1. PRÓLOGO

Este artículo aborda diversas cuestiones relacionadas con la mirada que se activa en los bocetos o dibujos que representan figuras del mundo de la geometría o de las obras de arte. Se trata tanto de comprender su funcionamiento como de estudiar su necesidad desde un punto de vista didáctico.

^{Duval (2018)} afirma que ante una figura geométrica “construida” con instrumentos, y no dibujada a mano alzada, o ante una obra pictórica, “ver” y “reconocer” es lo mismo, pues son los mismos procesos cognitivos de reconocimiento visual los que controlan la mirada. Así, ante una figura geométrica, no basta con saber qué propiedad tiene, o tener conocimiento de lo que representa, para “verla” y poderla utilizar. Primero se requiere reconocer visualmente todas las configuraciones posibles que la figura ofrece a la mirada ya que, en matemática, reconocer implica que se pueda convertir espontáneamente una representación de un registro en otro.

Ante una figura geométrica o un cuadro, los procesos de reconocimiento que controlan la mirada son cognitivamente complejos. Estos procesos no son los de la percepción de los objetos de nuestro entorno, ni los relacionados con la coordinación de los registros. Pero requieren el despliegue de transformaciones semióticas específicas de los registros de representaciones bidimensionales. El análisis comparativo necesario en geometría para “ver” las formas de una figura y las habilidades que se requieren para ver una pintura han permitido distinguir operaciones cognitivas comunes que se basan en las formas percibidas, es decir, en las unidades figurales que surgen de la estructura geométrica de la figura o de la composición de la pintura. Las transformaciones puramente figurales son como metamorfosis del reconocimiento a las cuales las unidades figurales pueden dar lugar en la mirada, sin necesidad de distinguir lo que se vea en el papel, en el lienzo o en la pantalla.

Para permitir que los alumnos entren en el mundo de la geometría (todos, sin ninguna excepción), deben empezar por la educación de la mirada, antes de cualquier adquisición de conocimientos, antes de cualquier exigencia de razonamiento o, de cualquier uso de instrumentos de medida y de fórmulas para calcular. Sin esto, seguirá existiendo una incomunicación insuperable entre alumnos y profesores. Porque, ante una figura, los alumnos no ven en absoluto lo mismo que ven los profesores o los matemáticos.

En la primera parte del texto se esboza el esquema programático de una enseñanza de la geometría elemental, en el cual, es la educación de la mirada es la que introduce al mundo de la geometría.

La segunda parte del texto profundiza más decididamente en el mundo del arte. En ^{Duval (2018)}, se destacó el problema del reconocimiento de la imposibilidad en la observación de una figura o de una obra de arte.

Aquí nos preguntamos: ¿Qué caracteriza esa imposibilidad?, ¿Cómo se percibe con la mirada? A través de ejemplos apropiados, se intenta responder a estas preguntas.

A continuación, se evidencia cómo el análisis semiótico es necesario en la interpretación de ciertas obras de arte, tomadas como modelo; y cómo la mera mirada o la simple observación, sin indicaciones semióticas interpretativas precisas dadas por el autor, permiten captar solo la imagen, pero no el significado. Esto se trata de una debilidad de la sola mirada que, sin dejar de ser la protagonista de este estudio, debe ir acompañada del conocimiento, al menos en ciertas ocasiones, como las que se toman como ejemplo.

En el texto ponemos en evidencias similitudes y diferencias entre la educación de la mirada en geometría elemental y en arte figurativo y contestamos a las siguientes preguntas: ¿Qué variables cognitivas y didácticas intervienen en estas miradas? ¿Cómo se representa la imposibilidad en el arte? ¿Qué elementos semióticos pueden intervenir en el arte?

2. EL CONFLICTO COGNITIVO RELATIVO A LA GEOMETRÍA ELEMENTAL EN LA ESCUELA PRIMARIA Y SECUNDARIA

Desde un punto de vista matemático, la especificidad de la geometría elemental no es la de introducir figuras que vemos y podemos construir, sino utilizar términos definidos para saber qué representan y poder recurrir a ellos para nombrar y describir. En otras palabras, en la geometría elemental no se tendrían que ver las figuras a simple vista, al contrario, hay que usar lentes especiales para mirarlas. Estos lentes son las hipótesis dadas junto a la figura, a veces sin ella, que enuncian sus propiedades. En este sentido, la forma en que tenemos que mirar las figuras en la geometría elemental está en las antípodas respecto de la forma en que miramos un cuadro en un museo. Un cuadro a menudo no necesita palabras: lo que ofrece para ser visto es autosuficiente y habla su propio lenguaje específico a los ojos. En realidad, no siempre es así, como mostraremos más adelante.

