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INTRODUCCIÓN
En el siglo pasado el conocimiento de los docentes, en matemáticas, se limitaba a los cursos tomados en la universidad, pero desde hace un par de décadas se “ha analizado y abordado de manera más cualitativa, enfatizando los procesos cognitivos y la comprensión de los hechos, conceptos y principios, y las formas en que están conectados y organizados” (Even y Tirosh, 1995, p. 2). Estudios recientes relacionados con el conocimiento matemático de los profesores (por ejemplo, Hill et al., 2008), muestran que existen fuertes vínculos entre el conocimiento de los docentes y la calidad matemática de su práctica en el aula. Otros trabajos (por ejemplo, Baumert et al., 2010; Blömeke y Delaney, 2012), han identificado dos componentes principales del conocimiento de los docentes que les permite desempeñar su función de manera efectiva: Conocimiento de Contenido (CC) y Conocimiento de Contenido Pedagógico (CCP). Ball, Thames y Phelps (2008), basándose en el trabajo de Shulman (1986), crearon el modelo MKT. Según sus autores, este modelo se refiere al conocimiento matemático necesario para llevar a cabo el trabajo de enseñanza de las matemáticas.
En México, la Secretaría de Educación Pública (SEP, 2017) dio a conocer el Modelo Educativo para la Educación Obligatoria (MEEO) y el Nuevo Currículo de la Educación Media Superior (NCEMS). Uno de los propósitos principales del NCEMS es alcanzar el máximo logro de los aprendizajes por parte de los estudiantes. Para cumplir este propósito el MEEO concibe al docente como un profesional que, entre otras cualidades, “tiene el dominio necesario de los contenidos que enseña” (SEP, 2017, p. 86). En coincidencia con esta idea, Fennema y Franke (1992) afirman que “lo que sabe un maestro es una de las influencias más importantes en lo que hace en las aulas y, en última instancia, en lo que los estudiantes aprenden” (p. 147). Por su parte, Mapolelo y Akinsola (2015), en su revisión de literatura sobre conocimiento, creencias y formación de los docentes, señalan que “los docentes son factores críticos en el aprendizaje de las matemáticas y la extensión de su conocimiento de contenido y pedagógico determina el logro de los estudiantes” (p. 505). En este mismo sentido, diversos investigadores de Educación matemática, coinciden respecto al conocimiento amplio y profundo que deben tener los profesores de matemáticas, por ejemplo, Philipp (2014, p. 285) comenta “un maestro que entiende un tema particular de matemáticas de manera profunda, ve interrelaciones entre los conceptos y procedimientos, lo que puede permitirle construir una presentación lógica y rica”, por su parte, Baumert et al. (2010), mencionan que uno de los principales hallazgos en estudios cualitativos sobre instrucción matemática es que el repertorio de estrategias de enseñanza, el conjunto de representaciones matemáticas alternativas y las explicaciones disponibles para los maestros en el aula dependen en gran medida de la amplitud y profundidad de su comprensión conceptual del tema. Por su parte el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (National Council of Teachers of Mathematics) (2000, p. 17) en su principio de enseñanza declaran “los profesores deben conocer y entender profundamente las matemáticas que enseñan y ser capaces de hacer uso de ese conocimiento con flexibilidad”. Son estas las premisas que dieron origen a nuestra investigación sobre el conocimiento de los profesores acerca de la excentricidad de las cónicas y que ahora reportamos sobre la parte correspondiente al comportamiento de la forma de las curvas en función de la excentricidad.
