Introducción

^{Pollak (2012)} consideró que los matemáticos suelen dividir el universo entre las matemáticas y el resto del mundo. La verdad es que las matemáticas son necesarias para entender una situación en el mundo real, y luego, tal vez, para actuar o, incluso, pronosticar el futuro. No importa si el problema es importante o no, el mundo real y las matemáticas tienen que ser tomadas en serio. La relación entre matemáticas y el mundo real suele ser la misma. La situación en el mundo real es tan diversa y compleja que no es posible tomar todo en consideración, por lo que es necesario simplificar y decidir qué aspectos son más importantes; ello significa una versión idealizada de una situación en el mundo real. Cuando un sistema puede traducirse en términos matemáticos, todo este proceso se denomina modelado matemático (^{Pollak, 2012}).

^{Eykhoff (1974)} consideró que un modelo matemático es la representación de los aspectos más importantes de un sistema, con suficiente conocimiento de ese sistema en forma utilizable. Por lo tanto, el modelado es una actividad que representa cómo los sistemas, los objetos o incluso la naturaleza se comportan bajo algunos supuestos teóricos. Tales sistemas se pueden describir mediante palabras, dibujos, bocetos, modelos físicos, programas informáticos o fórmulas matemáticas, y por tanto la actividad de modelado se puede hacer en varios idiomas, por lo general de modo simultáneo. Aquí nos enfocamos en el lenguaje físico y matemático para construir modelos (^{Quarteroni, 2009}). La figura 1 muestra una versión simplificada del proceso de modelado desde el planteamiento de un problema hasta su solución aplicando el método científico (^{Dym & Ivey, 1980}).

Figura 1 Versión simplificada del proceso de modelado desde el planteamiento del problema hasta la solución, aplicando el método científico (^{Dym & Ivey, 1980}). 

Por otro lado, ^{Pollak (2012)} aclaró la diferencia entre el modelado matemático y la resolución de problemas. La solución de problemas no puede referirse al mundo exterior en absoluto. Incluso cuando lo hace, la solución de problemas por lo general comienza con la situación idealizada en el mundo real en el lenguaje matemático, y terminar con una solución matemática o resultado. El modelado matemático, por otro lado, comienza con un sistema y requiere la formulación de hipótesis antes de resolver los problemas; una vez que el problema se resuelve, regresa al sistema, donde los resultados se consideran en su contexto original (^{Pollak, 2012}).

Para ^{Quarteroni (2009)}, el objetivo del modelo matemático es describir los diferentes aspectos de un sistema en el mundo real siguiendo el método científico (figura 2), considerando la interacción entre observaciones, fenómenos, predicciones y su dinámica a través de la matemática.

Figura 2 Interacción entre observaciones, fenómeno, predicciones, y sus dinámicas a través de las matemáticas (^{Carson & Cobelli, 2001}). 

Para ^{Carson y Cobelli (2001)}, las preguntas necesarias para la creación exitosa de un modelo son las siguientes: ¿por qué?, identificar la necesidad del modelo; ¿encontrar?, hacer una lista de los datos que estamos buscando; ¿es conocido?, identificar los datos relevantes disponibles; ¿se puede asumir?, identificar las circunstancias que se aplican; ¿cómo?, identificar los principios físicos que gobiernan el modelo; ¿se puede predecir?, identificar las ecuaciones que se utilizarán, los cálculos que se harán y las respuestas que resultarán; ¿es válido?, identificar las pruebas que se pueden hacer para validar el modelo, y si los resultados son consistentes con sus principios y suposiciones; ¿se puede verificar?, identificar las pruebas que se pueden hacer para verificar el modelo.

Los modelos matemáticos (^{Quarteroni, 2009}) también ofrecen nuevas posibilidades para manejar el aumento de la complejidad de la tecnología, que es la base de la producción industrial moderna debido a que los modelos pueden ahorrar tiempo y dinero en las fases de desarrollo y validación, además de que los modelos pueden explorar nuevas soluciones en un periodo muy corto.

