Agua-suelo-clima

 

Análisis regional de frecuencia de crecientes en la región hidrológica no. 10 (Sinaloa), México. 2. Contraste de predicciones locales y regionales

 

Regional flood frequency analysis in hydrological region no. 10 (Sinaloa), México 2. Contrast of regional and local predictions

 

Daniel F. Campos-Aranda*

 

* Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí. Genaro Codina # 240. 78280 San Luis Potosí, San Luis Potosí. * Autor responsable (campos_aranda@hotmail.com)

 

Recibido: junio, 2013.
Aprobado: febrero, 2014.

 

Resumen

En la primera parte de este Análisis Regional de Frecuencia de Crecientes se caracterizaron éstas de acuerdo con sus fechas de ocurrencia, empleando un indicador estacional con el cual se estableció la región de influencia de cada una de las 21 estaciones hidrométricas procesadas. Los momentos L y sus cocientes se calcularon para definir la distribución de probabilidad más adecuada regionalmente. En seguida, dos métodos regionales fueron aplicados, el de las estaciones-años y el de los momentos L ponderados, ambos a través del ajuste de la distribución GVE. Las predicciones del método de las estaciones-años resultaron más exactas al contrastarlas con los valores locales o del registro histórico y, por ello, con base en sus resultados se desarrolló un método regional aplicable a cuencas sin aforos ubicadas en la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa).

Palabras clave: momentos y cocientes L, pruebas estadísticas, distribuciones LP3, GVE y LOG, región de influencia, método de las estaciones—años, método de momentos L ponderados, error estándar de ajuste, error relativo.

 

Abstract

In the first part of this Regional Flood Frequency Analysis, floods were characterized according to their dates of occurrence, using a seasonal indicator with which the region of influence of each of the 21 hydrometric stations processed was established. The L moments and their quotients were calculated to define the most suitable probability distribution regionally. Two regional methods were then applied, that of stations-years and that of the weighted L moments, both by fitting the GEV distribution. The predictions of the stations-years method were more precise when contrasting them with the local values or those of the historical record and, therefore, based on the results of this method, a regional method was developed to be applied to ungauged watersheds in Hydrological Region No. 10 (Sinaloa).

Key words: L moments and quotients, statistical test, LP3, GEV and LOG distributions, region of influence, stations-years method, L moment method, standard fit error, relative error.

 

INTRODUCCIÓN

El Análisis Regional de Frecuencia de Crecientes (ARFC) engloba una serie de procedimientos orientados a estimar confiablemente las crecientes de diseño, en sitios con escasa información hidrométrica de gastos máximos anuales, o bien en localidades que no cuentan con tales datos. El ARFC involucra tres etapas básicas: 1) identificación de grupos de cuencas hidrológicamente homogéneas, 2) selección de un modelo probabilístico regional, y 3) aplicación de técnicas de manejo conjunto de datos o parámetros estadísticos (GREHYS, 1996; Ouarda etal., 2008).

Esta segunda parte de un ARFC se inicia estimando los momentos L y sus respectivos cocientes en las 21 estaciones hidrométricas procesadas con registro de gasto máximo anual. Con base en tales cocientes se obtiene la distribución General de Valores Extremos como modelo probabilístico regional más conveniente. Después de definir en la primera parte del ARFC las Regiones de Influencia (RDI) de cada estación hidrométrica considerada como localidad sin datos, se obtuvieron sus predicciones regionales con dos métodos clásicos: el de las estaciones—años y el de los momentos L ponderados. Dichas predicciones regionales se contrastaron con las locales o históricas, las cuales se estimaron con base en las tres distribuciones de probabilidad establecidas bajo precepto. Con base en los resultados se desarrolló un método regional similar al índice de crecientes aplicable en cualquier localidad sin datos hidrométricos de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa, México).