El estudio de la Geometría Analítica es parte esencial del currículo del bachillerato en México. Dentro de los contenidos considerados para su enseñanza se encuentra el estudio de las cónicas. Uno de los elementos relevantes para estas curvas es su excentricidad, la cual permite analizar aspectos cualitativos de la forma de ellas. Sin embargo, la relación entre los valores de excentricidad y la forma de las cónicas no es un asunto bien atendido en los libros de texto, al respecto coincidimos con el comentario de Foley (2011) “Cuando los estudiantes de matemáticas de bachillerato y la universidad estudian secciones cónicas, a menudo aprenden poco sobre sus formas e incluso pueden formarse conceptos erróneos. Sin duda, entender la forma de las cónicas no es un asunto trivial” (p. 274). En libros de texto y en la literatura matemática solemos encontrar comentarios sobre la forma de las curvas cuando hacemos variar la excentricidad, particularmente cuando tiende a cero o a uno, o bien, estimaciones de los valores de la excentricidad a partir del aspecto de una cónica. Por ejemplo, Foley (2011, p. 275) afirma “Las elipses varían en forma de circulares a casi parabólicas”, mientras que Rider (1947, p. 121) señala: “Conforme c tiende a a , esto es, cuando la excentricidad tiende a 1, la elipse se aplana hasta llegar al límite en el que degenera en un segmento de recta”. Puesto que ambos casos corresponden a excentricidades cercanas a uno: ¿Hay alguna contradicción o inconsistencia en estas afirmaciones? Una declaración similar a la de Rider la podemos encontrar en Larson y Edwards (2010, p. 271): “Para una elipse alargada, los focos están cerca a los vértices y la razón c/a [excentricidad] es cercana a 1”. Realmente, sacar conclusiones sobre la excentricidad a partir de la variación de la forma de una elipse es una actividad cognitiva diferente a la actividad de describir la variación de la forma de una curva en función de la variación de la excentricidad. El comportamiento de la forma de una elipse o una hipérbola para valores de la excentricidad cercanos a uno puede apreciarse de diferentes maneras según las definiciones con las cuales se miren estas curvas. Hay al menos tres acercamientos a las cónicas mediante las cuales podemos definir una elipse y una hipérbola. La definición que quizá es la más conocida por los profesores es en la que la elipse y la hipérbola se caracterizan por dos focos. Otra definición se establece en términos de un foco y una directriz y una tercera definición es la que se refiere a la intersección de un cono y un plano en el espacio tridimensional. En este último acercamiento a las cónicas, al jugar con el movimiento del plano, haciéndolo tender hacia una posición paralela a una generatriz, “resulta evidente” que la parábola es la posición límite tanto de las elipses como de las hipérbolas. Por cierto, aunque no es evidente, en este movimiento particular del plano, la excentricidad de las curvas tiende a uno. Esto lo justificaremos más adelante apoyados en una fórmula que permite determinar la excentricidad cuando las curvas se consideran intersección de un cono y un plano. Un hecho destacable es que la parábola no es la única posición límite de las elipses y las hipérbolas. La dinámica del plano puede ser tal que las elipses tiendan a un segmento o que las hipérbolas tiendan a un par de rayos. Dado que los libros de texto son fuentes importantes de información para los profesores, y derivado de una aparente inconsistencia entre las afirmaciones que antes citamos, consideramos pertinente averiguar si profesores de bachillerato comprenden tales declaraciones y, en su caso, cómo las justifican. Esto fue lo que motivó nuestra investigación.
PROBLEMA Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
La excentricidad es un parámetro ℯ asociado a las cónicas con el cual podemos generar
esta familia de curvas y a su vez tiene un significado geométrico con relación al
aspecto de la forma de las curvas. Una buena comprensión del significado geométrico
de la excentricidad, se requiere para analizar la variación de la forma de las
cónicas cuando variamos los valores de ℯ, particularmente cuando la hacemos tender a
los valores cero o uno
MARCO REFERENCIAL
La excentricidad de las cónicas es definida de diferentes formas en los libros de texto de Geometría Analítica; es un concepto cuya definición depende del enfoque o concepción de esas curvas. Para poner en contexto el problema de investigación, exponemos tres acercamientos a las cónicas y sus correspondientes definiciones de excentricidad. También presentamos, como ejemplo, un caso límite de excentricidad de la elipse.
Excentricidad en el acercamiento bifocal (AB)
La elipse y la hipérbola están definidas por dos focos. La elipse es el lugar geométrico de los puntos tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 es una constante 2a. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia positiva de sus distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 es una constante 2a . En ambos casos, los puntos fijos se denominan focos de las curvas (figura 1), y la constante respectiva se llama constante de la curva.