Los modelos se pueden distinguir sobre la base de la razón de su aplicación; puede ser dinámico si tiene cambios con el tiempo o estático si no lo hace. Los modelos pueden variar de la política analítica a los modelos de investigación científica; los modelos operativos para el control en tiempo real de las estructuras; los modelos de calamidad, y también en el campo de la superposición de estudios. Pero un modelo matemático debe ser capaz de abordar conceptos científicos universales y es necesario definir qué nivel de detalle debe ser introducido en las diferentes partes de un modelo (^{Quarteroni, 2009}).

La hidrología fue definida por ^{Penman (1961)}, como la ciencia que intenta responder a la pregunta: ¿qué sucede con la lluvia? Ésta podría ser una pregunta sencilla, pero la experiencia ha demostrado que las descripciones cuantitativas de la fase terrestre del ciclo hidrológico son muy complicadas y tienen mucha incertidumbre. Un paso adelante para responder esta pregunta es la simplificación del sistema hidrológico, no sólo lo que sucede con la lluvia en general, sino lo que ocurre con la lluvia en una cuenca. Como dice ^{Zin (2002)}, las teorías reales de las cuencas hidrográficas no pueden generalizarse para todos los procesos y sus interacciones debido a la heterogeneidad espacial y temporal de las cuencas hidrográficas.

La hidrología de las cuencas hidrográficas se define como la rama de la hidrología que trabaja con los procesos hidrológicos en la escala de la cuenca para determinar y comprender las leyes que rigen la cuenca (^{Singh & Woolhiser, 2002}). Una cuenca puede ser tan pequeña como un patio trasero o grande con cientos de miles de kilómetros cuadrados; por lo tanto, los procesos hidrológicos y su no uniformidad espacial son definidos por el clima, topografía, geología, suelos, vegetación y uso de la tierra, y todos ellos están relacionados con el tamaño de la cuenca (^{Singh & Woolhiser, 2002}). Debido a la complejidad y gran variabilidad de las cuencas hidrográficas, no pueden ser descritos y estudiados de forma global; por lo tanto, el modelado es necesario para analizar y predecir su dinámica (^{Zin, 2002}).

Los modelos de cuencas hidrográficas son fundamentales para la evaluación, desarrollo, gestión, planificación, diseño y operación de los recursos hídricos, para conservar el agua y los recursos del suelo, y para proteger su calidad y comprender las interacciones dinámicas entre el clima y la hidrología terrestre, la capa de nieve, la capa activa de permafrost, etcétera, que son muy sensibles al límite inferior del sistema atmosférico (^{Singh & Woolhiser, 2002}). También se utilizan para analizar la cantidad y calidad del flujo, las operaciones del sistema de embalses, el desarrollo del agua subterránea y la protección del medio ambiente, el manejo de aguas superficiales y subterráneas, los sistemas de distribución de agua (^{Wurbs, 1998}) y cuantificar los impactos de las estrategias de manejo de cuencas (^{Rudra et al., 1999}); para la protección del medio ambiente y de los recursos hídricos, y la integración de esta cuenca con modelos de hábitat físico, poblaciones biológicas y respuesta económica (^{Singh & Woolhiser, 2002}; ^{Hickey & Diaz, 1999}).

Los modelos matemáticos para la hidrología de las cuencas están diseñados para responder a la pregunta de Penman en un nivel de detalle dependiendo del problema y se emplean en un amplio campo de trabajo, desde el manejo de cuencas hidrográficas y la protección ambiental hasta el diseño de ingeniería. En la escala de campo, los modelos se usan para propósitos variados, como planificar y diseñar prácticas de conservación de suelos, manejo del agua de riego, restauración de humedales, restauración de ríos y manejo del agua subterránea. A gran escala, se utilizan modelos de simulación para proyectos de protección contra inundaciones, rehabilitación de presas envejecidas, gestión de llanuras de inundación, evaluación de la calidad del agua y previsión del abastecimiento de agua (^{Singh & Woolhiser, 2002}), aunque no existe una solución simple o universal a todos los problemas de modelado y simulación como ^{Van Waveren et al. (2000)} han llamado a la atención.