La enseñanza de la geometría elemental en la escuela primaria y en los primeros años de la secundaria se enfrenta a esta inversión de la relación cognitiva entre el ver y el decir, donde las palabras ya no designan lo que se ve. Las columnas (A) y (B) del cuadro siguiente representan este conflicto cognitivo inherente a la actividad geométrica. Y las tres flechas entre estas dos columnas representan el dilema pedagógico que implica este conflicto cognitivo para la organización de las actividades de aprendizaje. Se parte de lo que interesa en matemática, y que solo se puede entender y no ver: pero entonces todo se vuelve ininteligible, como fue el caso de la enseñanza de la geometría en el período de la llamada “matemática moderna” en los años 70-80; o bien, se parte de figuras que se pueden ver, construir, medir y clasificar, por ejemplo los polígonos regulares, pero entonces se abre una brecha entre una geometría empírica concreta y una geometría en la cual se resuelven problemas mediante micro demostraciones.

Figura 1 Esquema del problema didáctico de la enseñanza de la geometría. 

Tanto si se adopta el enfoque experimental e inductivo, como si se adopta el directamente vinculado con el descubrimiento de propiedades a partir de las restricciones que toda construcción de figuras requiere, la enseñanza de la geometría en primaria y en los primeros años de secundaria resulta conducir a un callejón sin salida. Los estudiantes, en su gran mayoría:

Estos cinco obstáculos persisten a lo largo de todo el camino hasta la escuela secundaria.

El bloqueo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría en la escuela primaria y en los primeros años de secundaria proviene de ignorar o descuidar el conflicto cognitivo entre el “decir” y el “ver” el cual es inherente a la geometría elemental.

Dos preguntas son esenciales para aclarar los procesos cognitivos de comprensión específicos de la geometría elemental:

3. ANÁLISIS DEL PROCESO DE RECONOCIMIENTO VISUAL COMO PRERREQUISITO PARA “COMPRENDER” EN GEOMETRÍA ELEMENTAL

Desde un punto de vista cognitivo, “ver” es reconocer una forma de un vistazo gracias a su contorno cerrado o por el color que la resalta, como “figura”, desde un fondo en relación con otras formas. Este reconocimiento visual se funde con el reconocimiento cognitivo del objeto cuyo perfil es su contorno característico. Pero ambos son independientes el uno del otro. Por lo tanto, al mirar un cuadro en un museo, el reconocimiento cognitivo de lo que está pintado allí es a me-nudo inútil: puede incluso ser un obstáculo para la “escucha visual” del cuadro.

Ver es, en general, un proceso automático que no implica los aparatos cognitivos, un acto puramente sensorial; pero, en geometría, este proceso adquiere un papel determinante en el aprendizaje o en la acción escolar: no solo hay que “ver”, sino “saber ver” gracias a un entrenamiento cognitivo adecuado, lo cual significa distinguir, reconocer, establecer, relacionar, ...; mientras que en el mundo del arte figurativo “ver” puede coincidir con reconocer ciertas expresiones, pero sobre todo interpretar, a partir de conocimientos específicos, otros modos artísticos (arte abstracto, informal, surrealismo, arte analítico, arte cinético...).

Las columnas I, II y III del diagrama siguiente (figura 2) representan el proceso cognitivo del acto de reconocimiento visual de los contornos cerrados en 2D, a simple vista, independientemente de cualquier hipótesis, es decir, antes de cualquier reconocimiento cognitivo de los objetos que representan.

La columna I recuerda el análisis gestáltico del proceso cognitivo del reconocimiento visual.

La columna II introduce la noción central para analizar este proceso, la de “unidad figural”. Una unidad figural se caracteriza por su número de dimensiones nD, y por el número de dimensiones de su soporte material, 2D o 3D, lo que permite distinguir las figuras y los patrones. Son las unidades figurales que se ven y se reconocen a simple vista.

Por último, la columna III muestra un salto entre las unidades figurales nD inmediatamente reconocidas y todas las posibles unidades figurales nD que se pueden reconocer visualmente.