La recta que contiene los focos de la elipse también contiene dos puntos de la
curva, llamados vértices,
V
1 y
V
2. Al segmento con extremos
V
1 y
V
2 le llamaremos eje mayor de la elipse. La excentricidad de la elipse
es la razón de la distancia
2c
entre los focos a la distancia
2a
entre los vértices. Entonces, la excentricidad
e
es el cociente
c/a
donde
c
es la semidistancia entre los focos y
a
es la longitud del semieje mayor (véase por ejemplo, Larson y Edwards, 2010, p. 701; Lehmann, 1964, p. 176; Rider, 1947, p. 120; Simmons, 1996, p. 536). Al ser
Para la hipérbola la excentricidad está definida por el mismo cociente
Vale la pena notar (en este acercamiento a las cónicas) que la excentricidad no toma el valor 1 y que entonces la parábola no tiene asignada excentricidad alguna.
Excentricidad en el acercamiento foco-directriz (AFD)
La parábola, elipse e hipérbola, se definen de manera unificada en términos de un
foco y una directriz. Una cónica es el lugar geométrico de los puntos
P
de un plano, tal que la razón de la distancia de
P
a un punto fijo
F
, llamado foco, a la distancia de
P
a una recta
L
, llamada directriz, que no contiene
F
, es una constante positiva (figura
3). Esta constante es definida como la excentricidad de la cónica
(ver, por ejemplo, Edwards y Penney, 1994, p.
536-537; Simmons, 1996, p.
552). La curva es una elipse si
Excentricidad en el acercamiento Cono-Plano (AC P)
Las cónicas son las curvas en el espacio tridimensional que, obtenemos al intersecar un cono doble circular recto infinito fijo, con un plano inclinado variable que no pasa por el vértice del cono. Si el plano inclinado corta todas las generatrices del cono y no es perpendicular al eje del cono, la curva es una elipse. Si el plano inclinado es paralelo a una generatriz la curva correspondiente es una parábola (figura 4a). Si el plano inclinado corta ambos mantos del cono doble, la curva es una hipérbola, la cual consta de dos ramas, una en cada uno de los mantos (figura 4b). Notemos que en esta definición los elementos de las curvas: centro, focos y directriz, no están incluidos.
La excentricidad tampoco está involucrada en estas definiciones de las curvas,
aparece en el contexto de una proposición, la cual describimos a continuación:
Consideremos un cono doble circular recto infinito con un plano inclinado que lo
corta. Construyamos una esfera inscrita en el cono, tangente al cono y al plano
inclinado (figura 5). El punto de tangencia
F
de la esfera y el plano inclinado le llamaremos foco de la curva. El
conjunto de puntos de tangencia de la esfera y el cono es una circunferencia que
determina un plano al que llamaremos plano Π; este plano corta al plano
inclinado en una recta
d
que llamaremos directriz de la curva. La
excentricidad de la curva es el cociente que se obtiene al
dividir la distancia al foco
F
desde cualquier punto
P
de la curva entre la distancia de este punto
P
a la recta
d
. Esta razón es constante y es igual a
Casos límite de la excentricidad de las cónicas
Para la elipse la excentricidad toma valores en el intervalo
Caso límite de la elipse en su definición foco-directriz
Supongamos que
L
,
F
y
e
, son la directriz, foco y excentricidad respectivamente. Sea
Q
el pie de la perpendicular a la directriz
L
desde el foco
F
y sea
Supongamos
Si elegimos estos valores para
u
y
v
obtenemos un punto sobre la elipse pues ciertamente de (1) y (2) obtenemos
De las relaciones (1), (2) y (3) obtenemos
La condición (4) es necesaria para
que
V' sea un punto de la elipse. Esta condición también
es suficiente; es decir, para este valor de
a
el punto
V' está sobre la elipse. Los puntos
V
y
V' son los únicos de la curva que se encuentran
sobre la recta que pasa por
Q
y
F
, son puntos notables de la elipse que se llaman vértices. El eje mayor
de la elipse es el segmento que tiene por extremos
V
y
V'. La fórmula (4) expresa la longitud del semieje mayor. El punto medio
del segmento
Otro par de puntos notables de la elipse son B y B' los cuales se encuentran sobre la mediatriz del eje mayor a una distancia del foco y a una distancia
del centro O . Se verifica fácilmente que los puntos B y B' satisfacen la condición de la definición foco-directriz.
Analicemos algunas situaciones de límite de la excentricidad. En lo que sigue supondremos que están fijos el foco y la directriz, así que p es fijo.