La opinión de ^{Klemes (1986)} es que en la etapa actual de las ciencias hidrológicas el modelado hidrológico es más creíble cuando no pretende ser demasiado sofisticado e inclusivo, y se limita a aquellas situaciones simples, cuya física es relativamente bien entendida. Para ^{Kirchner (2006)}, el avance de la ciencia de la hidrología requerirá nuevas mediciones hidrológicas, nuevos métodos de análisis de datos hidrológicos y nuevos enfoques para modelar sistemas hidrológicos en lugar de modelos con un gran número de parámetros. Además de ^{Kirchner (2006)}, otros como ^{Klemes (1986}, 1988), Grayson et al. (1992), y Beven (2002) también lo hicieron antes.

En el estudio de la hidrología, en opinión de ^{Kirchner (2006)}, algunas orientaciones prometedoras en materia de investigación incluyen: (1) el diseño de nuevas redes de datos, observaciones de campo y experimentos de campo, reconociendo la heterogeneidad espacio-temporal de los procesos hidrológicos; (2) métodos de análisis que sean más compatibles con el carácter no lineal y no aditivo de los sistemas hidrológicos; (3) desarrollo de ecuaciones de base física para los procesos hidrológicos a escala y comprensión de que podrían parecer diferentes de las ecuaciones que describen la escala pequeña; (4) desarrollo de modelos mínimamente parametrizados; (5) desarrollo de maneras de probar los modelos de manera más completa e incisiva (^{Kirchner, 2006}).

Un tipo de modelos matemáticos son los modelos de caja-negra (^{Brooks et al., 1991}), los cuales se basan únicamente en relaciones empíricas entre una o más entradas y salidas. Los procesos internos en el sistema que se está modelando son desconocidos y no representados en la forma de un enfoque de conservación de la masa, el impulso o la energía. Típicamente, las relaciones de entrada-salida se basan en estadísticas, como una ecuación de regresión. Con frecuencia, las constantes de regresión se dan como coeficientes con poca o ninguna información con respecto a la variabilidad. Ejemplos en el campo de la hidrología incluyen la ecuación racional y el hidrograma unitario (^{Brooks et al., 1991}). Otro tipo de modelos matemáticos comúnmente utilizados en la ciencia y la ingeniería es el modelo físico o basado en el proceso. En este tipo de modelos, las relaciones subyacentes entre las entradas, almacenes y salidas se representan a través de la física y los principios básicos de conservación de la masa, el impulso y/o la energía y pueden clasificarse de la siguiente manera (^{Sjöberg et al., 1995}):

Para los modelos caja-negra (^{Sjöberg et al., 1995}), el área es bastante diversa y cubre temas de la teoría de la aproximación matemática, a través de la teoría de la estimación y regresión no paramétrica, a algoritmos y conceptos actualmente muy discutidos como redes neuronales, wavelets y fuzzy modelos. Existen importantes vínculos con los enfoques estadísticos clásicos en la regresión no paramétrica y la estimación de la densidad, con métodos de núcleo y técnicas de vecindad más cercanas (Kung, 1993; Haykin, 1994); modelos difusos (Brown & Harris; 1994; Wang, 1994); regresión no paramétrica y estimación de la densidad (Stone, 1982; Silverman, 1986; Devroye & Gyorfi, 1985), y técnicas de multirresolución (Meyer, 1990; Daubechies, 1992; Ruskai et al., 1992).

El problema clave en la identificación del sistema para el modelado caja-negra es encontrar una estructura del modelo dentro de la cual se encuentre un buen modelo. La adaptación de un modelo mediante la estimación de parámetros no es difícil en la mayoría de los casos. Una regla básica en la estimación no es estimar lo que ya se sabe. En otras palabras, se debe utilizar el conocimiento previo y el conocimiento físico sobre el sistema al seleccionar la estructura del modelo.