 

MATERIALES Y MÉTODOS

Momentos y cocientes L

Los momentos L (λ_i) son combinaciones lineales de los momentos de probabilidad ponderada (β_i) desarrollados por Greenwood et al. (1979) y éstos son parámetros estadísticos asociados a los datos ordenados. Los momentos L son un sistema eficiente y robusto para el ajuste de los modelos probabilísticos actualmente en uso o establecidos bajo precepto. Sus ecuaciones de cálculo son (Stedinger et al., 1993; Hosking y Wallis, 1997; Campos, 2006):

Además se definen los cocientes (τ) de momentos L, comenzando con L—Cv que es análogo a este coeficiente y después los de similitud con los coeficientes de asimetría y de curtosis:

En una muestra de tamaño n, con sus elementos arreglados en orden ascendente (x₁≤x₂≤...≤x_n) los estimadores insesgados de β_r son:

con la expresión general siguiente:

En el Cuadro 1 se presentan los cuatro primeros momentos L (λ_i) así como sus tres cocientes τ₂, τ₃ y τ₄, de cada una de las 21 estaciones hidrométricas procesadas con registro de gasto máximo anual. En el último renglón del Cuadro 1 se presentan los valores promedio de los cocientes τ₃ y τ₄, los cuales se llevan al diagrama de momentos L (Hosking y Wallis, 1997), para encontrar el modelo probabilístico más conveniente a emplear en la aplicación de los métodos regionales. Lo anterior se muestra en la Figura 1, donde se observa que la distribución General de Valores Extremos (GVE) es el modelo probabilístico más adecuado regionalmente.

Pruebas de calidad estadística

Para que los resultados del análisis probabilístico sean teóricamente válidos, los registros de gasto máximo anual deben cumplir ciertos criterios estadísticos como aleatoriedad, independencia, homogeneidad y ser estacionarios, los cuales implican que los datos proceden de una variable aleatoria originada por un único proceso natural que no ha cambiado en el tiempo y por ello está libre de componentes determinísticas como persistencia, tendencia, cambios en la media y exceso o déficit de variabilidad.

Para probar lo anterior se aplicó una prueba general (Von Neumann) y seis específicas: dos de persistencia (Anderson y Sneyers), dos de tendencia (Kendall y Spearman), una de variabilidad (Bartlett) y una de cambio en la media (Cramer). Estas pruebas se pueden consultar en WMO (1971) y Machiwal y Jha (2012). Al respecto se encontró que los registros de las estaciones hidrométricas Choix y Pericos presentan persistencia, que incluso es detectada con el test de Von Neumann; en cambio las estaciones Jaina, Santa Cruz y Acatitán muestran tendencia con las pruebas específicas, pero no es detectada con el test de Von Neumann. Tales registros no serán eliminados, pero sus predicciones deben ser consideradas menos confiables.

Predicciones locales o históricas

Para estas predicciones se aplicaron exclusivamente los tres modelos probabilísticos probados como adecuados para su ajuste a registros de crecientes y por ello están establecidos bajo precepto en EE.UU. e Inglaterra (NERC, 1975; WRC, 1977; Shaw et al., 2011). Tales modelos son las distribuciones Log-Pearson tipo III (LP3), la General de Valores Extremos (GVE) y la Logística Generalizada (LOG). La estimación de sus tres parámetros de ajuste se realizó con base en los métodos estadísticos más consistentes, por lo cual la distribución LP3 se ajustó por momentos (Bobée y Ashkar, 1991) en los dominios logarítmico (dl) y real (dr). La distribución GVE se ajustó con base en cuatro métodos: momentos (mo), sextiles (sx), máxima verosimilitud (mv) y momentos L (mL), los cuales se pueden consultar en Clarke (1973), Stedinger et al., (1993) y Campos (2006). Finalmente, el modelo LOG sólo se aplicó a través del método de momentos L (Hosking y Wallis, 1997).

En el Cuadro 2 se muestran las predicciones obtenidas con los tres modelos probabilísticos utilizados, en los seis periodos de retorno que serán procesados y mostrando en negritas los valores adoptados como predicciones locales o históricas, por corresponder a menor error estándar de ajuste (Kite, 1977).

Método regional de las estaciones—años

En este método (Garros—Berthet, 1994; Campos, 2006) los datos de gasto máximo anual de cada estación hidrométrica se dividen entre su media aritmética. En seguida se reúnen o concatenan los cinco registros de las estaciones auxiliares que forman la región de influencia de cada estación hidrométrica base. En el Cuadro 3 se citan las estaciones auxiliares que conforman la región de influencia de cada estación hidrométrica tomada como base, según resultados del artículo previo.

