Para llevarla a cabo se seleccionaron algunos símbolos de uso habitual en asignaturas de Matemática en el nivel universitario. El primero de los criterios utilizados para efectuar tal selección fue la frecuencia de uso en los materiales didácticos y en la bibliografía. El segundo criterio estuvo determinado por la categoría a la que pertenecen en el universo de los símbolos matemáticos. Se optó por símbolos que no tienen uso fuera del ámbito matemático y que fueron creados exclusivamente para representar ideas matemáticas. A este tipo de símbolos ^{Pimm (1990)} los denomina logogramas y ^{Socas (2010)} los define como signos artificiales. Esta característica de uso conduce a que la construcción de su significado se realice, casi exclusivamente, en el contexto de las clases de Matemática. Los símbolos elegidos para ser estudiados son: ∈, ⊂, ∧, ∨, ∀ y ∃.

En las siguientes subsecciones se describen los aspectos metodológicos centrales de la investigación.

3.2. Funciones semióticas definidas

Como componentes del significado, las prácticas matemáticas conducen a asociaciones de objetos.

La primera de las prácticas anteriores implica la asociación del grafismo del símbolo con el vocablo de la lengua natural que lo identifica. Las prácticas ligadas a la estructura formal de una expresión simbólica en la que aparece determinado símbolo, requieren la asociación del símbolo con la estructura sintáctica vinculada al uso de dicho símbolo. Las prácticas vinculadas con la comprensión del contenido semántico de una expresión simbólica implican, por un lado, asociar la proposición simbólica con su valor de verdad, y por otro, asociar la expresión simbólica y una expresión coloquial equivalente.

Estas asociaciones pueden representarse a través de funciones semióticas, que vinculan los distintos objetos involucrados en las prácticas matemáticas descritas. Se definieron tres funciones semióticas, a las que se denominó principales:

• F1: relaciona el símbolo con el vocablo de su denominación.

• F2: relaciona el vocablo/símbolo con la estructura sintáctica de la expresión que lo contiene.

• F3: relaciona la proposición en la que está presente el símbolo, con su valor de verdad, el cual depende también de los significados de los operandos involucrados.

Las funciones semióticas definidas, de acuerdo a los elementos que vinculan y a las prácticas matemáticas implicadas, pueden clasificarse como: nominal (F1), sintáctica (F2) y semántica (F3).

En la figura 1 se representan estas funciones semióticas principales, detallando en cada caso el antecedente y el consecuente.

Figura 1 Funciones semióticas principales ligadas a la construcción de significado de un símbolo. 

Para analizar las trasformaciones de expresiones entre el registro de la lengua natural o coloquial y el registro simbólico-algebraico se definieron funciones semióticas específicas. Se les denominó:

• F_cs: correspondiente a las conversiones del registro coloquial al simbólico.

• F_sc: correspondiente a las conversiones del registro simbólico al coloquial.

• F_t: correspondiente al tratamiento, que debe efectuarse en el registro coloquial, la cual es interna a dicho registro.

Estas funciones semióticas se representan en la figura 2, detallando su antecedente y su consecuente.

Figura 2 Funciones semióticas relativas a las conversiones y tratamientos 

Las funciones semióticas definidas tuvieron incidencia en el diseño del instrumento construido para la recolección de datos y constituyeron una potente herramienta para el análisis.

4. Resultados

A partir de los pasos descritos en la sección anterior, se determinaron las funciones semióticas que se manifiestan como construidas por 70% de los estudiantes de cada grupo. En las tablas 3 a 8 se representan los datos obtenidos marcando con un fondo gris aquellas funciones manifestadas por, al menos, 70% del grupo.

Por ejemplo, en la tabla 3, correspondiente a los datos del símbolo de pertenencia, puede observarse que la primera fila corresponde al grupo 1. Para este grupo, puede leerse que 70%, o más, de los estudiantes de este grupo manifestaron la función F1y la función F2 evaluada, en tanto que las restantes funciones no se manifestaron como logradas por un porcentaje relevante de estudiantes.

En la segunda fila, correspondiente al grupo 2, las cuatro primeras funciones semióticas consideradas aparecen manifestadas en 70% de los estudiantes o más. Debe observarse que en este grupo la manifestación de la función semiótica evaluada en los ítems codificados como F2-Ejem y F3-Ejem, aparecen por primera vez, manifestados por 70% o más de los estudiantes.

En la fila del grupo 3 aparece en color gris por primera vez la función semiótica que corresponde a uno de los ítems del Ejercicio 2 considerado como difícil (F2-Dif1). Finalmente, en la última fila, que corresponde al grupo de estudiantes que obtuvo la máxima proporción de funciones semióticas consideradas para este símbolo, se observa que la totalidad de las mismas aparecen manifestadas.