Para ^{Sjöberg et al. (1995)}, el problema que estamos abordando en esta investigación relacionada con la aplicación de un modelo de caja-negra en hidrología es cómo inferir las relaciones entre los datos de insumo-producto pasados y los resultados actuales-futuros de un sistema cuando hay muy poco conocimiento a priori disponible; esto se conoce como modelado de caja-negra. Existe una teoría rica y bien establecida para el modelado de caja-negra de sistemas lineales (Ljung, 1987; Sderstrom & Stoica, 1989). No fue sino hasta los últimos años que el modelado y la identificación de sistemas no lineales fueron de gran interés entre la comunidad de control. Hasta ahora, casi toda la atención se ha concentrado en una sola estructura de redes neuronales. Sin embargo, el modelado no lineal se ha estudiado durante mucho tiempo en la comunidad de estadísticas, donde se le conoce bajo la etiqueta de regresión no paramétrica (^{Sjöberg et al., 1995}).

La tarea que los modelos lineales caja-negra tienen es describir la respuesta de frecuencia de sistemas o respuesta de impulso, sólo un mapeo del número de entradas y salidas, pero la situación no lineal de caja-negra es mucho más difícil. La razón principal es que no se excluye nada, y se debe manejar un espectro muy rico de posibles descripciones de modelos. En este documento vamos a discutir las posibilidades y limitaciones de la caja-negra en hidrología (^{Sjöberg et al., 1995}).

Este artículo describe los conceptos y las limitaciones de un modelo de caja-negra en comparación con un modelo basado en procesos. El ejercicio comienza con una caja-negra física; se añaden cantidades de agua conocidas al cilindro vertical en la parte superior de la caja, mientras que las salidas se miden desde el surtidor en un extremo; los dos parámetros de entrada y salida se relacionan estadísticamente. Una vez que los resultados de la caja-negra se han completado, la parte superior se retira de la caja para revelar la estructura interna y los procesos físicos involucrados en el sistema. A continuación, se construye un modelo basado en procesos que incluye la física del flujo basado en el tamaño y la forma de los diferentes almacenes y flujos de flujo, utilizando el software Stella® (Sistemas de Pensamiento, Laboratorio Experimental de Aprendizaje, con Animación) para replicar el modelo Black Box y desarrollar un modelo dinámico para predecir las salidas de flujos dados. Esto ayudará a los estudiantes a entender algunas de las limitaciones y usos de los modelos matemáticos y caja-negra, y entender algunas leyes básicas hidrológicas.

Métodos

Modelo de caja-negra

Por definición, un modelo de caja-negra es una representación matemática de un sistema ajustado sin tener en cuenta los procesos. Las características de dicho dispositivo por lo general se desarrollan a partir de la observación de los insumos/productos, y no se identifican o simulan los procesos involucrados, por lo general se basan en estadísticas, como regresión; en hidrología, la precipitación es entrada, y escorrentía o descarga es salida; como ejemplos podemos incluir la ecuación racional y el hidrograma unitario.

La caja-negra utilizada para este experimento (figura 3) tiene un cilindro de entrada vertical por encima de la caja-negra, que representa una sección vertical del suelo sobre la cual la precipitación podría caer como se muestra en la figura 3a. La figura 3b muestra una espiga horizontal, con una altura invertida de 7.5 cm, que permite se produzca escurrimiento a un segundo almacenamiento una vez que el cilindro esté lleno hasta esa altura. Este segundo almacenamiento representa un estanque temporal, lago o humedal con una salida controlada del sistema a través de una presa V. El agua también puede salir del segundo almacenamiento como flujo vertical a través de un pequeño tubo metálico hasta un tercer contenedor cerrado que representa un acuífero de aguas subterráneas. En este modelo no hay descarga de agua subterránea, sin embargo, se podría añadir con facilidad. Hay una descarga lenta directamente desde el cilindro de suelo simulado hasta el almacenamiento de agua subterránea a través de un pequeño tubo con una abrazadera para controlar la tasa de filtración desde el suelo; todo este sistema está representado por la figura 3b. La porosidad del suelo y/o la capacidad de infiltración se pueden cambiar añadiendo materiales como mármoles con alta o capacidad de infiltración o pequeñas cuentas de vidrio con baja o capacidad de infiltración. La figura 3c muestra la aplicación de una simulación caja-negra, arrojando agua sobre el cilindro vertical como representación de la precipitación.