Después se ajusta mediante los cuatro métodos ya citados, la distribución GVE y se seleccionan los resultados con los menores error estándar de ajuste. Las predicciones obtenidas con el modelo GVE, se escalan o dimensionan con el gasto medio anual del registro base (λ_i). Los resultados obtenidos para cada una de las 21 estaciones hidrométricas procesadas se muestran en el Cuadro 4 así como los errores relativos (E.R.) de las predicciones obtenidas con el método de las estaciones—años, cuya expresión es:

donde el error relativo se expresa en porcentaje y presenta un valor negativo cuando el gasto estimado (Q^Tr)_estim resultó menor que el calculado como predicción local o histórica (Cuadro 2) u observado (Q^Tr) _obser; cuando conduce a un valor positivo el gasto estimado fue superior al observado.

Método regional de los momentos L ponderados

En este método (Stedinger et al., 1993; Campos, 2006) la distribución GVE se ajusta por momentos L, con base en λ₁, λ₂ y λ₃ (Cuadro 1), obtenidos en las cinco estaciones hidrométricas auxiliares (Cuadro 3) de cada región de influencia, de la manera siguiente. En cada estación hidrométrica sus tres momentos L se vuelven adimensionales al dividirlos entre λ (entonces λ₁=1.00); después cada momento se pondera por el tamaño del registro, multiplicándolo por n_i y dividiéndolo entre el número de años que suman los cinco registros de las estaciones hidrométricas que se reúnen o concatenan. Por último, se suman los cinco momentos ponderados, para obtener el de la región de influencia. La distribución GVE se ajusta con el método de momentos L y sus predicciones se escalan o dimensionan con el gasto medio anual del registro base (λ₁). Los resultados están en el Cuadro 5, además de sus respectivos errores relativos obtenidos con la ecuación 12.

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Apreciaciones generales

Las predicciones obtenidas con los dos métodos regionales aplicados, concentradas en los Cuadros 4 y 5, son bastante similares y ello es sumamente importante, ya que tales métodos son notablemente diferentes en su planteamiento operativo. Únicamente en cinco estaciones sus predicciones difieren en los periodos de retorno de 100 y 500 años: Palo Dulce, Bamícori, Naranajo, Guamuchil y El Bledal. En general las predicciones obtenidas con el procedimiento de las estaciones-años son más aproximadas por ser ligeramente mayores, lo cual se observa en las estaciones Bamícori, La Tina, Naranjo, Guamuchil y El Bledal. Los resultados del Cuadro 4 muestran una correspondencia excelente en las estaciones San Francisco, Choix, El Bledal y Acatitán, con errores relativos por exceso menores del 10 %. Jaina, Guamuchil y El Quelite tienen, errores por defecto o exceso menores del 20 %.

Los grandes errores relativos por defecto se presentan en Badiraguato, cuyo registro de 26 años presenta en 1981 un gasto máximo de 9,245 m³ s^-1, el cual origina un gasto máximo específico de 9.082 m³ s^-1 km^-2 que resulta bastante superior a los encontrados en Huites, Jaina, Guamuchil y El Bledal de 0.576, 0.855, 2.132 y 4.248 m³ s^-1 km^-2, respectivamente. Este valor disperso eleva notoriamente las predicciones locales, de manera que los métodos regionales no pueden reproducir tal comportamiento. Lo mismo se observa en Huites, Bamícori, La Tina, Jaina y Naranjo, pero con menor severidad.

Por el contrario, en La Huerta, Chico Ruiz, Chinipas, Pericos, Ixpalino y Santa Cruz, las predicciones regionales resultan superiores a las locales. El caso extremo lo define el registro de la estación La Huerta, cuyo ajuste local o histórico del modelo GVE condujo a un parámetro de forma positivo, es decir, que sus crecientes presentan un comportamiento de concavidad hacia abajo, en el papel de probabilidad Gumbel-Powell. Y ocurrió lo mismo en Chico Ruiz.

Debido a que las regiones de influencia fueron definidas con base en la estacionalidad de las crecientes, sin utilizar los registros hidrométricos para obtener estadísticos que fueran empleados como atributos en la ecuación de la distancia Euclidiana ponderada, sus predicciones regionales contrastarán mucho más en aquellos registros que tengan un comportamiento diferente. Lo anterior ocurrió en Badiraguato, La Tina, Huites y Jaina por defecto y en La Huerta, Chico Ruiz, Chinipas e Ixpalino por exceso.