Para la geometría plana y para la pintura, todas las unidades figurales son obviamente unidades 2D/2D. Este proceso cognitivo de reconocimiento visual es el mismo tanto si se mira una figura geométrica como si se mira un cuadro. El poder heurístico de las figuras y la creación de las pinturas residen en la actividad de la mirada que las explora o contempla, y no en el ensamblaje de contornos cerrados o de superficies que conforman la figura trazada o la pintura.

Figura 2 Esquema del proceso cognitivo de comprensión en geometría elemental. 

La comparación de los dos esquemas muestra las diferencias entre el punto de vista matemático y el cognitivo para analizar la adquisición de conocimientos en geometría.

La columna A del diagrama didáctico (figura 1) se sustituye aquí por las columnas I y II, que hacen hincapié en el salto cognitivo que deben dar los alumnos para entrar en la modalidad matemática de mirar una figura, independientemente de las hipótesis dadas. La columna IV se basa en la columna B del diagrama anterior, salvo por una diferencia: ya no se trata de decir o de nombrar para “ver” lo que la figura representa, sino de nombrar para deducir nuevas propiedades a partir de hipótesis. Pero lo importante es la relación, en cada uno de los dos esquemas, entre la última columna, la del lenguaje matemático, que no cambia pasando de un esquema a otro, y las columnas correspondientes a la forma en que se ven las figuras. Esta relación está marcada por las flechas.

El esquema de la problemática didáctica (figura 1) enfatiza al mismo tiempo la reducción del “ver” como su subordinación al lenguaje y a las magnitudes, sin las cuales no es posible acceder a las propiedades y a los objetos matemáticos (flecha con línea continua de B a A). Pero las figuras, a pesar de todas las actividades de construcción, no ayudan a entenderlas (flecha punteada de B a A); estas figuras subsisten como una figura-tipo asociada a una palabra matemática (flecha punteada de A a B).

En el esquema del proceso cognitivo (figura 2) no hay conflicto cognitivo entre el ver y el decir. En primer lugar, el descubrimiento de la forma matemática de ver se produce independientemente del lenguaje y de cualquier hipótesis. Las actividades deben basarse principalmente en el reconocimiento visual de las diferentes unidades 2D que forman una configuración (flecha horizontal con trazo continuo). Esto porque cada figura, incluso las denominadas “simples” o “de base”, son configuraciones de unidades figurales nD. Ya no se trata de construir figuras, sino de descomponerlas para reconfigurar de otra manera las unidades figurales reconocidas (flecha de la columna IV a la III). Se observará que ninguna flecha parte de las columnas II y III para llegar a la columna IV.

Para comprender en geometría elemental y poder utilizar sus conocimientos, tenemos que aprender a ver y mirar todas las configuraciones nD/2D en el juego de transformaciones visuales que permiten (^{Duval, 2005}). Tenemos que ser ca-paces de reconocer espontáneamente las unidades nD/2D para poder adquirir conceptos geométricos y resolver problemas. “Comprender” en geometría ele-mental es, por tanto, sinónimo de un conjunto de otros verbos: captar signos y rasgos específicos, ser capaz de distinguir elementos de signos, reconocer

elementos específicos del dibujo o de la representación, a veces captar el significado progresivo de una figura que se presenta como una unidad estructural, saber referirse a figuras análogas, ser capaz de captar informaciones específicas.

4. LOS TRES TIPOS DE VISUALIZACIÓN GEOMÉTRICA Y PICTÓRICA

Aquí queremos destacar tres tipos de visualización que se despliegan tanto en la geometría como en la pintura. Los dos primeros se basan en el reconocimiento de formas, es decir, de contornos cerrados, comunes a la geometría elemental, a la pintura y al mosaico; se distinguen entre sí por la ausencia (2D/2D) o la presencia de la tercera dimensión (3D/2D). El tercer tipo de visualización es específico de la geometría. El primer tipo de visualización es el necesario para introducir la geometría en la escuela primaria y en los primeros años de la secundaria.

Al comparar las figuras geométricas con las pinturas, se pueden identificar cinco variables cognitivas para la visualización inicial (^{Duval, 2018, pp. 216-219}). Son las mismas que controlan la mirada y la exploración visual ante una figura o un cuadro. Y, en geometría, esto es heurísticamente decisivo para la resolución de problemas (^{Duval, 2008, p. 55,} figura 12; ^{Duval, 2015, p. 152}, figura 2).

