3.1 Articulation entre l’arithmétique et l’algèbre: la pensée arithmético-algébrique

L’intérêt de s’attarder à la pensée arithmético-algébrique n’est pas nouveau. ^{Chevallard (1980}, ¹⁹⁸⁹⁾ argumente l’importance de la dialectique qui doit exister entre l’arithmétique et l’algèbre. Dans son article de 1989, il discute de l’équivalence de deux expressions algébriques avec un élève imaginaire. Pour vérifier l’exactitude de cette équivalence, il propose d’exercer un contrôle en procédant à des substitutions numériques qui pourraient montrer à l›élève l›inexactitude d›une procédure (si c›était le cas). Dans cette ligne de pensée, ^{Lee et Wheeler (1989)} soulignent ce qui suit en ce qui a trait au lien entre l’arithmétique et l’algèbre:

Our investigations into the algebraic thinking of high school students show that the connection between the algebra and arithmetic in their minds is not always as direct and transparent as the quoted precept might suggest. (p. 41)

Un exemple d’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre est celui proposé par ^{Lee (1996)} et ^{Lee et Wheeler (1989)}. Il repose sur le fait de reconnaitre un nombre impair dans l’écriture 2x+1 (où x est un nombre entier), par un regard sur les nombres donc en arithmétique. Il est alors aisé de prouver que la somme d’un nombre x et de son successeur x+1 est un nombre impair puisque x+x+1 = 2x+1.

Ces réflexions nous ont amenés à entrevoir la possibilité de concevoir un enseignement où l’arithmétique joue un rôle central comme moyen de contrôle des processus algébriques, ce qui nous a conduits à envisager le développement d’une pensée arithmético-algébrique.

Définition de Pensée arithmético-algébrique. Nous appelons l’articulation entre l’arithmétique et l’algèbre la pensée arithmético-algébrique, dont sa fonction est de fournir à l’élève un élément de contrôle sur ses processus algébriques et vice-versa sur ses processus arithmétiques. Cette pensée a un double rôle qui est ancré à l’intérieur de l’individu et se manifeste dans les actions d’anticipation, de prédiction, de conjecture, généralisation et validation.

Cette définition se rapproche des processus d’instrumentation et d’instrumentalisation de ^{Rabardel (1995)} et de ^{Cole (1996)} sous l’angle de l’instrument médiateur. Notre projet a pris forme autour du développement de la pensée arithmético-algébrique lors de la transition primaire-secondaire et plus précisément dans la généralisation algébrique puisque comme le précise ^{Radford (2014, p. 2)}: «Il y a quelque chose de profondément algébrique dans l’arithmétique et quelque chose de profondément arithmétique dans l’algèbre, et les activités de généralisation rapprochent ces deux domaines».

3.2 La généralisation algébrique

^{Mason (1996)} souligne que la généralisation est au cœur des mathématiques:

Generalization is the life-blood, the heart of mathematics…(…) Gattegno (1990) coined the assertion: «Something is mathematical, only if it is shot through with infinity» I take this to mean that to be fully mathematical, there has to be a generality present… He suggested that algebra as a disciplined form of thought emerged when people became aware of the fact that they could operate on objects (numbers, shapes, expressions), and could operate on those operations. (p. 74)

Il considère trois étapes au développement cognitif en spirale: la manipulation; donner du sens [prendre connaissance de l’activité] et articuler, la manipulation étant liée à la généralisation: «Manipulation (whether of physical, mental, or symbolic objects) provides the basis for getting a sense of patterns, relationships, generalities, and so on…» (p. 81). L’accent mis par Mason sur l’importance de ces trois étapes, telles que nous les comprenons dans notre contexte, est qu’il considère que la manipulation ouvre un chemin vers l’appropriation de la tâche pour la comprendre, et cela, avec les actions pour la résoudre, permettra la construc-tion des savoirs et leurs articulations, renforçant les processus de généralisation.

Ce chercheur propose une des tâches qu’il soumet aux futurs enseignants (p. 80) et dont la résolution implique l’utilisation du numérique comme élément de contrôle sur l’algébrique (voir Figure 2), soulignant ainsi la portée d’un travail sur des motifs figurés.

