Investigación

A limit–cycle solver for nonautonomous dynamical systems

R.G. Campos*, G.O. Arciniega**

* Facultad de Ciencias Físico–Matemáticas, Universidad Michoacana, 58060, Morelia, Mich., México, e–mail: rcampos@umich.mx

** Facultad de Ciencias, Universidad de Colima, 28045, Colima, Col, México, e–mail: gilberto@cgic.ucol.mx

Recibido el 27 de febrero de 2006
Aceptado el 6 de abril de 2006

Abstract

A numerical technique for finding the limit cycles of nonautonomous dynamical systems is presented. This technique uses a matrix representation of the time derivative obtained through the trigonometric interpolation of periodic functions. This differentiation matrix yields exact values for the derivative of a trigonometric polynomial at uniformly spaced points selected as nodes and can therefore be used as the main ingredient of a numerical method for solving nonlinear dynamical systems. We use this technique to obtain some limit cycles and bifurcation points of a sinusoidally driven pendulum and the steady–state response of an electric circuit.

Keywords: Nonautonomous dynamical systems; nonlinear circuits; limit cycles; differentiation matrices; trigonometric polynomials.

Resumen

Se presenta una técnica numérica para encontrar los ciclos límite de algunos sistemas dinamicos no autónomos. Esta técnica usa una representación matricial de la derivada temporal obtenida mediante interpolación de funciones periódicas. Produce valores exactos para la derivada de un polinomio trigonometrico en puntos equiespaciados y puede ser usada como elemento principal de un método numérico para resolver sistemas dinámicos no lineales. Usamos esta técnica para obtener algunos ciclos límite y puntos de bifurcación de un péndulo forzado sinusoidalmente y la respuesta estacionaria de un circuito eléctrico.

Descriptores: Sistemas dinámicos no–autónomos; circuitos no–lineales; ciclos límites; matrices de diferenciación; polinomios trigonométricos.

PACS: 05.45.Pq; 02.60.Lj; 02.60.Cb

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

Acknowledgment

RGC wishes to thank Dr. A. Medina and Dr. N. Garcia for very useful discussions and suggestions.

References

1. A.M. Stuart and A.R. Humphries, Dynamical Systems and Numerical Analysis (Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998).        [ Links ]

2. T.J. Aprille and T.N. Trick, Proc. IEEE 60 (1972) 108.        [ Links ]

3. S. Skelboe, IEEE Trans. Circuits Syst. CAS–27 (1980) 161.        [ Links ]

4. R.G. Campos and L.O. Pimentel, J. Comp. Phys. 160 (2000) 179.        [ Links ]

5. R.G. Campos and Claudio Meneses, Differentiation matrices for meromorphic functions, http://xxx.lanl.gov/abs/math.NA/0407020 (to be published in Bol. Soc. Mat. Mexicana)        [ Links ]

6. R.G. Campos and L.O. Pimentel, Nuovo Cimento B 116 (2001) 31.        [ Links ]

7. S.R. Bishop and D.J. Sudor, Int. J. of Bifurcation and Chaos 9 (1999)273.        [ Links ]