El objetivo de la educación de la mirada en este primer tipo de visualización es lograr que los alumnos puedan reconocer todos los posibles contornos cerrados de una configuración, los reconocibles por yuxtaposición y los reconocibles por superposición, y que puedan recombinarlos para obtener diferentes configuraciones. Y esto debe hacerse casi por reflejo, en menos de uno o dos minutos. Naturalmente, todas las actividades encaminadas a este objetivo excluyen la consideración de las dimensiones y, por tanto, las actividades de medición y todas las indicaciones de longitud relativas a unidades figuradas reconocidas.

El proceso de reconocimiento visual de las unidades figurales es el mismo para las configuraciones B y C de la figura 1 (^{Duval, 2018, p. 216}). El trabajo de observación de las figuras es, en efecto, irrelevante, salvo desde la perspectiva de la heurística puramente visual; de lo contrario, la percepción seguirá siendo la principal fuente de bloqueo o error en la resolución de problemas, incluido el reconocimiento de las fórmulas que deben aplicarse para calcular una longitud o un área.

El segundo tipo de visualización impone tomar en consideración la tercera dimensión, se asocia a la invención de la perspectiva. Se trata de una construcción matemática que organiza el campo de visualización subordinando todos los contornos cerrados reunidos en la misma configuración a relaciones de magnitud (^{Duval, 2018, p. 236}, figura 10). Pero el segundo tipo de visualización es mucho más amplio, abarca cualquier composición de formas 2D/2D permitiendo la visualización de una superficie en relieve o cavidad, sólidos en 3D/2D (^{Duval, 2018, p. 233}, figura 8). En otras palabras, incluye cualquier visualización de un objeto en el espacio en función del lado desde el cual se mira, e independientemente de su posición con respecto a todos los demás objetos vistos al mismo tiempo.

La visualización propia de la geometría en el espacio es independiente de la basada en la perspectiva. Esta da lugar, para los sólidos, a la fabricación de modelos 3D/3D manipulables o en cuyas caras se pueden dibujar las intersecciones de un plano de sección, ya que el razonamiento exige volver a las unidades figurales 2D/2D y 1D/2D. Pero la visualización de un sólido en el espacio puede llevar a la visualización de un objeto imposible (^{Duval, 2018, p. 237}, figura 11).³

Por último, la visualización del relieve de una superficie moviliza una construcción matemática menos compleja, se basa en la reiteración de ciertas unidades figurales 2D jugando tanto con sus combinaciones como con su deformación progresiva (^{Duval, 2018, p. 220}, figura 3; y ^{p. 235}, figura 9). Aquí, en última instancia, lo decisivo es la mirada del artista (por ejemplo, los colores pueden ser cruciales).

El tercer tipo de visualización es el que nos permite responder a la pregunta clave para entrar en la geometría: En una figura trazada, ¿cómo pueden visualizarse propiedades geométricas que no se pueden percibir visualmente en una figura? Esta cuestión da un vuelco al problema didáctico de la enseñanza de la geometría. No se trata de construir figuras, ni siquiera con herramientas que exigen tener en cuenta las propiedades geométricas de la figura a construir (como la regla, la escuadra, el compás, …). Se trata de deconstruir las configuraciones 2D/2D en una red de líneas rectas 1D/2D subyacentes. Para dibujar esta red de rectas, es necesario no solo prolongar todos los lados de la figura, sino también enriquecerla con nuevas rectas (^{Duval, 2015, p. 162}, figuras 6 y 7).

En otras palabras, la actividad de deconstrucción dimensional permite supe-rar inmediatamente los obstáculos (2) y (3) mencionados anteriormente, mientras que la actividad de construcción conduce, por el contrario, a reforzarlos cognitivamente e institucionalizarlos. Solo en una red de rectas deconstruidas dimensionalmente podemos ver las propiedades geométricas; todas estas se destacan visualmente como la relación entre dos unidades figurales, ya sean de la misma o diferentes dimensiones (^{Duval, 2015, p. 164}, figura 8).

Estos tres tipos de visualización son no icónicas. Se oponen a la visualización icónica, con la cual la pintura, desde el arte parietal de los Salones de los nobles del siglo XIX, se ha confundido durante mucho tiempo. Aquí, “ver” una imagen significa reconocer de un vistazo el tipo de objeto que representa: un rostro, un animal, una flor, etc. En otras palabras, el criterio de la iconicidad es la posibilidad de yuxtaponer el modelo con la representación que la reproduce a partir de trazos o manchas, y no “imitándolo”.