Figura 3 Fotos del modelo hidrológico de caja-negra: a) vista externa de la caja-negra; b) componente interno del modelo con tres reservorios y conectores de flujo con el suelo y el agua subterránea y un acuífero, y c) aplicación de la caja-negra, tirando agua sobre el cilindro vertical. 

Modelo en el software Stella®

El software Stella® de ^{ISEE Systems Inc. (2003)} es un software de simulación dinámica basado en iconos, que permite al usuario construir modelos dinámicos conectando componentes en un diagrama basado en sus conceptos e ideas de cómo funciona un sistema. Las ecuaciones que describen la conservación de la masa, la energía o el momento se desarrollan automáticamente dentro de Stella®, ya que los iconos para los flujos y los almacenes están conectados en el escritorio. Un usuario con habilidades limitadas de programación puede, por lo tanto, fácilmente construir y ejecutar un modelo, y explorar la influencia de entradas variadas y valores de parámetros en las salidas. El software basado en iconos tiene cajas llamadas existencias, y son los almacenes de masa o energía para un alcance dado de un arroyo; flechas grandes con válvulas representan flujos de masa o energía dentro o fuera del stock, y las pequeñas flechas delgadas son conectores que indican la dependencia de un componente en relación con otro (Ford, 2000). La conservación de la masa es mantenida automáticamente por el software Stella® basado en el diagrama de flujo creado. Las matemáticas de las leyes de equilibrio y conservación son sencillas a este nivel de abstracción y la solución a las ecuaciones diferenciales subyacentes son resueltas por técnicas de diferencias finitas detrás de las escenas con salidas en forma de tablas y gráficos (Ford, 2000).

La figura 4 ilustra el diagrama de Stella® para la caja-negra hidrológica física. Los rectángulos son existencias que representan los tres diferentes almacenes en un instante dado de tiempo. Los iconos de tubería y válvula se utilizan para representar los flujos dentro o fuera de los almacenes. Sus unidades son el volumen por tiempo. Los círculos son convertidores, que dan valores de parámetros o relaciones entre otros componentes del sistema en forma de ecuaciones o gráficas. Las flechas son conectores que el programa usa para vincular los componentes. Las funciones incorporadas están fácilmente disponibles y las declaraciones condicionales se incorporan de manera sencilla.

Figura 4 Modelo hidrológico de caja-negra, ilustrando el diagrama del modelo en el software Stella®. 

Las ecuaciones de referencia para representar el modelo caja-negra utilizando el software Stella® son las ecuaciones hidráulicas estándar (^{Chow, 1964}) para el tamaño y la forma de las diferentes tuberías, almacenes y flujos de transporte.

Velocidad:

v=qA (1)

Donde:

v	Velocidad promedio (cm/s)
q	Descarga (cm3/s)
A	Área superficial (cm2)

Numero de Reynolds:

Re=4*Vk*Rv (2)

Donde:

Re	Número de Reynolds (-)
v	Velocidad promedio (cm/s)
Vk	Velocidad cinemática (cm2/s)
R	Radio hidráulico (cm)

Ecuacion de energía:

p1γ+z1+v122*g+Hg=p2γ+z2+v222*g+Hl (3)

Donde:

p	Presión (Kg/cm2)
γ	Peso específico (Kg/cm3)
z	Elevación (cm)
v	Velocidad del fluido (cm/s)
g	Acelaración de la gravedad (cm/s2)
Hg	Altura ganada (cm)
Hl	Pérdida de carga (cm)

Reservorio con salida V:

q=815*2*g*tnθH232(4)

Donde:

q	Descarga (cm3/s)
θ	Ángulo (grados)
C	Coeficiente de descarga (-)
H	Altura (cm)
R	Radio hidráulico (cm)

El modelo fue calibrado para determinar los mejores valores de coeficientes (p. ej., los coeficientes de orificio y el factor de fricción) para utilizar en el modelo (cuadro 1). Este paso de evaluación de parámetros es una necesidad en todos los modelos matemáticos e ilustra el valor en las mediciones de acoplamiento del sistema físico con modelado matemático.