A. Caso
B. Caso
En la tabla 1 presentamos, para los tres acercamientos a las cónicas, algunos casos relevantes de situaciones límite para la elipse y, en la tabla 2 para la hipérbola, cuyo análisis no hicimos en este artículo.
Tabla 1 Curvas límite para la elipse
| Acercamiento a la elipse |
Curvas límite cuando |
Curvas límite cuando |
|---|---|---|
| Bifocal | Una circunferencia | Segmento, Parábola |
| Foco-Directriz | Un punto | Parábola |
| Cono-Plano | Una circunferencia | Segmento, Parábola |
Marco Teórico
La presente investigación tuvo su fundamento teórico en el modelo MKT de Ball, Thames, y Phelps (2008). El MKT está formado por los dominios Conocimiento del Contenido y Conocimiento Pedagógico del Contenido. A su vez, el primer dominio se constituye por tres subdominios: CCK, SCK y conocimiento de horizonte de contenido. Para nuestra investigación fueron de interés los subdominios CCK y SCK, por lo que a continuación los describimos brevemente:
CCK. Este conocimiento lo posee todo adulto o profesional con conocimientos básicos de matemáticas. El término común no significa que todos tengan ese conocimiento, sino más bien que se trata de uno utilizado, también, en ambientes distintos a la enseñanza. Algunos aspectos relacionados con el CCK son: (a) Calcular una respuesta. (b) Resolver problemas matemáticos empleando fórmulas sin estar consciente de que si son o no aplicables. (c) Enunciar definiciones de manera muy limitada y sin explicación.
SCK. Es el conocimiento matemático deseable para la enseñanza. El término especializado se refiere al conocimiento profundo de contenido matemático específico y no se refiere al conocimiento de temas matemáticos avanzados. Algunas características relacionadas con el SCK son: (a) Conocer en profundidad los conceptos fundamentales de cada uno de los temas. (b) Justificar el uso de las normas aplica-das, entendiendo por qué funcionan y cuándo son aplicables. (c) Desglosar ideas y procedimientos matemáticos para hacerlos más sencillos y comprensibles para sus alumnos. (d) Establecer conexiones entre diferentes sistemas de representación.
Marco teórico para describir los conocimientos de los profesores acerca de la excentricidad
Para alcanzar los objetivos de este trabajo, propusimos un marco teórico en el que consideramos exclusivamente los subdominios CCK y SCK, con los que, en el contexto de la excentricidad para cada uno de los acercamientos de las cónicas, se constituyeron las categorías de análisis del presente estudio (tabla 3 y tabla 4). Las abreviaturas utilizadas fueron:
A: Acercamiento; AB: Acercamiento Bifocal; AFD: Acercamiento Foco-Directriz; ACP: Acercamiento Cono-Plano
Tabla 3 Categorías de análisis para el CCK mostrado por los participantes.
Tabla 4 Categorías de análisis para el SCK mostrado por los participantes.
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
La investigación fue de carácter cualitativo y, en una primera etapa hicimos un
estudio exploratorio con cinco profesores de Geometría Analítica del bachillerato de
una universidad pública estatal en México, para el cual diseñamos un cuestionario
con el objetivo de indagar sobre sus conocimientos matemáticos sobre la forma de las
cónicas cuando la excentricidad tiende a cero o a uno. Previo a la aplicación del
cuestionario, explicamos su objetivo y describimos de manera general su contenido.
El cuestionario fue aplicado por el investigador en los diferentes lugares de
trabajo de los participantes. Se informó a los participantes que su colaboración era
voluntaria, con derecho a interrumpirla en cualquier momento y que, sus respuesta
serían anónimas, confidenciales y solo se utilizarían para los fines de esta
investigación. Los docentes dieron verbalmente su consentimiento para participar. En
una segunda etapa pedimos, a los profesores participantes, que exploraran unos
applets diseñados con GeoGebra, incrustados en el editor de contenido educativo
eXeLearning y alojados en la web por medio del servidor gratuito drv.tw, en donde se
ilustran diversas situaciones de curvas límite cuando
Después de que los profesores interactuaron con los applets y, como tercera etapa, se les aplicó nuevamente el cuestionario original, se llevaron a cabo entrevistas no estructuradas para profundizar en sus argumentos. Las entrevistas fueron personales y se llevaron a cabo en un aula escolar habilitada para tal fin. La entrevista fue transcrita por el investigador. Contrastamos sus respuestas de la primera aplicación del cuestionario con sus respuestas a la segunda aplicación y, procedimos a identificar su CCK y SCK, relacionados con la excentricidad. A continuación, presentamos el cuestionario, cuyas respuestas, junto con la información obtenida de las entrevistas no estructuradas, nos permitieron alcanzar los objetivos planteados en este artículo.