De manera análoga pueden interpretarse las Tablas 4 a 8 correspondientes a los restantes símbolos estudiados.

La observación de las tablas anteriores permitió realizar, para cada uno de los símbolos, una descripción de las funciones logradas en cada grupo de cada partición y su diferenciación respecto del grupo siguiente. Esto generó un nuevo interrogante: ¿Existe algún orden o secuencia de aparición de cada función semiótica para cada uno de los símbolos en estudio? Con el objetivo de responder a esta pregunta, se volcaron todos los resultados en una misma tabla, tabla 9, para comparar y analizar si se repite la secuencia de aparición, buscando algún posible patrón en la manifestación de las funciones semióticas de todos los símbolos en estudio.

La tabla 9 permite efectuar una observación conjunta sobre todos los símbolos a la vez, en busca de algún patrón o similitud en la secuencia de aparición de las funciones semióticas analizadas. Al cotejar las columnas puede decirse que, en principio, no hay una secuencia idéntica entre las funciones de cada uno de los seis símbolos estudiados. Sin embargo, hay una semejanza en el orden en que se manifiestan las funciones semióticas que permite entrever cierta secuenciación, como se detalla a continuación:

Para todos los símbolos, se observa que esta función aparece manifiesta en grupos posteriores a aquellos en los que se evidenció la función de conversión en el sentido inverso (F_sc). Es conocido que las conversiones entre los mismos registros semióticos suelen implicar distinto nivel de dificultad según el registro de partida y de llegada (^{Duval, 2006}). En este caso particular, la aparición de esta función en grupos posteriores a los de la conversión en sentido inverso se presenta como de mayor dificultad. La razón a la cual puede adjudicarse que resulte más difícil para los estudiantes podría ser que, en este sentido de conversión (del registro coloquial al simbólico), interviene la sintaxis correspondiente a los símbolos involucrados en la expresión.

También se advierte que esta función semiótica se observa como establecida en grupos anteriores a los que se manifiesta la función correspondiente a la sintaxis en una expresión propuesta por el estudiante (F2-Ejem). Esto podría deberse al hecho de que la oración coloquial dada, que debe convertir a una expresión simbólica, resulta una guía para el estudiante y, en cierta manera, le está mencionando los elementos u objetos que deben integrar la expresión simbólica. Si el alumno tiene construida la función semiótica correspondiente a la sintaxis de esos símbolos, podrá efectuar la conversión, sin la necesidad de tomar la decisión de seleccionar una situación en la que sea pertinente utilizar el símbolo, como sucede en el caso de la formulación de un ejemplo.

5. Conclusiones

Del análisis realizado a partir de los datos recolectados, se observó cierta secuenciación en la manifestación de las funciones semióticas que intervienen en las tareas propuestas en los distintos ejercicios del instrumento. Esa especie de orden se presenta, con cierta similitud, para todos los símbolos estudiados, lo que condujo a pensar que podría representar un orden en el establecimiento de las funciones semióticas que intervienen en el proceso de construcción de significado de símbolos matemáticos. Dicha secuenciación u orden constituye una caracterización en el proceso de significación de estos símbolos. En términos de las tareas que se realizan, la secuencia observada puede formularse así:

Esta secuenciación permite observar, de manera desagregada, el proceso de construcción de significado de símbolos matemáticos, en estudiantes universitarios. Su aporte puede resultar una guía para el diseño de una posible intervención didáctica destinada a que los estudiantes desarrollen sus habilidades en relación a las distintas prácticas matemáticas que están vinculadas a los símbolos que se utilizan en la asignatura. Las tareas que se propongan a los estudiantes en esa posible intervención pueden ser diseñadas tomando como base los ejercicios que constituyen el instrumento (ver Anexo) con el que se recolectaron los datos para esta investigación, sumadas a cualquier otro tipo de tareas que pongan en juego las prácticas matemáticas identificadas como parte del significado de un símbolo matemático. Los antecedentes en la literatura afirman que destinar un tiempo, aunque sea breve, a la formación en el manejo de símbolos, tiene un resultado exitoso (^{Distéfano, Urquijo y González, 2010}; ^{Lacués Apud, 2011}, ²⁰¹⁴). Favorecer en los estudiantes el desarrollo de las prácticas matemáticas que están asociadas a la construcción de significado de los símbolos, puede darles una herramienta básica para desempeñarse satisfactoriamente en tareas de lectura y escritura de expresiones simbólicas.