Figure 2 Problème proposé par ^{Mason (1996, p. 80)} dans son cours de formation des enseignant.e.s 

Les travaux de ^{Radford (2010}, ²⁰¹¹⁾ s’appuient également sur la généralisation algébrique supportée par des suites figurées. Il s’attarde à analyser ce qui est produit par des élèves à l’école primaire et il pose la question de savoir où finit l’arithmétique et où commence l’algèbre (^{Radford 2011}):

…the idea of introducing algebra in the early years remains clouded by the lack of clear distinctions between what is arithmetic and what is algebraic. To make such distinctions would require making explicit our own assumptions about the nature of arithmetic and algebraic thinking and their interrelationships. And, of course, this is not an easy matter, neither for research nor for practice. (p. 304)

Ceci l’amène à considérer la pensée algébrique comme une forme particulière de réflexion mathématique qui est caractérisée par trois éléments qui sont interconnectés (^{Radford, 2011}):

Il ne considère pas exclusivement les notations institutionnelles, il souligne l’importance de raisonner avec des quantités indéterminées comme si elles étaient connues, s’attardant aux formes non symboliques. ^{Radford (2017)} indique à cet effet:

The theoretical perspective on algebraic thinking that I present here might be of particular interest to early algebra research. Indeed, the criterion about analyticity- i.e., the specific analytic calculation with/on unknown quantities-offers an operational principle to distinguish arithmetic and algebraic thinking. The theoretical perspective recognizes the importance of the alphanumeric semiotic system, but does not confine algebraic thinking to it. It opens the door to the investigation of non-symbolic (i.e., non-alphanumeric) forms of early algebraic thinking. (p. 9)

La généralisation de suites figurées apparait ainsi comme un terreau fertile pour l’émergence d’une pensée arithmético-algébrique. En effet, ^{Bronner (2019)} qui s’est intéressé à l’entrée de «l’algèbre avant la lettre» s’appuie sur une situation de généralisation avec un motif figuré. Il constate que les productions des élèves attestent d’une articulation numérique-algébrique.

Misant sur ces résultats, nous nous intéressons aux conditions d’enseignement qui peuvent favoriser le développement d’une pensée arithmético-algébrique lors de la résolution de SP de généralisation appuyée par des suites figurées (tant à l’école primaire comme à l’école secondaire). Notre proposition s’appuie sur un travail collaboratif en suivant la méthode ACODESA et cherche à mieux comprendre comment se développe la pensée arithmético-algébrique à travers la prise en compte des représentations fonctionnelles-spontanées.

5.1 Description de l’étude

L’étude a été menée à la première année du 1er cycle (âge 12-13 ans) dans une école intéressée à l’utilisation de la technologie, douze élèves ont participé.

Un ordinateur était mis à la disposition de chaque équipe composée de 3 à 4 élèves. Dans cette école, le manuel scolaire choisi était Panoram@th (^{Cadieux, Gendron et Ledoux, 2005}). Dans ce manuel, les auteurs présentent des nombres polygonaux dont les nombres triangulaires, carrés et pentagonaux. Ce numéro est plutôt un exercice de routine qui ne requiert pas de processus de générali-sation, l’élève doit réfléchir à partir de représentations algébriques institution-nelles qui sont données (Figure 5).

Figure 5 Les nombres polygonaux présenté dans le Manuel Panoramath (2007, p. 135) 

Dans le c), on peut remarquer que les élèves sont invités à substituer des valeurs dans des expressions algébriques données et ainsi en déduire l’expression qui convient parmi celles données et qui correspondent aux nombres triangulaires, carrés et pentagonaux.

Prenant en considération ce constat, nous avons modifié cette situation en une SP. Elle a été conçue pour favoriser une construction en spirale des connaissances (^{Mason, 1996}). Les activités qui la composent et la description de chacune d’entre elles sont présentées ci-dessous (Tableau 1).