Cuestionario
Indicaciones: Por favor responda las siguientes preguntas procurando ser lo más explícito posible.
Sobre la exploración de los applets
Durante cuatro semanas, los participantes interactuaron con los applets
diseña-dos con GeoGebra. El número de sesiones por semana, así como el tiempo de
cada sesión, quedó a criterio de cada participante. Los applets muestran
diversas situaciones de curvas límite cuando
Análisis de resultados previos a la exploración de los applets
Analizamos las respuestas de cada pregunta del cuestionario, agrupamos aquellas que tuvieron coincidencias y las categorizamos según las categorías de análisis mostradas en las tabla 3 y tabla 4, colocando entre corchetes su respectiva codificación. A continuación, se muestra el análisis de resultados previos a la exploración de los applets.
Pregunta 1
Los cinco participantes expresaron que cuando
Pregunta 2
Cuatro participantes mencionaron que cuando
Pregunta 3
Los cinco participantes expresaron que cuando
Análisis de resultados posteriores a la exploración de los applets
Las respuestas a cada pregunta del cuestionario fueron analizadas, se agruparon aquellas que tuvieron coincidencias y se categorizaron, colocando entre corchetes su respectiva codificación, según las categorías de análisis mostradas en las tabla 1 y tabla 2. Las respuestas que guardaron similitud con las obtenidas en el cuestionario aplicado previo a la fase de experimentación fueron omitidas.
Pregunta 1
Tres participantes expresaron que cuando
Pregunta 2
Dos participantes respondieron que si
Pregunta 3
Cuatro participantes expresaron que si
Entrevistas no estructuradas
Mostramos, a continuación, algunas partes de las entrevistas con los profesores participantes, que llevamos a cabo después de que exploraron los applets. Varios de ellos mostraron rasgos de haber adquirido nuevos conocimientos, tanto CCK como SCK, aunque tuvieron dificultades con sus explicaciones.
Entrevista a uno de los tres profesores qu/e respondieron que la elipse tiende a un punto.
| Investigador | En tu respuesta a la pregunta uno comentas
que la elipse puede tender a un punto cuando |
| Profesor | Bueno, en una de las actividades [en uno de los applets] se define la excentricidad como un cociente: la distancia de todo punto P de la elipse al foco, entre la distancia de P a la directriz [CCK-AFD-2]. Entonces, cuando hacemos tender la excentricidad a cero, la elipse se vuelve cada vez más pequeña porque la distancia P al foco tiende a cero, o sea que todos los puntos de la elipse tienden al foco, que está fijo [SCK-AFD-1]. |
El profesor se estaba refiriendo al acercamiento Foco-Directriz.
Entrevista al profesor que respondió que “la elipse puede tender a un segmento o a una parábola dependiendo del enfoque que se considere”.
| Investigador | En tu respuesta a la pregunta dos, comentas que la elipse puede tender a un segmento o a una parábola. ¿Recuerdas en qué circunstancias ocurren estos dos casos? Por favor, explícame lo más que puedas, tus ideas. |
| Profesor | Dependiendo del enfoque, la elipse puede
tender a curvas diferentes, aunque también dentro de un
mismo [enfoque] pasa eso. Recuerdo que en el enfoque
tridimensional [ACP] |
| Investigador | ¿Puedes explicar esas dos formas a las que haces referencia? |
| Profesor | Bueno, tienen que ver con la forma en que el plano que corta al cono gira sobre un vértice fijo en el cono. Si el plano gira de manera que la elipse se hace cada vez más grande y los focos están cada vez más distantes entre ellos, la elipse tiende a la parábola [SCK-ACP-4]. Y si el plano inclinado gira de manera que el otro vértice de la elipse se va hacia el vértice del cono, entonces la elipse se hace cada vez más alargada y tiende a un segmento [SCK-ACP-5]. |
| Investigador | ¿Y qué relación hay entre los ángulos α y β cuando las elipses tienden a la parábola? |
| Profesor | No recuerdo, presté más atención a lo que le sucedía a la elipse al mover el plano inclinado. |
| Investigador | ¿Recuerda la posición límite del plano inclinado con respecto a la generatriz del cono, en cada caso? |
| Profesor | No, lo siento, no presté atención a eso. |
Entrevista al participante que respondió: “Si el plano que corta al cono tiende a estar sobre una generatriz del cono, entonces la hipérbola se cierra cada vez más hasta parecer dos semirrectas”.