Cuadro 1 Parámetros del modelo de caja-negra hidrológica aplicado con Stella®. 

Nombre	Unidades	Valor
Diámetro del cilindro de entrada	cm	6.25
Elevación de la salida	cm	10
Diámetro de la tubería	cm	2.54
Coeficiente del orificio	-	0.8
Diámetro de la base	cm	10
Ángulo de salida del embalse	grados	90
Elevación invertida	cm	2
Factor del tubo de drenaje	-	0.1
Diámetro del tubo de drenaje	cm	0.5
Largo del tubo de drenaje	cm	50
Diámetro del tubo de drenaje	cm	1.25
Profundidad de la tubería	cm	5
Diámetro de la sub-base	cm	12.5
Prosidad del suelo	Porcentaje	0.05
Número de Reynolds	-	1603

Resultados y discusión

Se aplicaron tres tormentas simuladas a la caja-negra (cuadro 2) de 75, 40 y 30 cm³/s, separadas por intervalos cortos; las salidas de las tres tormentas fueron de 2, 10 y 11 cm³/s, respectivamente.

Se agregaron dos tormentas más de 20 y 50 cm³/s separadas por intervalos cortos; las salidas de las dos tormentas fueron de 19 y 45 cm³/s, respectivamente (cuadro 3).

La figura 5 muestra los resultados del modelo Stella® en forma de tasas de flujo de entrada versus flujo de salida de la escotadura en V.

Figura 5 Resultados de las entradas y salidas de caudales con el modelo usando el software Stella®. 

La figura 6 muestra los resultados del modelo Stella® en forma de tasas de flujo de entrada frente a salida (figura 6a), y la adición de dos tormentas más de 20 y 50 cm³/s, con salidas de 19 y 45 cm³/s, respectivamente (figura 6b).

Figura 6 Resultados de la tormenta aplicada al modelo de caja-negra: a) para las tres tormentas iniciales y b) para las cinco tormentas en total. 

El buen ajuste entre el flujo de entrada y el flujo de salida se muestra por el cuadrado-R alto de 0.89 si los volúmenes totales de flujo de entrada versus el volumen total de los valores de salida predichos por el modelo son similares a los valores medidos para las diferentes tormentas. Sin embargo, el análisis crítico de la relación revela un error lógico. El flujo de salida disminuye a medida que aumenta la entrada, en contraste con la relación lógica establecida. La adquisición de datos adicionales mediante la aplicación de más tormentas revela que los tres puntos iniciales, aunque física y empíricamente correctos, sólo representan una pequeña parte de las relaciones complejas entre flujo de entrada y salida. Está claro que el modelo caja-negra no puede predecir con precisión las relaciones flujo-entrada sin muchos más datos, incluyendo parámetros adicionales, como las condiciones iniciales al inicio de una tormenta.

Conclusiones

Los modelos caja-negra son limitados debido a su incapacidad para modelar procesos básicos de gobierno, como la conservación de la masa y el momento en un sistema. Los modelos basados en procesos ayudan en el análisis de un sistema bajo diversas condiciones iniciales y límites. La combinación de medidas físicas y un modelo matemático basado en procesos como Stella® podría ayudar a los estudiantes a entender algunas de las limitaciones y usos de cada enfoque. Una comprensión de las leyes básicas que rigen los procesos hidrológicos en un sistema es usualmente crítica para el modelado y predicción apropiados de los resultados bajo una variación de las condiciones iniciales y de los límites. El modelo típico de caja-negra es inherentemente limitado debido a una falta de comprensión de los procesos de gobierno.