Tableau 1 Situation problème utilisée dans l’expérimentation au Québec 

Page	Présentation de l’activité	Description
1		Des informations générales sur l’élève et son équipe ont été demandées. Il leur a été demandé d’écrire dans une couleur différente selon le travail: individuel, en équipe ou en grand groupe (cela a permis d’analy- ser ultérieurement l’évolution des RF-E).
2	1) Observe bien ces nombres. Quel est le troisième nombre triangulaire? Représente-le. Explique la façon dont tu as procédé. 2) Peux-tu imaginer le 4e nombre triangulaire sans faire un dessin?	Dans la 2e page, après un paragraphe expliquant la production des Grecs sur les nombres polygonaux, les deux premières questions sont présentées afin que l’élève se familiarise avec le contenu. Les processus mathématiques de visualisation, d’anticipation et de prédiction sont encouragés.
3	3) D’après toi comment sont construits ces nombres triangulaires? Qu’observes-tu? 4) Quel est le 11ième nombre triangulaire? Explique comment tu fais pour le trouver. 5) Tu dois écrire un courriel COURT à un ami pour lui décrire comment procéder pour calculer le nombre triangulaire 83. Décris ce que tu lui écrirais. TU N’AS PAS À FAIRE LES CALCULS! 6) Et pour calculer n’importe quel nombre triangulaire, comment ferait-on (on veut encore ici un message COURT).	À la page 3, les questions liées visent à favoriser une généralisation progressive. Une construction en spirale au sens de Mason ou celle d›une mathématique verticale au sens de Freudenthal (1991). Les auteurs s’attendaient à ce que certains élèves dessinent la figure correspondant à 11e triangulaire, et que d’autres entament un processus de généralisation d’une nature différente: visuelle, numérique, itérative.
4 y 5	7) Que fais-tu pour trouver le 6ième, 7ième et 8ième nombres triangulaires? Est-il possible de calculer: le nombre triangulaire 30: _____ ; le nombre triangulaire 83: _____ ; le nombre triangulaire 120: ____ Comment as-tu procédé? 8) Quelles sont les limitations et les possibilités de cette façon de procéder? 9) Donne les opérations à faire pour calculer n’importe quel nombre triangulaire.	Les pages 4 et 5 étaient un retour aux nombres triangulaires dans un environnement Excel et de généralisation itérative. A ce stade, la généralisation liée à l’itération était attendue (questions 8 et 9).
6 y 7	10) Démarche (opérations, dessins…) Écris la règle ou formule que tu as trouvé: 11) Triangulaire 10:_____ ; Triangulaire 20: _____ Avec ta formule, peux-tu calculer le nombre triangulaire 120? Triangulaire 120 -	Dans les questions 10 et 11 des pages 6 et 7, on espérait favoriser la généralisation en renforçant la pensée arithmético-algébrique. Ce qui précède est lié à la conjecture et à la validation numérique à l’aide d’un applet qui ne fournit que la réponse numérique. La présentation des nombres triangulaires est maintenant similaire à celle des manuels. Dans ces deux pages, la relation explicite entre l’arithmétique et l’algèbre était attendue. Nous pensons que les processus de visualisation mathématique seraient plus solides en favorisant une structure de contrôle et de recherche au sens de Perkins et Simonns (1988); et par l’approche socioculturelle, un habitus au sens de Bourdieu (1980).

Voici les principales caractéristiques de cette SP:

Elle est organisée avec une série de tâches enchainées.

Au début, nous avions prévu une activité pour rappeler aux élèves l’utilisation d’Excel (30 minutes) puis nous les avons plongés dans la résolution de la SP après une brève présentation de l’origine des nombres triangulaires.

Les quatre premiers nombres triangulaires étaient présentés sous forme de triangles rectangles isocèles au lieu de triangles équilatéraux (comme c’est le cas pour le manuel Panoramath) pour ouvrir au recours à la for-mule de l’aire d’un triangle,⁶ et promouvoir un conflit cognitif.

Le passage vers la symbolisation (non nécessairement avec une représentation institutionnelle) va être motivé par la nécessité de produire un texto donc un message court.

Nous nous inspirons ici des situations de généralisation développées par ^{Landry (2001)} et ^{Bednarz (2005)}. La représentation officielle pour les nombres triangulaires est régulièrement exprimée par n(n+1)/2, n, étant un nombre naturel différent de 0.

Nous nous restreignons dans cette section sur deux élèves pour illustrer les résultats que nous avons obtenus.⁷

Un de ces deux élèves est le leader dans son équipe, et l’autre élève, une fille plutôt timide qui laisse parler les autres membres de son équipe (qui sont tous des garçons). Notre analyse s’attarde à retracer l’évolution des RF-S produites par les élèves qui sont reliées au développement d’une pensée arithmético-algébrique.

5.2 Résultats: Différentes généralisations ressorties

Selon la méthode d’enseignement ACODESA, dans la première étape, les élèves travaillent individuellement, ce qui leur permet d’être outillés lors de la discussion en équipe (2e étape). Lors de cette 2e étape, les différentes équipes ont présenté au tableau ce qu’ils ont produit (Figure 6). Ainsi pour le onzième nombre triangulaire, des RF-S sont ressorties. Dans la discussion en grand groupe, un des élèves a changé en cours de route l’approche de son équipe pour aller vers un processus itératif (voir la troisième production de la Figure 6).

Figure 6 Trois types de propositions pour le nombre triangulaire 11 présentées au tableau 

Ainsi, le travail en équipe a donné lieu à des RF-S (externes) qui illustrent quatre approches sur la généralisation:

Figure 7 Stratégie individuelle qui a été abandonnée pendant le travail en équipe. 

(Figure 6, troisième production, en bas).