| Investigador | Por favor, coménteme ¿por qué en su
respuesta a la pregunta tres dice que la hipérbola tiende a
dos semirrectas cuando |
| Profesor | Mire, una rama de la hipérbola está en el cono superior y la otra rama en el cono inferior. Cuando giramos el plano inclinado para que la excentricidad tienda a uno, ambas ramas de la hipérbola se cierran cada vez más y se asemejan [cada a una] a una semirrecta [SCK-ACP-7]. |
| Investigador | ¿Y qué relación hay entre los ángulos α y β cuando las hipérbolas tienden a dos semirrectas o rayos? |
| Profesor | La elipse tiende a dos semirrectas cuando |
| Investigador | Estas haciendo alusión al ACP, ¿recuerdas cuál era la posición límite del plano en los dos casos que mencionas? |
| Profesor | ¡Ya, lo tengo!, como le decía, en ambos
casos |
RESULTADOS
Identificados y clasificados los conocimientos exhibidos por los docentes, tanto en los cuestionarios como en las entrevistas, mostramos a continuación los resultados de este trabajo.
Respecto a la forma de la elipse cuando
Previo a la exploración de los applets, los profesores solo relacionaban la forma
límite de la elipse con la circunferencia cuando
Respecto a la forma de la elipse cuando
Previo a la exploración de los applets, el CCK y el SCK que los profesores
exhibieron estuvieron limitados a aspectos relacionados con la excentricidad de
las cónicas desde el AB, pues solo relacionaban la forma límite de la elipse con
un segmento. Posterior a la fase de exploración, los docentes mostraron SCK de
aspectos relacionados con la excentricidad de las cónicas desde el ACP, ellos
identificaron la forma límite de la elipse con un segmento o una parábola. No
les causó conflicto que hubiese ambas situaciones. Los participantes exhibieron
haber adquirido SCK relacionado con la forma de la elipse cuando
Respecto a la forma de la hipérbola cuando
Previo a la exploración de los applets, todos los profesores exhibieron CCK de
aspectos relacionados con la excentricidad de la hipérbola desde el AFD al
expresar que la forma límite de la hipérbola cuando
Los resultados muestran que los profesores desarrollaron SCK de aspectos relacionados con la excentricidad de las cónicas desde diferentes acercamientos después de explorar las actividades diseñadas.
CONCLUSIONES
Apoyándonos en los resultados obtenidos, podemos decir que el CCK y el SCK pueden reafirmarse, fortalecerse e incluso incrementarse cuando los profesores interactuan con las actividades diseñadas exprofeso. En la investigación, los applets que diseñamos brindaron a los profesores la oportunidad de explorar relaciones geométricas que hay entre la forma de la cónica y su excentricidad cuando esta tiende a cero o a uno. La gama de relaciones geométricas exploradas ofreció a los docentes la posibilidad de reafirmar, fortalecer, incrementar y profundizar su conocimiento matemático respecto a la excentricidad de las cónicas desde diferentes acercamientos.
Para finalizar, reconocemos que las actividades de los docentes se limitaron a la exploración de elementos y relaciones variables en construcciones geométricas ya terminadas. Una tarea pendiente, probablemente, podría ser que los docentes realizaran construcciones geométricas incrustadas en cada una de las actividades. Tal vez, esa experiencia podría ayudarles a encontrar más relaciones entre las diferentes definiciones de excentricidad, a descubrir los elementos en que se basan tales definiciones y así comprender con mayor profundidad cómo se obtienen las curvas límite a las que tienden las cónicas cuando la excentricidad tiende a cero o a uno. En consecuencia, enriquecerán su SCK. Las definiciones matemáticas para la enseñanza requieren que el profesor sea el primero en comprenderlas (Ball and Bass, 2003), de ahí la importancia del SCK.