Pero este reconocimiento solo puede producirse con una doble condición: hay que conocer tanto el objeto representado, es decir, haber visto uno en precedencia; como también “ver” la similitud entre el contorno cerrado que se ha trazado y el contorno del objeto. El grado de particularización e información de la imagen, o del cuadro, depende entonces de la correspondencia que pueda establecerse entre los trazos internos al contorno cerrado y los detalles observables del objeto representado.

La superposición intuitiva de los respectivos contornos y el grado de particularización de la imagen son los dos criterios de similitud entre un dibujo o una pintura y lo que estos representan. Estos dos criterios permiten así distinguir grados de iconicidad entre la iconicidad perfecta de algunos cuadros que muestran a la “persona misma”, por ejemplo en el caso de un retrato, y la generalidad extrema de un esquema que reduce el objeto a unos pocos rasgos (^{Duval, 2018, pp.223-225}, figuras 4 y 5).

En pintura, el tipo de visualización basado exclusivamente en el reconocimiento de unidades figurales en 2D condujo a la revolución de la llamada pintura “abstracta”. Las formas de los objetos 3D/3D, tal y como las ve la mirada, se descomponen en fragmentos, geometrizados o relevantes desde diferentes puntos de vista posibles sobre el objeto, y los fragmentos elegidos se ensamblan en una reconfiguración no icónica (^{Duval, 2018, p. 225}, figuras 6 y 7).

5. ¿CÓMO EL VER UNA FIGURA, UNA IMAGEN O UN DIAGRAMA TRAE A LA MENTE PALABRAS?

La respuesta a esta pregunta cambia radicalmente según el tipo de visualización y según la función que llena la producción verbal. Nos limitaremos aquí a considerar solo las figuras geométricas construidas instrumentalmente.

Las herramientas imponen, en el momento de la construcción de las figuras, la restricción de ciertas propiedades que las distinguen unas de otras (regla y compás o las instrucciones de un programa informático) y, por tanto, términos geométricos. En cualquier caso, cuando se mira una figura para resolver un problema, poco importa el tipo de herramienta que se utilizó para construirla, regla y compás o instrucciones de un “menú”, lo que cuenta es la forma en la cual se mira esa figura, independientemente de cualquier dimensión y de cualquier relación entre dimensiones. Entre los diferentes tipos de visualización que acabamos de distinguir, desde el punto de vista de su funcionamiento cognitivo, solo dos son esenciales en lo que tiene que ver con la educación de la mirada en geometría.

El primer tipo de visualización matemática se refiere a la exploración visual heurística de las figuras a través de la descomposición y reconfiguración de unidades figuradas en 2D. La exploración visual de una figura es previa a cualquier formulación e independiente de las distintas propiedades que puedan tomarse como hipótesis.⁴ Esta exploración puramente visual es más intuitiva y menos exigente que cualquier descripción o explicación verbal; por otra parte, descripciones o explicaciones verbales nunca han enseñado a mirar las figuras de forma matemática. Esta exploración visual es la que permite reconocer el teorema, la definición o la fórmula pertinente para resolver un problema asignado. Sin embargo, como por toda actividad intencional, mirar requiere una verbalización silenciosa que controle la gestión de esta exploración puramente visual y condense el resultado. La característica de esta verbalización silenciosa, como señaló Vygotsky, es que no necesita palabras para designar o calificar las unidades figurales 2D que han sido descompuestas y reconfiguradas por la mirada.

Por el contrario, el segundo tipo de visualización, es decir la deconstrucción dimensional de las formas, requiere una formulación explícita de las diferentes relaciones entre dos unidades figurales de menor dimensión que las unidades figurales 2D que han sido deconstruidas dimensionalmente. Es la deconstrucción dimensional la que permite comprender todo el vocabulario geométrico básico: esta excluye toda verbalización silenciosa. Y el uso del vocabulario, a diferencia de las palabras del lenguaje común, no se pueden utilizar más que en el razonamiento que funciona por sustitución de enunciados y no por acumulación de “razones” como pasa en una argumentación (figura 2, IV: denominar para deducir). Y, para que tenga sentido, nunca es necesaria una figura. ¡Solo hay que indicar las hipótesis! Eso, al menos para los matemáticos y los profesores. Y este es el espejismo que lleva a la enseñanza de la matemática a un callejón sin salida. Para los matemáticos y los profesores, esta formulación explícita basada en la deconstrucción dimensional de las formas detecta una verbalización silenciosa, tanto que se les ha hecho evidente y familiar. Y esta se proyecta en la exploración heurística visual de las formas, como si la visualización y el lenguaje matemático fueran cognitivamente la misma cosa.