À titre d’exemple, présentons l’intervention de l’enseignante qui reprend en grand groupe la généralisation arithmético-visuelle géométrique locale qui est celle qui est la plus ressortie dans la classe et qui amène les élèves à passer à la symbolisation. Ainsi, l’enseignante repart de l’écriture 1+2+3+4+5+ 6+7+8+9+10+11 pour trouver le 11e nombre triangulaire. Pour trouver le nombre triangulaire 83, il faudrait ajouter les nombres consécutifs de 1 jusqu’à 83. L’enseignante demande comment on pourrait représenter le dernier nombre de la somme après les trois points: 1+2+3+…+?, pour que cette égalité s’applique à n’importe quel nombre. Voici les échanges qui ont eu lieu dans la classe suite à cette question (Figure 8).

Figure 8 Un extrait des échanges entre l’enseignante et les élèves lors du retour en grand groupe 

Nous pouvons noter que les élèves proposent en premier lieu le signe «?» (RF-S). Après incitation de l’enseignante, ils énumèrent naturellement différentes sym-bolisations, acceptant tout type de symbolisations comme un cœur (représenta-tion non institutionnelle).

Par la suite, l’approche papier crayon, l’utilisation des outils technologiques et la discussion en grand groupe ont promu une évolution des RF-S. L’enseignante pour promouvoir l’engagement des élèves ajoute: moi, je suis capable de trouver n’importe quel nombre triangulaire en trois coups [en faisant juste trois opérations]. L’enseignante pensait l’expression institutionnelle Tn=n(n+1)2 lorsqu’elle affirme qu’en «trois coups» (une addition: n+1, une multiplication: n(n+1) et une division: n(n+1)2). Soulignons que la formule ressortie par les élèves n’est pas très efficace, elle requiert un grand nombre d’additions, c’est long. L’enseignante pousse donc les élèves à être efficaces, le rôle de l’enseignante est ainsi central comme le mentionne ^{Legrand (2001)}.

La Figure 10 présente l’évolution des représentations en six étapes d’un élève que nous avons nommé Yan qui a travaillé en équipe avec deux filles. En premier (voir le 1^er cadre, Figure 10), les élèves utilisent Excel (un ordinateur par équipe) et retranscrivent dans une colonne la position ou le rang du nombre triangulaire à laquelle ils associent dans la colonne adjacente le nombre triangulaire associé à son rang ou position. L’équipe est ainsi capable de générer jusqu’au nombre triangulaire 84 grâce à la technologie. En observant la suite de nombres générés, l’équipe remarque, en cadre 2 (voir Figure 9), qu’en ajoutant un à la position du 83^e nombre triangulaire et en divisant par 2, ils trouvent 42. Pour trouver le 83^e nombre triangulaire, il suffit alors de multiplier la position 83 par 42. Après avoir expliqué cette façon de procéder à l’enseignante, celui-ci leur demande si leur façon de faire marche pour n’importe quel nombre triangulaire. Les élèves de cette équipe répondent que oui et Yan propose de le faire pour trouver le 101^e nombre triangulaire. Anticipant qu’en choisissant une position ou rang impair, l’ajout de 1 et la division par 2 va donner un entier naturel, l’enseignante demande à l’équipe de choisir plutôt le 100^e nombre triangulaire. Après une hésitation face au décimal obtenu, dans la division par 2, les élèves retournent au travail en équipe et les trois élèves vont remarquer que le résultat obtenu après avoir ajouté 1 et divisé par 2 importe peu. Yan qui est le représentant de l’équipe écrit alors «x» pour désigner ce résultat, il n’aura par la suite qu’à multiplier par 100 pour trouver le 100^e nombre triangulaire (voir la case 3 dans la Figure 10). Yan comme représentant de l’équipe passe au tableau, pendant que les deux filles manipulent l’ordinateur de Yan (voir Figure 9, case 5) pour procéder aux calculs que Yan mène au tableau.

Figure 9 Différentes étapes de la résolution des nombres triangulaires par une équipe 

Yan et son équipe utilisent fréquemment un ancien applet mis à la disposition des élèves (voir Figure 9, cases 4 et 5) qui, à partir de la position ou le rang du nombre triangulaire fournit le motif figuré de ce nombre et le nombre de points correspondant. L’utilité de cet applet (comme le nouveau fait avec GeoGebra) était de faire sortir les élèves de l’itération pour aller vers une formule générale en combinant l’aspect visuel et numérique. Ainsi, quand Yan passe au tableau, il présente la façon de faire de son équipe pour le 46e nombre triangulaire et demande à ses coéquipières (voir cadre 5, Figure 9) de vérifier le résultat. À ce moment, la cloche sonne et tout le monde commence à ramasser ses affaires, une élève d’une autre équipe demande à l’enseignante d’expliquer comment faire pour calculer un nombre triangulaire «en trois coups» comme elle l’avait annoncée. Yan répond que lui il le sait et il généralise alors face au tableau à la dernière minute (voir case 6), en indiquant «x» comme la position de tout nombre triangulaire à laquelle on ajoute 1 (première opération) et on divise par 2 (deuxième opération), le résultat obtenu est représenté par «y», ce résultat sera multiplié par la position du nombre triangulaire donc «x» (troisième opération). La représentation institutionnelle Tn=n(n+1)2 n’a pas émergé, on observe l’émergence d’une représentation tout aussi valide construite par les élèves.

