Área de estudio

El estudio se llevó cabo con información del estado de Jalisco, ubicado en el occidente de México, donde se queman entre 17 000 y 20 000 ha anuales, con un promedio de 530 incendios (^{Comisión Nacional Forestal [CONAFOR], 2015}). Para definir el ancho de banda (h), se usó información georreferenciada de los incendios ocurridos en el periodo 2005 al 2013 (Figura 1).

Figura 1 Incendios forestales ocurridos en el estado de Jalisco en el periodo 2005-2013 (^{CONAFOR, 2015}). Sistema de Coordenadas Geográficas: GCS_WGS_1984; Datum: WGS84. 

Estimación de la densidad kernel

Los incendios forestales son eventos georreferenciados que ocurren en forma diferencial en una región dada, definiendo variaciones espaciales en su densidad (número de incendios por unidad de superficie) (^{Salvati & Ferrara, 2015}). Para cartografiar la continuidad espacial de esta densidad se usan los siguientes métodos: 1) clásico, que se deriva en a) análisis de autocorrelación espacial (^{Anselin, Bera, Florax, & Yoon, 1996}), b) análisis clúster (agrupación de puntos) (^{Kulldorff & Nagarwalla, 1995}) y c) modelos de autorregresión espacial (^{Anselin et al., 1996}); y 2) mapas de densidad, donde se usan, básicamente, las técnicas de análisis de cuadrantes y la densidad kernel (^{Fuenzalida, Cobs, & Guerrero, 2013}). Esta última se ha usado cuando se tienen datos históricos de incendios (^{Koutsias et al., 2004}; ^{Kuter et al., 2011}). La densidad kernel es una técnica no paramétrica basada en varias funciones, algunas de estas son: cuadrática (^{Silverman, 1986}), uniforme, Epanechnikov, distribución normal, función triangular y función cuártica (^{Turlach, 1999}). De esta forma, el estimador de densidad kernel, para un caso multivariado, se define con base en la siguiente expresión matemática (^{Amatulli, Perez-Cabello, & de la Riva, 2007}):

Con base en lo anterior, la estimación de densidad kernel ayuda a generar superficies continuas de la densidad de incendios forestales. Para ello, se usan cálculos de vecindad local que se hacen bajo la estructura de una cuadrícula (red de celdas), donde el valor de densidad, en un punto o celda dada, resulta de una estimación basada en los valores de varios puntos a su alrededor; los valores cercanos tienen mayor influencia, mientras que los lejanos tienen menor ponderación en la estimación. Esto se ajusta a la primera ley de la geografía, que señala que todo está relacionado con todo, pero las cosas que se encuentran cercanas están más relacionadas entre sí que las cosas que se encuentran más lejanas; sin embargo, este proceso se limita a cierta distancia, la cual se define al establecer un ancho de banda (h) (^{de Smith, Goodchild, & Longley, 2009}).

Determinación de ancho de banda (h)

Debido a que la aplicación de la función kernel requiere que se especifique un ancho de banda (h), para su definición, en este trabajo, se consideraron los procesos descritos a continuación.

1) Polígono teórico. Se asume una superficie cuadrada teórica, donde el h teórico se define con base en la longitud del radio teórico correspondiente (^{de la Riva et al., 2004}):

r= D2

2) Distancia aleatoria media (DAM). El criterio usado para definir la DAM se expresó matemáticamente de la siguiente forma (^{de la Riva et al., 2004}):

DAM=12AN

3) Distancia promedio del vecino más cercano. El valor de h se define con el cálculo de la distancia promedio que existe entre los incendios vecinos más cercanos (Koutsias et al., 2014).

4) Regla de oro de Silverman (“Silverman's rule of thumb”). Considera una función kernel no gaussiana, donde el valor h se define de la siguiente forma (^{Silverman, 1986}):

h = 4σ53n1/5≈ 1.06 σn-1/5

En otros casos, por ejemplo, con una función kernel triangular, el valor de h se estimaría con la siguiente ecuación:

h = 2.576  σn-1/5

5) Rango intercuartílico. Asume que la distribución se desvía de la normalidad y usa el siguiente algoritmo para determinar el valor de h (^{Vrahimis, 2010}):

h=0.9*minDS, IQR^1.34 

Criterios de validación

El valor de h estadísticamente más adecuado se seleccionó mediante los siguientes criterios.