Método regional para cuencas sin aforos

Durante la aplicación del método regional de las estaciones-años en cada región de influencia para obtener sus predicciones (Cuadro 4), se observó una enorme similitud en los valores de éstas en forma adimensional, es decir las procedentes del ajuste del modelo GVE. Tales valores están en el Cuadro 6 y se observa la semejanza citada, la cual lógicamente disminuye al crecer el periodo de retorno. En los cinco renglones finales del Cuadro 6 están sus indicadores de tendencia central, cuya mediana muestral corresponde al método regional que resulta aplicable a cualquier cuenca sin aforos de la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa). También se probó usar exclusivamente las predicciones adimensionales de las once estaciones hidrométricas que tuvieron los menores errores relativos, ya sea por exceso o defecto, pero se obtienen prácticamente los mismos valores medianos.

Para hacer el escalamiento necesario se requiere conocer únicamente el gasto medio anual de la cuenca sin datos hidrométricos. Para resolver lo anterior se llevaron a un papel logarítmico, en las abscisas los valores del área de cuenca (A, km²) de cada estación hidrométrica procesada expuestas en la columna 4 del Cuadro 1, y en las ordenadas sus respectivos gastos medio anual (Q_ma, m³-s^-1) obtenidos de la columna 5 (λ₁) del Cuadro 1. Los puntos dibujados en la Figura 2 definen una relación lineal mostrando tres puntos dispersos, correspondientes a las estaciones Huites (4), La Tina (7) y Badiraguato (13), los cuales fueron eliminados para mejorar la correlación que fue 0.962 con las 18 parejas empleadas; la ecuación obtenida es:

La aplicación del método regional desarrollado es sumamente simple, consiste en localizar el sitio de interés y después su cuenca para obtener su área en km². La ecuación 13 se aplica para estimar su gasto medio anual, el cual multiplica a los valores medianos muestrales encontrados en el Cuadro 6 (penúltimo renglón), para definir las predicciones buscadas relativas a los periodos de retorno de 5, 10, 25, 50, 100 y 500 años.

Contraste del método regional desarrollado

Campos (2008) encontró que los registros de las estaciones Pericos, Chico Ruiz y Los Molinos, esta última no procesada en este estudio, conducían a predicciones locales muy bajas, por lo cual aplicó el método Racional formulado para la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), con los resultados mostrados en el Cuadro 7. En las tres estaciones citadas se aplica ahora el método regional desarrollado, con los resultados también en el Cuadro 7.

Las predicciones mostradas en el Cuadro 7 para los métodos regionales contrastados, son bastante semejantes pero no plenamente coincidentes y ello se debe a una mayor confiabilidad del método Racional, que es una técnica hidrológica de estimación de la relación lluvia-escurrimiento. En cambio, el método regional ahora desarrollado es exclusivamente estadístico y por lo tanto, menos confiable al no tomar en cuenta las lluvias de diseño.

Refinamientos al procedimiento expuesto

Zrinji y Burn (1996) proponen emplear un número variable de estaciones auxiliares que forman las regiones de influencia, probando cada región formada a través de un test de homogeneidad. Castellarin et al. (2001) utilizan también índices estacionales de la lluvia diaria máxima anual, para evaluar el retraso medio en la ocurrencia de las lluvias y sus respectivas crecientes. Otro enfoque de formación de regiones, también basado en la estacionalidad de las crecientes, se puede conseguir a través del test propuesto por Cunderlik y Burn (2006).

 

CONCLUSIONES

La similitud general encontrada entre las predicciones locales y las regionales, obtenidas mediante el método de las estaciones-años aplicado por regiones de influencia, indica que la definición de éstas con base en los índices de estacionalidad, es acertada, pues conduce a predicciones bastante aproximadas con errores relativos menores del 10 % en varias de las estaciones hidrométricas. Por ejemplo, en San Francisco, Choix, El Bledal y Acatitán la correspondencia entre las predicciones locales y las del método regional es excelente. En las estaciones Guamuchil y El Quelite la semejanza entre predicciones también es muy buena, con errores relativos por exceso, menores del 20 % y por defecto en Jaina y Naranjo. El análisis regional de frecuencia de crecientes llevado a cabo en la Región Hidrológica No. 10 (Sinaloa), basado en los índices de estacionalidad para agrupar las cuencas en regiones de influencia de cada una, condujo a resultados consistentes y satisfactorios. Por lo tanto se sugiere su aplicación en otras regiones del país para contar con el método regional desarrollado, que es una versión semejante al índice de crecientes al utilizar también los valores medianos muestrales estandarizados con la media aritmética, pero que evita el tener que definir un periodo común en los registros hidrométricos procesados.

 

LITERATURA CITADA

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