5.3 Résultats: Quarante-cinq jours après l’expérimentation - l’exemple de Yan

Pour comprendre ce que les élèves ont retenu de cette SP, 45 jours après cette expérimentation, nous avons proposé aux élèves une version abrégée de la SP en modifiant, dans quelques questions, les nombres triangulaires cherchés. Nous avons observé un fait intéressant. Yan qui avait construit une formule pour calculer n’importe quel nombre triangulaire lors de l’expérimentation a fait une erreur en calculant le nombre triangulaire T₁₁. Il écrit avoir procédé avec la formule qu’il avait trouvée, mais celle-ci a été de toute évidence oubliée (Figure 10).

Figure 10 45 jours après, Yan se trompe dans la formule construite précédemment 

Nous avions glissé une feuille supplémentaire, uniquement pour cet élève (il ne le savait pas), avec de questions pour trouver une formule permettant de calcu-ler tout nombre pentagonal. Il est intéressant de constater qu’il n’a pas oublié sa stratégie et il l’utilise correctement pour procéder au calcul des nombres pentagonaux (Figure 11 pour le calcul du 34e nombre pentagonal). Au départ, Yan identifie les figures par leur position: 1 ^er , 2 ^e , 3 ^e , 4 ^e . Il utilise les bonds tel que fait avec ses coéquipières. Il débute en s’intéressant au 4 ^e nombre pentagonal, 22, il divise par 4, il obtient 5,5. Il nous explique par la suite qu’il s’est dit que pour trouver 5,5, il pouvait prendre la position ou le rang 4 et lui ajouter 1,5. Il essaie après avec le 3^e nombre pentagonal pour voir si ça marche. Il divise 12 par la position qui est 3, il obtient 4. Il remarque que s’il ajoute 1 à la position ou au rang, il obtient 4. Yan procède de la même façon avec le 2^e nombre pentagonal qui est 5, il divise par 2 ce qui donne 2,5. S’il ajoute à 2, 0,5 il va obtenir 2,5. Il en vient alors à voir qu’il peut retrancher 0,5 à la position ou au rang.

Figure 11 L’élève est capable de réinvestir pour les nombres pentagonaux 

Ces constats sur les quatre premiers nombres pentagonaux et le fait de vouloir trouver une formule qui seront composés d’opérations qui impliquent unique-ment la position ou le rang amènent Yan à observer que pour trouver un nombre pentagonal, il faut multiplier la position du nombre par la position à laquelle on ajoute la position divisée par 2 et retranchée de 0,5. Par exemple, pour le qua-trième nombre triangulaire qui est 22, on fait 4 x 5,5 (position fois 5,5), mais 5,5 s’écrit comme 4 + 1,5 (position plus 1,5) et 1,5 peut se retrouver en divisant la position par 2 et en retranchant au résultat 0,5 comme suit 4 x 0,5 - 0,5 = 1,5. Donc la suite d’opérations à faire pour trouver le quatrième nombre triangulaire est [Équation]. La Figure 12 présente la formule généralisée en s’appuyant sur le rang ou position du nombre pentagonal.

Figure 12 Formule trouvée par l’élève. 

On peut remarquer que la représentation de l’élève est très éloignée de la représentation officielle: Pn=n(3n-1)2, étant un nombre naturel non nul, mais elle est parfaitement utile pour calculer n’importe quel nombre pentagonal.

L’expérimentation en classe et les productions d’élèves dans un milieu d’apprentissage socioculturel illustrent que les RF-S des élèves ont évolué grâce à la communication entre pairs promue avec ACODESA. L’analyse des productions des élèves 45 jours après nous a permis de mieux comprendre la notion d’habitus de ^{Bourdieu (1980)} sur la construction d’une structure structurante qui va permettre d’attaquer d’autres SP et problèmes. Aussi, nous pouvons dire que cette expérimentation illustre le développement d’une «structure cognitive de contrôle» dans le sens de ^{Perkins & Simmons (1988)}, qui leur permet d’attaquer un problème et de surveiller leurs actions pour en trouver la solution.