1) Raíz del error cuadrático medio (RECM). Este estadístico se determinó en términos de la diferencia entre la densidad estimada y la densidad real, donde se seleccionó el menor RECM. Primero se calculó el error cuadrático medio (ECM) que incorpora tanto la varianza del estimador como su sesgo y, posteriormente, se obtuvo la raíz cuadrada del ECM:

RECM= 1n∑i=1ny1^-y12

Con base en esto, para determinar el RECM se ubicaron 1 000 puntos al azar en el área de estudio, con los que se compararon dos superficies comunes (área circular): 10 y 100 km². En estas áreas se determinaron el valor real del número de incendios del periodo 2005-2013 y el valor estimado del número de incendios definido por la función kernel.

2) Raíz del error medio cuadrático integrado. La comparación se hizo bajo los mismos criterios señalados para la RECM. Para ello, primeramente, se determinó el error medio cuadrático integrado (EMCI) y después se calculó su raíz cuadrada (REMCI), a partir de la ecuación propuesta por ^{Seaman y Powell (1996}):

REMCI= 1n∑i=1ny1^-y12y1

3) Coeficiente de variación (CV). Considerando que el tamaño de h define una unidad de muestreo que permite captar la variabilidad del número de incendios forestales, en el área de estudio se analizaron varias superficies circulares o sitios de referencia (SIR): 1, 2, 4, 8, 10, 15, 30, 50, 70, 100, 150 y 200 km². Además, se evaluaron las siguientes intensidades de muestreo distribuidas completamente al azar: 100, 300, 500 y 1000 SIR. Los incendios contenidos se contabilizaron en cada SIR y, posteriormente, se graficó el CV que se define con relación a los 12 tamaños de SIR; de esta forma, la superficie del SIR y su h correspondiente se seleccionaron en el punto donde la tendencia de la variabilidad inicia un comportamiento asintótico.

4) Porcentaje comparativo. En forma similar al CV, el aumento de h eventualmente define un comportamiento asintótico de REMCI, por lo que, de igual forma, una selección objetiva de h es ubicar el punto de quiebre o al menos un rango de quiebre, donde se inicia dicho comportamiento. Para esto, el porcentaje que representa el valor de REMCI se determinó con relación al valor superior inmediato, el cual se denominó porcentaje comparativo (PC), mismo que se calcula con la siguiente ecuación:

PC=REMCInREMCIn-1*100

Estimación de h

El Cuadro 1 presenta las estimaciones del ancho de banda (radio de búsqueda h), resultantes de los procesos probados. Existe gran variación en los valores h obtenidos; el rango entre el valor máximo y el mínimo fue 39 356.34 m con una media de 10 936.74 ± 9 955.04 m. En el Cuadro 1 también se muestran los valores de los criterios en los que se basan los procesos probados. Es importante señalar que algunos de los criterios son particulares de ciertos procesos, por lo que no se usaron en todos.

En el proceso del polígono teórico, la selección de h está en función de la escala en la que se tenga la información; es decir, si la información se presenta en pixeles de 10 x 10 km, entonces se establece un radio teórico que corresponde a la mitad de la longitud del cuadro que define los pixeles (^{de la Riva et al., 2004}). No obstante, aunque esta alternativa puede ser práctica, no se fundamenta de manera estadística; por ejemplo, debe considerarse que la varianza del número de incendios puede cambiar si se trabaja con áreas diferentes que se definen por múltiplos o submúltiplos del tamaño del pixel. Como alternativa, se propuso basar la definición de h en el tamaño promedio de polígonos, asumiendo un polígono de 20 km² como la superficie cuadrada teórica, donde el h teórico (2 550 m) se definió con base en la longitud del radio teórico correspondiente (de la Riva et al., 2004), lo cual resultó en el menor valor de h de todos los procesos probados.

Por otra parte, el promedio de la distancia, que se definió entre 1 000 puntos ubicados al azar (DAM), se usó como valor de h, el cual puede presentarse desde dos perspectivas (^{Kuter et al., 2011}): a) local, considerando el tamaño medio de polígono y un número de puntos de ignición por polígono, y b) global, donde se considera el tamaño total del área de estudio y el número total de puntos de ignición. En este caso, se consideró la primera perspectiva, ya que permitió establecer el valor de h con relación a los diferentes tamaños de polígonos que se probaron (25, 100, 225 y 400 km²); sin embargo, las diferencias entre los valores de h correspondientes no fueron tan marcadas, con valores de 3 472, 5 395, 6 750 y 7 797 m, respectivamente. Por tanto, con base en lo recomendado por ^{de la Riva et al. (2004}), el doble de la distancia aleatoria media se probó también como el valor de h; sin embargo, ni la DAM ni su versión duplicada trabajan directamente con los puntos que definen la ubicación de los incendios forestales.