Estos dos tipos de visualización se basan en el principio de separación de formas y dimensiones. En cambio, la visualización de la tercera dimensión subordina la construcción de unidades figurales en 2D a las igualdades de relaciones entre cantidades determinadas a partir de un punto de fuga. La construcción matemática es la de una red de rectas que convergen hacia un punto de fuga, y la construcción de formas 2D se realiza sobre esta red de rectas en función de las relaciones de magnitudes elegidas desde este punto de fuga para marcar su mayor o menor distancia. Ver una figura en este caso significa discernir esta red de rectas, que no evoca palabras sino números y cálculos. La visualización icónica de los edificios en el espacio (3D/3D) se basa en la estructuración previa de su campo mediante una red de rectas que convergen hacia un punto situado por encima de una recta, la línea del horizonte.

En geometría, por tanto, ver y entender son operaciones fuertemente conectadas estructuralmente; si entender sin ver (en cualquier forma de visión) se presenta como imposible, lo contrario es, en cambio, un fenómeno muy presente: un constructo geométrico es visto como una acción sensorial, pero su sentido, su mensaje, no puede ser interpretado, y por tanto no es entendido; cognitivamente hablando, ese constructo no tiene el sentido que su creador-hacedor pretendía darle. Ver y comprender no son en absoluto sinónimos, es más, es precisamente en su dicotomía donde se crean situaciones de aprendizaje negativas. En el arte, a veces se puede crear una ilusión de comprensión, ligada al ver; pero la mayo-ría de las veces, esto es solo una ilusión; un inexperto en arte figurativo ve una obra de Jackson Pollock, pero no tiene ningún apoyo en lo cognitivo que posee: ve, pero no puede entender el significado de la operación pictórica, ni siquiera si recurre a un nombre, un título o una leyenda. Pero aquí, a diferencia que en geometría, la palabra no suele designar lo que el cuadro representa, sino lo que inspiró al pintor o la resonancia de las cosas y la luz en la mirada de quien mira (^{Duval, 2018, pp. 227-228}), a menudo con referencia a la historia del arte, cuyo conocimiento reside en lo cognitivo y no solo en la visión.

6. ¿CÓMO PERCIBIR, RECONOCER Y EVALUAR LAS FIGURAS IMPOSIBLES EN EL ARTE FIGURATIVO? DE LA MIRADA AL ANÁLISIS VISUAL

Como ya habíamos anticipado, continuando el estudio iniciado por ^{Duval (2018)}, abordamos ahora el problema del reconocimiento de la imposibilidad (estructural) de una imagen 3D representada en perspectiva en una superficie 2D. En este caso, la mera mirada ya no parece ser suficiente, ni sirven comparaciones en tres dimensiones, definiciones o conocimiento de términos.

Para hacer más efectivo el estudio, recurriremos a ejemplos del arte figurativo contemporáneo; otros ejemplos, incluso más antiguos, pueden encontrarse en ^{D’Amore (2015a)}.

A partir de 1934, el entonces joven pintor sueco Oscar Reutersvärd se dedicó a dibujar “figuras imposibles” (este era el nombre original), entre las que destaca desde el principio, es decir, mucho antes de 1958, el llamado “triángulo de Penrose” (^{D’Amore, 2000}, ²⁰⁰², ^2015a). Esto no quita que, mientras el artista representaba lo imposible geométrico por puro gusto estético y para refinar una sensibilidad de perspectiva personal, los Penrose fueron los primeros en estudiar la psicología relacionada con la visión humana de esta forma 2D que alude a una 3D imposible (^{Penrose y Penrose, 1958}). Sin embargo, el artista sueco se dedicó sobre todo a una versión asombrosamente diferente y muy famosa que consiste en cubos de perspectiva (^{D’Amore, 2005}).

Figura 3 Opus 1, Oscar Reutersvärd, 1934. 

La mirada capta la imposibilidad global con mayor dificultad que en el clásico triángulo imposible de los Penrose, quizá debido a la fragmentación de los componentes y a la dificultad de coordinar la mirada sometida a múltiples sugerencias visuales; los tres componentes laterales, lo que en el triángulo imposible serían los tres “lados”, cada uno de los cuales (aisladamente) es posible, están aquí constituidos por cuatro pequeños cubos, cada uno de los cuales está correctamente representado desde un punto de vista perspectivo. Se puede eliminar el cubo central y estudiar lo que queda de la propuesta del artista.

Figura 4 Elaboración de Opus 1, Oscar Reutersvärd. 

La mirada queda como atrapada por la ilusoria estrella de 6 puntas que parece aparecer en el centro y el lenguaje silencioso la comenta mentalmente, describiéndola; en el transcurso de una segunda mirada, esta imagen se impone, como señaló el mismo artista.

A este momento se puede realizar una operación gráfica muy interesante: eliminar los dos cubos centrales de cada lado del triángulo, un lado a la vez, con el fin de restaurar una consistencia aceptable de la perspectiva de los tres componentes diferentes del diseño (^{D’Amore, 2015a, p. 458}).

Figura 5 Elaboraciones de Opus 1, Oscar Reutersvärd: cada una de ellas es perspectivamente aceptablemente correcta. 

La “yuxtaposición gráfica” de tres figuras aceptablemente correctas desde el punto de vista perspectivo (aunque no perfectas) es una figura perspectivamente imposible.

En este análisis de una obra de arte, queda claro el papel que juegan las miradas, o, dicho de otra forma, su concatenación; y la importancia del llamado “diálogo silencioso”.

7. EL PAPEL EXPLÍCITO DE LA SEMIÓTICA EN EL ANÁLISIS DE UNA OBRA DE ARTE, SEGÚN LA PRETENDE EL AUTOR: CUANDO LA MIRADA YA NO ES SUFICIENTE PARA ENTENDER LO QUE SE VE

Recordemos la muy célebre obra Ceci n’est pas une pipe (Esta no es una pipa) que el genial pintor belga, a menudo calificado como “surrealista”, René Magritte, creó en varias versiones entre 1929 y 1946.⁵

Figura 6 La trahison des images, René Magritte, 1928-1929. 

En cuanto al título, destinado a sorprender al visitante, aunque la imagen de la pipa es icónicamente perfecta, no hay coincidencia entre el objeto 3D representado, inmediatamente perceptible y reconocible a primera vista, y su representación 2D casi fotográfica. Sin embargo, el discurso interior se vuelve interesante cuando, después de haber identificado imagen y objeto representado, al segundo vistazo el observador lee la frase subyacente y entra así en el juego semiótico 2D/3D deseado por el autor. Este es un ejemplo perfecto de una obra en la cual no solo hay que mirar, sino también leer; sin embargo, incluso la combinación mirada/lectura no es suficiente para entender el significado de la operación pictórica, si no hay más informaciones históricas-críticas-semióticas, estas últimas proporcionadas por el estudio de las intenciones del autor.

En otras obras del mismo autor, en las cuales se proponen situaciones que solo parecen reales pero que en realidad son imposibles, tiene sentido la denminación “surrealismo” (que, en arte, tiene mil facetas diferentes); pero aquí el discurso, potente y culto, es sobre la interpretación semiótica del lenguaje del arte, un rebote continuo entre lo representado, lo representante, la percepción visual, la experiencia y la semiótica subyacente. Rebote en el cual juega un papel decisivo aquel lenguaje silencioso (y personal) mencionado varias veces.

Como prueba de esto, citemos un verdadero estudio teórico de Magritte, el dibujo/manifiesto Les mots et les images (Las palabras y las imágenes) (^{Magritte, 1929}) que, aunque, como hemos dicho, es un estudio teórico, también fue expuesto como obra de arte.⁶

Figura 7 Les mots et les images, René Magritte.  

Dentro de este estudio, el detalle más famoso y perennemente discutido por su evidente referencia a una de las muchas versiones del llamado “triángulo semiótico” (^{Eco, 1975}) es el relativo a la imagen del caballo. Aparece un caballo (obviamente dibujado, pero el significado es claro), una representación pictórica del mismo (en un lienzo apoyado en un caballete), una enunciación verbal del mismo.

Figura 8 Les mots et les images, René ^{Magritte, 1929}. Particular. 

Este análisis del lenguaje pictórico mediante una tríada de referencias semióticas y sus relaciones nos lleva a recordar los trabajos del lógico matemático alemán Gottlob ^{Frege (1892)} que analizó el lenguaje lógico de la matemática. Pero sobre este punto glosamos, remitiéndonos a ^{D’Amore (2010}, ^2015a).

La idea de Magritte tuvo un largo seguimiento (que aún continúa) entre los artistas de todo el mundo, especialmente entre los que, en los años 60-80, fue-ron los creadores de la llamada corriente “conceptual científica”, aunque con sus múltiples facetas (^{D’Amore y Menna, 1974}; ^{Menna, 1975}; ^{Di Genova, 1993}). Entre los principales intérpretes no solo de la vertiente analítica, sino precisa-mente de esta coincidencia entre el arte figurativo expuesto y el análisis semiótico de la pareja objeto-representación, mencionamos por orden cronológico al estadounidense Joseph Kosuth y al francés Bernar Venet.

El objeto de arte (el que se expone) no es ni el tubo metálico real colocado en el suelo, ni su representación axonométrica, dibujada en una hoja de dibujo y colocada en un marco, colgada en la pared del fondo de una galería de arte. La obra de arte es puramente semiótica: la emergencia de un sistema de representaciones y transformaciones que llevan de una representación a otra (^{D’Amore, 2015b}).

Figura 9 Tube n° 150/45/60/1000, Bernar Venet, 1966. 

La misma operación semiótica es realizada simultáneamente por Kosuth.

Figura 10 One and three chairs, Joseph Kosuth, 1965. 

La misma obra ha sido recreada por Kosuth decenas de veces, con diferentes sillas, por tanto con diferentes fotografías, pero siempre en la tríada semiótica: objeto real, fotografía que reproduce el objeto, definición de silla tomada de un diccionario. Representaciones (fotografía y definición del objeto) en registros semióticos distintos, conversiones semióticas en curso. La obra de arte no es la tríada visual que cae bajo nuestro sentido de la vista, captada por la mirada, ni ninguno de estos objetos por separado: es la relación semiótica que emerge de estos, el forzar al observador a percibir cada elemento de la tríada con su mirada, distinguiendo sus funciones recíprocas, desencadenando un discurso silencioso que conecta cada uno de los elementos con los demás.

Sobre la interpretación de estas obras desde el punto de vista semiótico, véase también ^{Duval (2008)}.

Otra obra de Joseph Kosuth que encaja perfectamente en nuestro discurso es Neon electrical light English glass letters white eight, 1966, que representa, como dice su título, “ocho letras blancas de vidrio inglesas en vidrio de luz eléctrica de neón” (Museo Salomon Guggenheim, Nueva York); y también la obra Painting, 1966, que representa en una pintura la definición de “pintura” en un cuadro. Estas obras también se han producido multitud de veces, en distintas versiones. Kosuth representa perfectamente el espíritu de esta investigación artística, jugando con la univocidad de la referencia semántica, una especie de monosemía que se opone a la típica polisemía que siempre ha caracterizado al arte en su sentido romántico. El conjunto de su obra de este período puede resumirse en su proyecto: El arte como idea, como idea (^{D’Amore, 2015a}).

Desde nuestro punto de vista, se trata de ejemplos, tomados del mundo del arte, que muestran cómo son decisivas las relaciones (a veces opuestas entre sí) entre lo que se ofrece a la vista, la aparición objetual, la compleja referencia semiótica, el profundo y silencioso discurso interno personal y la interpretación de los distintos componentes entre sí, y luego de estos con la obra en su conjunto.

Esta complejidad no es tan diferente de ciertas situaciones determinadas en las aulas, durante las clases de geometría, cuando chocan entre ellos diferentes registros y componentes interpretativos. Así como en la obra de Kosuth, relativa a las sillas, hay implícitas transformaciones semióticas de conversión, cada una de las cuales reúne dos representaciones en registros diferentes que requieren interpretaciones específicas, lo mismo sucede al descifrar, comprender, deconstruir figuras que describen una situación, por ejemplo en relación con los diferentes pasos de una demostración o al pasar de una escritura algebraica a una analítica-gráfica cartesiana, como parece sugerir también esta obra de Venet, estudiada en detalle en ^{D’Amore (2015b)} .

Figura 11 Representación gráfica de la función y=-x2/4, Bernar Venet, 1966. Acrílico sobre lienzo, 146×121 cm. Museo Nacional de Arte Moderno, Centro Pompidou, París, Francia. 

En esta obra se destacan tres representaciones semióticas de un mismo objeto matemático:

Pero el campo de la creación es el artístico, no una lección de geometría, y en los años en los cuales las reflexiones semióticas (al menos en matemáticas) estaban aún por llegar.