Cette étude nous a encouragés à poursuivre notre recherche sur la pensée arithmético-algébrique, mais cette fois-ci nous avons ciblé la transition primaire-secondaire. L’expérimentation au Québec n’a pas pu débuter à cause de la COVID-19, heureusement, l’expérimentation au Mexique avait commencé avant la pandémie. Nous rapportons dans la section qui suit les résultats obtenus.

6.1 Description de l’étude

Cette expérimentation a pris place dans le cadre d’un projet Québec-Mexique. Au Mexique, un groupe de douze élèves d’une école primaire d’une zone urbaine marginalisée à faible niveau socio-économique a été sélectionnée. Le groupe a été classé comme sous-performant en mathématiques. Une tablette électronique a été remise aux élèves pour faciliter leur interaction et pour permettre la validation numérique de leurs conjectures (Figure 13).

Une séquence de SP a été élaborée (Figure 13) dont trois SP ont été expérimentées (sans technologie) par d’autres chercheurs, Celles-ci ont toutefois été repensées pour se conformer à la méthodologie ACODESA, à l’utilisation des applets, et à la construction en spirale des savoirs dans une approche socioculturelle de l’apprentissage. L’expérimentation e eu une durée totale de 17h30 pour les 5 activités premières activités de la Figure 13.

Pour la quatrième SP, une suite de motifs figurés est proposée, qui a été pensée par l’équipe, il s’agit du «Camino de las calaveritas», celle-ci prend en considération le contexte mexicain, en s’inspirant de la tradition du jour des Morts (au Québec le contexte de l’Halloween a été utilisé). La cinquième activité sollicite des processus de généralisation complexes et sans contexte réel, la suite de motifs a été également construite par l’équipe de chercheurs. La sixième SP porte sur les nombres polygonaux et est destinée aux élèves du secondaire. Toutes ces SP sont consultables intégralement en anglais, en français et en espagnol sur le site: Hitt et Quiroz (2019). Dans les activités ont été priorisés la construction des représentations: dessin, verbal en mots et arithmético-algebriques (Figure 13).

Figure 13 Présentation de la séquence des 6 SP 

Chacune de ces SP a été rédigée selon le modèle de la SP sur les nombres triangulaires (Tableau 1). Pour présenter les résultats, nous avons sélectionné les questions pour lesquelles les élèves ont produit des représentations fonctionnelles-spontanées intéressantes du point de vue de notre objet de recherche.

6.2 Résultats: Évolution des RF-S - l’exemple d’Ald

Suivant la méthode d’enseignement ACODESA, les élèves ont travaillé en équipe, en utilisant différentes couleurs de stylos afin de repérer’ le travail individuel (bleu), en équipe (rouge), en grand groupe (vert) et le travail d’autoréflexion (blue). Les productions reprises ci-dessous sont teintées par ce code de couleurs. La première SP qui a été présentée est le restaurant de Marcel. La Figure 14 illustre la production d’un élève que nous avons appelé «Ald». Nous pouvons observer que celui-ci reste collé au contexte lors du travail individuel (question 3) en dessinant 15 tables et on comptant les personnes, il reste dans l’étude du cas particulier. Lors du travail en équipe, à la question 8, des représentations fonctionnelles-spontanées émergent (en rouge), les élèves uti-lisent deux représentations différentes pour indiquer le nombre de tables. Après la discussion en grand groupe, Ald reproduit la représentation en vert.

Figure 14 Questions 3 et 8 du Restaurant de Marcel et exemple de production individuelle de l’élève Ald (question 3) et de la production du même élève dans son travail d’équipe (question 8) 

Dans l’écriture de l’expression construite en grand groupe (en vert), le fait qu’Ald ait fait des points pour représenter les 4 chaises autour du carré peut nous faire douter sur sa compréhension de la discussion qui a eu lieu. En effet, pour une configuration de plus de 2 tables, les chaises qui sont à la jonction doivent être omises. Un co-équipier d’Ald que nous avons nommé Mic (Figure 15 à droite) montre une bonne compréhension de la proposition de ses collègues dans la discussion en grand groupe puisqu’il utilise la variable «tables» ainsi que la notation “”.

Figure 15 Production de Ald et Mic (même équipe) après la discussion en grand groupe. 

Dans cette SP, différentes représentations fonctionnelles-spontanées de la variable «nombre de tables» émergent naturellement: ?; _; ; . Différentes productions d’expressions sont également utilisées pour calculer le nombre de personnes pouvant être assises dans un arrangement quelconque de tables: ? × 2+2= ;_× 2+2= ; × 2+2= ;  × 2+2= .

Dans la 2e SP, celle de la bijouterie «El Dorado», Ald répond comme suit (Figure 16).