Para comprender la problemática que significa la selección de h, debe entenderse que es una variable (dentro de un modelo matemático) que puede definirse en modo fijo o en modo adaptativo. Considerando la primera opción, también se definió h con base en el concepto de la distancia promedio del vecino, donde se tomó el punto de incendio más cercano (^{Koutsias et al., 2004}). De esta manera, el valor resultante fue menor que el promedio de las DAM definidas (5 854).

Una de las primeras aproximaciones a un criterio de selección del valor de h es con base en la “regla de oro de Silverman”, la cual asume una función kernel de base gaussiana, para aproximar datos univariados, donde se sugiere seleccionar el valor de h que minimice el error medio cuadrático integrado (función de riesgo) (^{Turlach, 1999}). En este trabajo, el valor de h resultante bajo esta perspectiva fue de 9 051 m, el cual se aproxima al promedio del criterio del doble de las DAM probadas (11 707); sin embargo, considerando una función kernel triangular, el valor de h resultante fue más del doble (21 996).

Por otra parte, considerando que la distribución se desvía de la normalidad, la implementación del algoritmo de rango intercuartílico (^{Silverman, 1986}) resultó en un valor de h extremadamente sobrestimado. Esto coincide con lo encontrado por Silverman (1986) en un caso de una distribución bimodal con medias separadas, que define una distribución altamente sesgada.

Superficies continuas

Una vez definidos los valores de h, se procedió a implementar el estimador de la función kernel, con el cual se definen dos opciones para la generación de superficies continuas: a) con base en las probabilidades de densidad estimada; y b) con base en la estimación de la densidad (número de incendios por unidad de superficie) correspondiente. Considerando que en la definición de estrategias de manejo del fuego se requiere contar con cartografía que permita ubicar y dimensionar áreas prioritarias, las superficies continuas se generaron con base en la densidad estimada con los diferentes valores de h. La Figura 2 muestra las superficies continuas, observándose que la superficie se “suaviza” a medida que el valor de h incrementa, mientras que, en valores bajos de h, la superficie continua tiende a definir regiones circulares alrededor de los puntos (incendios forestales), lo que se conoce como el fenómeno de “ojo de buey”.

Figura 2 Superficies continuas de la densidad de incendios forestales (pixeles de 14 400 m² [120 x 120 m]), derivadas de la función de densidad kernel con diferentes valores de ancho de banda (h). 

Selección de ancho de banda (h)

Una opción para la selección del valor de h es hacerla en forma intuitiva, con base en una perspectiva visual (^{de la Riva et al., 2004}; ^{Koutsias et al., 2004}; ^{Krisp et al., 2009}); es decir, subjetivamente se selecciona el valor de h que produzca una superficie continua, cuya suavidad sea más “aleatoria” que “estructural” (^{Kuter et al., 2011}). Por lo anterior se considera que esta selección es un acto más de arte que de ciencia (^{Krisp et al., 2009}), lo cual no permite definir procesos replicables y estará siempre supeditado a la experiencia de la persona que haga tal selección (^{Turlach, 1999}). Como alternativa, en este trabajo se implementaron criterios estadísticos, observando en la Figura 3 que al comparar las superficies continuas (generadas por los diferentes valores de h), los errores tienden a incrementarse a medida que el valor de h aumenta. Esta tendencia se ajusta a una regresión polinómica de segundo orden (Cuadro 2), sin llegar a definir un comportamiento asintótico, por lo que no es posible establecer un punto de quiebre que permita definir un valor (o un rango) de h máximo. Esto sugirió que se debe establecer una superficie de comparación común para analizar las estimaciones de la densidad de incendios forestales.

Figura 3 Distribución de errores en relación con el ancho de banda (h), al comparar estimaciones de densidad de incendios en áreas definidas por diferentes h. RECM = raíz de error cuadrático medio, REMCI = raíz de error medio cuadrático integrado. 

De acuerdo con lo anterior, considerando la RECM y una superficie de comparación común de 10 km², en la Figura 4 se observa que a medida que el valor de h aumenta, el error de estimación también lo hace, y como se observó en la Figura 2, la “suavización” de las superficies continuas aumenta en proporción con el incremento del valor de h. Esto implica que la selección de una superficie continua suavizada (^{de la Riva et al., 2004}; ^{Koutsias et al., 2004}; ^{Kuter et al., 2011}) no necesariamente define el mejor valor de h. El Cuadro 2 presenta los estadísticos que corresponden a esta tendencia. Considerando que la utilidad de la fórmula del RECM puede ser dudosa en la práctica, ya que depende de la densidad desconocida f, el REMCI se usó como una medida global de la precisión del estimador (^{Álvarez & Yohai, 2012}). La tendencia entre REMCI y h fue similar; sin embargo, el modelo de ajuste presentó un valor menor de r² (Cuadro 2), mostrando un comportamiento asintótico aproximadamente cuando h = 15 000 m.

Figura 4 Distribución de errores de estimación de la densidad de incendios forestales en relación con el ancho de banda (h), considerando dos áreas de comparación. RECM = raíz de error cuadrático medio; REMCI = raíz de error medio cuadrático integrado. 

En el caso de la superficie común de 100 km², los errores de la RECM fueron mayores y muy parecidos entre los diferentes valores de h. Esta tendencia sugiere que, a medida que el área de comparación aumenta, el error de las estimaciones tiende a ser más homogéneo. Con relación al REMCI, el comportamiento fue similar al del RECM; no obstante, se observa que, en valores bajos de h, hay una tendencia marcada a reducir el error. Por otra parte, en ambos casos (RECM y REMCI) se llega a definir una tendencia asintótica a partir de valores de h menores de 5 000 m. La comparación de REMCI, considerando las áreas de 10 y 100 km², sugiere que el valor de h en el cual se tiende a un comportamiento constante del error se encuentra entre 5 000 y 10 000 m, donde se incluyen los valores definidos en los procesos presentados en el Cuadro 1: distancia aleatoria media (h = 5 395, 6 750, 7 797 m), doble de la distancia aleatoria media (h = 6 944 m), distancia promedio al incendio más cercano y “regla de oro de Silverman” (^{Silverman, 1986}).

De acuerdo con los resultados, se debería elegir el tamaño de h con el menor error de estimación (REMCI), lo cual corresponde al valor más bajo de h. Sin embargo, esto no garantiza que se tenga el valor de h más adecuado, ya que también se debe considerar que la variación (CV) de la densidad de incendios forestales disminuye a medida que el tamaño de h aumenta (Figura 5). No obstante, tampoco la elección de valores de CV bajos garantiza la elección de valor de h más adecuado.

Figura 5 Tendencia del coeficiente de variación de la densidad de incendios forestales en relación con el aumento del ancho de banda (h). 

Con base en lo anterior, se encontró que la varianza (CV) disminuye al aumentar el valor de h, mientras que el sesgo (REMCI) aumenta; ocurre lo contrario al disminuir el valor de h. Por tanto, la definición del valor más adecuado de h será aquel que represente un compromiso entre varianza y sesgo (^{Álvarez & Yohai, 2012}). Para ello, con base en el comportamiento asintótico de REMCI, se define una alternativa para determinar el valor de h, al ubicar el punto de quiebre o al menos un rango de quiebre donde se inicia la asíntota. Para esto, se determinaron los valores de porcentaje comparativo (PC), con base en el cual se define un rango de quiebre, alrededor de los 5 000 y 6 000 m (Figura 6a), situación que coincide para los dos tamaños de polígonos de comparación (10 y 100 km²). Para tratar de ubicar un punto de quiebre, se modelaron las tendencias del PC (P-10: y = -9E-08x2 + 0.0025x + 83.87, [R² = 0.5891]; P-100: y = -1E-07x2 + 0.0035x + 79.358, [R² = 0.5891]), cuyo cruce definió un punto de coincidencia alrededor de 5 600 m (h), lo cual se ubica dentro del rango de quiebre definido (Figura 6b). Finalmente, el valor de h estadísticamente más adecuado será aquel que más se aproxime a 5 600 m y que se ubique dentro del rango de 5 000 y 6 000 m. De acuerdo con esto, el proceso de definición de h que más se aproxima a este valor es el de distancia aleatoria media (h = 5 395 m).

Figura 6 Error comparativo en referencia al REMCI (raíz de error medio cuadrático integrado) superior próximo y variaciones de h (ancho de banda): a) media móvil y b) modelo polinómico (segundo orden). P-10 y P-100 = polígonos de comparación de 10 y 100 km², respectivamente.