Figure 16 Questions 3 et 4 de la SP El Dorado, et exemple de la production individuelle de l’élève Ald (question 3) et de la production du même élève dans son travail d’équipe (question 4) 

Individuellement, Ald arrive à la bonne réponse, on n’a toutefois pas accès à la façon dont il s’y est pris puisqu’il dit qu’il l’a fait dans sa tête. On observe un changement par rapport à la résolution de la première SP pour laquelle il avait eu recours au dessin pour trouver le nombre de personnes nécessaire. Lors de la discussion en équipe, on peut observer que les élèves de l’équipe d’Ald comptent le nombre de tiges de deux façons différentes. Ils repèrent deux tiges par maille et une tige supplémentaire pour fermer le motif ( − × 2 + 1). L’autre façon de faire est de considérer qu’il y a deux tiges par maille triangulaire sauf pour la première maille pour laquelle ils comptabilisent 3 tiges. Pour cette deuxième façon de faire, on observe que les élèves n’ont pas recours à une expression du même type que pour le premier message, ils utilisent les mots et un exemple qui illustre leur raisonnement (Figure 16). On peut penser ici que l’écriture en une chaine d’opérations avec une variable pose problème à l’équipe.

Dans cette SP, les élèves de la classe ont utilisé différentes notations pour désigner le nombre variable de tiges pour une chaine de mailles: «∆ x 2 + 1 =». Le «? x 2 + 1 = », «• x 2 + 1 =» ou «- x 2 + 1 =» pour un même message.

Nous pouvons observer que les élèves, guidés à la fois par les questions des SP et par l’enseignante, progressent rapidement vers la généralisation et la production spontanée d’expressions non institutionnelles. L’enseignante insiste sur les questions où il est précisé qu’il ne faut pas utiliser de mots, elle dira aux élèves qu’ils doivent omettre l’utilisation de mots dans les messages qu’ils fournissent afin de présenter un message abrégé, raccourci, court et ne pas oublier d’indiquer les opérations en jeu.

En ce qui concerne la 3e SP (les fenêtres), la Figure 17 illustre la production de l’élève Ald.

Figure 17 Questions 2 et 3 de l’usine de fenêtres et exemple de production individuelle de l’élève Ald (question 2) et de la production du même élève (question 3) 

On peut remarquer que l’élève Ald a besoin, dans cette SP, d’un dessin pour pouvoir répondre à la question 2 (qui demande le nombre de carrés verts pour une fenêtre qui a 4 carrés rouges sur le côté du carré central). Encore une fois, cet élève a un grand besoin de faire des dessins et de compter un à un les carrés du pourtour. Il est intéressant de noter que lorsque le nombre demandé est grand, Ald quitte le dessin (tel que prévu dans la SP pour favoriser l’apprentissage en spirale). Il trouve la bonne réponse, 64 carrés verts. On peut observer, d’après la chaine d’opérations qu’il propose, qu’Ald a multiplié le nombre de carrés rouges sur un côté par 4 et il ajoute les 4 coins. L’égalité mathématique ainsi écrite est incorrecte, il aurait dû écrire 15 × 4 = 60 et 60 + 4 = 64 mais elle rend quand même compte de la façon dont l’élève s’y est pris pour trouver le nombre de carrés verts.

6.3 Résultats: différentes généralisations ressorties

Dans la troisième SP, les fenêtres, on observe dans les productions en équipe et en grand groupe l’émergence d’une généralisation visuo-arithmétique. Pour l’expression «nombre associé au côté du carré formé des petits carrés rouges x 4 + 4», les élèves prennent les côtés du carré rouge formé par les petits carrés et les déplacent sur les côtés du grand carré et ajoutent les carrés des coins (Figure 18). Pour représenter cette variable, les élèves utilisent soit le dessin d’un carré rouge soit un point d’interrogation à l’envers. Une autre façon de compter le nombre de carrés verts émerge dans l’équipe d’Ald et également en grand groupe. Il s’agit d’ajouter 2 au nombre de carrés rouges sur un côté, on obtient ainsi le nombre de carrés verts sur un côté. On multiplie ce nombre par 2 pour obtenir les carrés verts qui sont vis-à-vis et il suffit par la suite d’ajouter deux fois le nombre de carrés rouges sur un côtés. Les élèves utilisent «l» pour désigner le nombre de carrés rouges sur un côté. On peut remarquer qu’ils ont oublié d’écrire les parenthèses pour que l’expression soit correcte: (1 + 2) × 2 + 1 + 1, l’écriture ne traduit pas leurs propos.

Figure 18 Stratégies visuelles de généralisation et de construction d’une expression permettant de calculer le nombre de carrés sur la périphérie pour n’importe quelle figure 

Tel que précisé, cette SP, comme les précédentes, a été utilisée dans différentes recherches qui visent l’introduction de l’algèbre («Le problème des frontières» de ^{Boaler et Humphreys, 2005} aux États-Unis et «le carré bordé» de ^{Coulange et Grugeon, 2008} en France). Une question que nous nous sommes posés est la suivante: Quelle est la différence entre les résultats des élèves mexicains et les élèves des États-Unis et de la France?

Un élément de réponse est que la formulation des questions et le guide de l’enseignante au Mexique ont favorisé l’utilisation spontanée de représentations non institutionnelles telles qu’exprimées dans la Figure 17, soulignant que ces élèves classés comme peu performants peuvent mener des démarches de généralisation comme les élèves plus âgés des USA et de la France.

Pour ces trois SP, on peut voir que le signe «?» a été constamment utilisé par les élèves comme variable. Dans les deux études, les représentations fonctionnelles-spontanées non institutionnelles ont émergées de façon naturelle (voir en ce sens ^{diSessa, Hammer, Sherin & Kolpakowski, 1991}).

C’est dans la 4e SP sur «El camino de las calaveritas» (chemin des crânes) qu’on assiste à une explosion de représentations. Les élèves ont utilisé différentes variables pour la même SP (Figure 19).

Figure 19 Questions 13 et 14 de la SP «El camino de calaveritas» et exemple du travail en équipe et en grand groupe 

Dans le cas de l’expérimentation au Québec, les élèves avaient également tendance dans leurs productions à fournir des expressions pour calculer les nombres triangulaires en deux étapes «1ère étape: x+1÷2=y; 2ª étape: y*x=» (voir dernier encadré de la Figure 10). Dans la SP du El camino de las calaveritas, un élément nouveau apparaît, les élèves combinent des variables pour pouvoir calculer, par exemple, les briques marrons. Les élèves poseront que pour avoir le nombre de briques marrons, il faut multiplier par 5 le nombre de têtes de morts y ajouter les briques vertes et soustraire 2 au résultat. Là encore on voit que le contexte joue un rôle important dans le recours à des représentations fonctionnelles-spontanées. Dans ce cas des lettres, des squelettes, des crânes apparaissent pour désigner un certain type de variable, ce qui permet de construire une expression algébrique pour le calcul général, que ce soit pour des briques vertes ou marrons.

Dans la dernière SP proposée aux élèves (la 5e) sur les cercles et les rectangles, le contexte de la vie réelle disparait, et un calcul plus complexe s’impose où il faut distinguer si le motif est pair ou impair; et dans le cas d’être impair, distinguer une expression pour le calcul des rectangles, différente du calcul du nombre de cercles pour la même figure. Si n désigne la variable, notre interpré-tation avec une notation officielle serait de la forme:

Nous présentons ci-dessous la production en équipe et en grand groupe du travail en équipe (rouge) et du travail en grand groupe (vert) (Figure 20).

Figure 20 Questions 8 et 9 de la SP des rectangles et des cercles et production en équipe et en grand groupe 

La complexité de la tâche fait que le passage du verbal à «l’algébrique non institutionnel» produit des notations très variées telles que celles proposées dans la Figure 19. En termes verbaux, l’explication est explicite et complexe en notation non institutionnelle. Par exemple, si nous prenons notre variable comme «n», pour le calcul des cercles et des rectangles relatifs au nombre pair, la notation exprime que si la variable est «n», n serait le dividende, 2 le diviseur.

C’est-à-dire, , une notation que nous pouvons écrire sous la forme n/2 × 3 = nombre de cercles ou nombre de rectangles.

La notation utilisée par les élèves pour les nombres impairs est beaucoup plus sophistiquée (Figure 20, expression à gauche). Le -1F signifie qu’il faut soustraire un au nombre du chiffre impair (obtenir un nombre pair); et, immédiatement, on peut calculer le nombre de cercles ou de rectangles avec l’expression (n-1)/2*3+2r+1c=c et r . Autrement dit, cela signifie que si nous voulons calculer les rectangles, nous devons utiliser ; et si on veut calculer les cercles, il faut utiliser (n-1)/2*3+1c. Ces deux expressions, utilisant des représentations fonctionnelles-spontanées, sont extrêmement riches et permettent le calcul pour n’importe quel motif pair ou impair.

En résumé, pour l’expérimentation au Mexique avec des élèves classés comme peu performants, la production de représentations fonctionnelles-spontanées est suscitée par la méthode d’enseignement socioculturel (ACODESA). Voici quelques constats: