Introducción

Este trabajo es el resultado de una tesis de maestría ^{(Cigarroa, 2020)}, enfocada para México en donde se cuenta con diferentes sistemas de Seguridad Social (SS) y pensiones. Uno de los principales es el Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS), que inició sus operaciones en 1943 enfocado en los trabajadores del sector privado formal en su mayoría. En el año de 1995, en México se modificó la Ley del Seguro Social para enfrentar el gradual déficit del Sistema de Pensiones (SP) tipo PAYG (Pay as you go) de Beneficio Definido (BD) para los trabajadores del sector privado formal, y afirmar la continuidad financiera del sistema, lo anterior según ^{Kato y Cárdenas (2013)}. En consecuencia, el régimen de Beneficio Definido del Seguro Social se convirtió definitivamente en un régimen de Contribución Definida (CD), donde, cada trabajador cuenta con su propia cuenta individual. La suma final que cada trabajador tendrá acceso en el momento de su retiro considerará variables que definen el monto del ahorro; en primer lugar, se observará el periodo de contribución, seguido por el nivel de escolaridad de acuerdo con ^{López y Nieto (2011)}, así como el ingreso y es estado civil. Igualmente, se debe de considerar el beneficio del mercado, de acuerdo con el ^{CONAPO (2017)} la esperanza de vida de la persona y también el riesgo de sobrevida, según ^{Cigarroa (2020)}.

El régimen del antiguo SP estaba basado en el BD, el cual se fijó en las aportaciones que tenía el trabajador a una cuenta base y al momento de llegar a una edad de retiro pudiera obtener una pensión, no obstante, se basaba en los jóvenes que estaban trabajando. Se describe este pilar con una entrada y una salida, en la entrada se consideran las aportaciones del trabajador, número de personas y el periodo laborado; como salida está la pensión, número de pensionados y la probabilidad de supervivencia. Se busca que el número de personas que están aportando en la entrada, sea mayor al número de personas pensionadas que están retiradas (salida). Como menciona ^{Sandoval (2014)}, actualmente los países tienen complicaciones demográficas, ya que la base de los trabajadores que realizan aportaciones se va reduciendo, por lo que el pico de la pirámide se ensancha al paso del tiempo, indicando que habrá más personas en edad de retiro que población joven que pueda aportar a la entrada.

Para el caso de México, la Población Económicamente Activa (PEA) en edad de retiro crece a un ritmo no esperado. De acuerdo con proyecciones del Consejo Nacional de Población (CONAPO) ^{(CONAPO, 2018)}, se calcula que para el año 2050 se tendrán más personas en edad de retiro que gente joven. Relacionando las proyecciones con las pirámides poblacionales, se visualiza la reducción de la base y el pico de la pirámide incrementa o, por lo que se dice que un trabajador mantiene a un pensionado, pero cuando la pirámide se invierta completamente esto ya no será factible, esto según ^{Cigarroa (2020)}.

Según la ^{CONSAR (2008)}, la CD es la generación de cuentas individuales por trabajador, las cuales contienen las aportaciones tripartidas, es decir, aportaciones del patrón, trabajador y gobierno; la cuenta se genera a nombre del trabajador y la cuenta estará operativa solamente cuando el trabajador este activo en el mercado laboral. Esta cuenta se invierte en una Administradora de Fondos para el Retiro (AFORE) para generar rendimientos y sumarlos a la misma. Como menciona ^{Colmenares (2015)}, al cumplir con los requerimientos podrá hacer valido su derecho de retiro, el cual, se determina mediante el uso de los recursos que ahorró en su cuenta individual. El total de aportaciones se calcula en un 6.5% ^{(Amafore, 2016)}.

Como ejemplo, los ingresos promedio de la ENIGH 2016-2018 ^{(INEGI, 2018)}, si se considera un hombre con 29 años, con un ingreso mensual de $19,591 MXN (pesos mexicanos), faltando 36 años para su retiro (65 años como edad de retiro), una sobrevida de 10 años y considerando anualmente inflación del 3%, con crecimiento del 8% en el mercado el trabajador tendría una pensión mensual dentro de los próximos 36 años de $56,780. Esto resultaría con un ahorro total de $5,144,375 MXN. Para lograr el nivel de ahorro antes descrito, la persona requeriría tener el ahorro total en su cuenta individual, para poder mantener su nivel de vida actual o anterior a su retiro. Para lograrlo, se necesitarán ahorros mensuales de 18% de sus ingresos, es decir, $3,599 MXN. Ahora, si se considera una mujer con 29 años, un ingreso mensual de $13,590 MXN, faltando 36 años para su retiro con las mismas características descrito en el primer ejemplo, tendría una pensión mensual dentro de los próximos 36 años de $39,388 MXN. Esto resultaría con un ahorro total de $3,568,580 MXN. Para lograr el nivel de ahorro antes descrito, la persona requeriría tener el ahorro total en su cuenta individual, para poder mantener su nivel de vida actual o anterior a su retiro. Para lograrlo, se necesitarán ahorros mensuales de 18% de sus ingresos, es decir, $2,496 MXN.

En algunas experiencias internacionales, se muestra el estudio del ^{CESOP (2017)}: en donde los miembros de la OCDE han decretado posponer la edad de retiro, acorde a la esperanza de vida. Por ejemplo, países como Alemania, España y los Países Bajos se han ajustado al rasgo demográfico de posponer la edad de retiro. Según el estudio de la ^{OCDE (2015)}, naciones como Suecia e Italia no pospusieron la edad de retiro debido a que tienen un sistema de reparto de cuentas nacionales que les deja estimar las pensiones. Estas naciones, determinaron que la edad de retiro sea voluntaria y la suma del monto de retiro se ajusta a la edad y esperanza de vida ^{(Diaz-Giménez, 2014)}. Debido a las modificaciones que se dieron en el SP, es de suma importancia estimar los futuros escenarios que los trabajadores pueden llegar a obtener al término de su etapa laboral. Se deben considerar las particularidades que pueden mejorar la cuenta individual del trabajador. En el escenario actual y por debajo del promedio del índice general, México aparece con un 45.3%, esto representa un SP con grandes dificultades.

En una revisión de investigaciones, ^{Carpio y Carpio (2008)} definen y miden el déficit actuarial de un sistema de pensiones, desarrollando un modelo teórico para estimar la deuda implícita a través de dos métodos diferentes ("Método retrospectivo" y "Método prospectivo"). Posteriormente, una nueva medida del desequilibrio del sistema de Seguridad Social la definen desde un punto de vista estrictamente actuarial. Esta nueva medida está relacionada con el Valor Presente Neto (VPN) estimado. Después, el modelo desarrollado se ajusta a los datos agregados disponibles en la mayoría de los países para calcular el monto de la deuda implícita del Seguro Social a través de los dos métodos diferentes. Finalmente, este modelo se aplica al sistema general de pensiones de jubilación (Régimen General).

En cuanto a investigaciones referentes a México, ^{Villagómez y Hernández (2010)} y ^{Damián (2016)}; estiman los ahorros contractuales generados por la reforma del sistema de pensiones de México y su relación con los ahorros voluntarios. Los resultados sugieren que no existe un efecto de compensación entre los ahorros voluntarios y contractuales, ^{Culebro y Figueras (2012)} analizan el desarrollo y la evolución de la reforma de las pensiones mexicanas, de dos organismos principales: por un lado, el regulador (el Ahorro Nacional para la Jubilación) y el otro, desde la administradora de fondos de pensiones diseñada como una asociación público-privada (PPP Manager Retirement Funds, Afore XXI). Encuentran, en primer lugar, la existencia de un grado horizontal de especialización y una posible falta de responsabilidad y transparencia en las organizaciones responsables de regular el sistema de pensiones y, en segundo lugar, que la presencia de valores que pueden competir en los funcionarios públicos en el desarrollo de sus funciones ha afectado desarrollo de un nuevo sistema de pensiones en México y el desempeño del regulador.

Es preciso destacar un par de investigaciones de Chile, ^{Umaña Hermosilla et al. (2015)}, donde se determinan las variables que influyen en el comportamiento de los inversores de múltiples fondos, analizando si el comportamiento está relacionado con variables racionales o con principios de comportamiento. Basado en datos obtenidos de la Encuesta de Protección Social 2006-2009, construyen un modelo logístico múltiple para determinar la influencia de las variables. Los resultados de esta investigación sugieren que variables como el sexo, la edad y la educación influyen en la toma de decisiones de los inversores. ^{Gómez et al. (2016)} dan a conocer las experiencias y percepciones de las mujeres jubiladas por parte del sistema privado de pensiones en Chile (AFP), con respecto a los montos de su pensión actual. Para esto, se entrevistaron a mujeres jubiladas, utilizando el Análisis de contenido cualitativo para el procesamiento de datos. Los resultados muestran tres categorías: percepción de fraude y arrepentimiento en la transferencia a la AFP; discriminación de género en el lugar de trabajo que impacta en la jubilación; y empobrecimiento y sufrimiento en la vida diaria. Concluyen que las experiencias subjetivas de las mujeres están marcadas por el sufrimiento, la impotencia y el pesimismo.

Algunas investigaciones españolas interesantes se muestran en ^{Pérez-Salamero et al. (2016)}. Quienes contribuyen a un mejor conocimiento de la Muestra Continua de Vidas de Trabajo (CSWL, por sus siglas en inglés) en relación con la información de los beneficios de pensión. El CSWL 2010 es analizado considerando los datos agrupados por tipo de beneficio, cohortes de edad y género, así como por cantidad. Después de realizar las pruebas estadísticas apropiadas sobre el ajuste de la muestra a la población con base en los datos del informe estadístico INSS 2010, concluyen que el uso de CSWL para algún tipo de análisis dado su diseño inicial (muestreo aleatorio simple), algunos errores administrativos y problemas de clasificación errónea, podrían implicar que los datos seleccionados no son representativos de la población en estudio. ^{García y Nave (2018)} calculan el efecto directo de la reciente reforma del sistema público de pensiones español en los beneficios de pensiones. Aplicando modelos de micro simulación a una muestra de 5,025 vidas laborales de individuos jubilados en 2011, concluyen que la reforma tiene en promedio una incidencia negativa en las dos variables analizadas: la pensión inicial y la edad de jubilación. Mientras que, ^{De la Fuente et al. (2019)}, construyen proyecciones a largo plazo de los ingresos y gastos del sistema público de pensiones español bajo diferentes escenarios macroeconómicos y diferentes opciones de política utilizando un modelo dinámico de equilibrio general. En el trabajo de ^{Ortiz et al., (2019)} sugieren que hay margen para las medidas que mitigarán los efectos adversos del nuevo índice de actualización de pensiones. Finalmente, para el caso colombiano ^{Gómez et al. (2019)}, utilizan un modelo de simulación para analizar el nivel de inequidades del Régimen de Abono Salarial Medio (RPM) colombiano usando un enfoque de valor presente de contribuciones y beneficios. También se propone un sistema de pensiones alternativo basado en contribución compartida.

Hablando de aplicaciones y en perspectiva, cuando se requiere atrasar la edad de retiro mientras se incrementa el número de gente adulta con una edad de 50 y más, es trascendental que se planee la sobrevivencia al término de la etapa laboral. En el análisis de Melbourne Mercer Global Pensión Index^{(Mercer, 2018)}, se dice que los retos no atañen solo a México, sino que muchos de los casos que tienen relación con pensiones son similares en varias naciones, la diferencia es el régimen bajo el cual se administran, es decir, el régimen BD o CD.

Dicho análisis plantea clasificar a las naciones de la A, a la E, esto en función de sus particularidades y a través de un índice ponderado de 0 a 100%, esto con las particularidades de adecuación, sostenibilidad e integridad. Como naciones líderes están los Países Bajos y Dinamarca con el mayor una mayor ponderación. México se ubica en la clasificación D, describiéndose al sistema con deficiencias significativas que se consideran para mejorar su funcionamiento en la Figura 2.

Fuente: elaboración propia con datos de ^{Mercer (2018)}.

Figura 2. Particularidades de los SP 

El primer SP en México fue el régimen del 97, mejor conocido como Ley del Seguro Social de 1973. En la actualidad sigue vigente para las personas que aún no han decidido retirarse y se afiliaron antes del primero de junio de 1997. La modificación a la Ley del Seguro Social se dio en 1992, cuando se estableció que los patrones debían aportar el equivalente al 2% del Salario Base de Cotización (SBC) en favor de los trabajadores formales tanto del sector público como del sector privado.

Los trabajadores en función de su esquema de SS se encuentran afiliados y estarán cotizando las semanas laboradas. Las cuentas individuales son administradas por instituciones financieras denominadas AFORES y al cumplir con los requisitos adecuados, los fondos podrán ser requeridos. Si se considera el estudio de ^{Carranza et al. (2016)} y a la ^{CONSAR (2016)} la reestructuración del SP en México se basó en el caso de Chile, el cual está conformado por una cuenta individual donde se hacen los depósitos del ahorro ^{(García y Seira, 2015)} y pueden ser utilizados al momento del retiro. Dichas cuentas han sido gestionadas por Administradoras de Fondos de Pensiones (AFPs), el total del ahorro sumado al rendimiento de los fondos es el monto final de la pensión al cual tiene derecho el trabajador, como se menciona en el trabajo de ^{Cigarroa (2020)}. A continuación, se muestra en la Tabla 1 un comparativo del SP de algunos países con mayor participación en este tipo de administraciones

Adicionalmente, se pretende que el total de la cuenta se incremente con aportaciones voluntarias, sin descartar la volatilidad del mercado. Estas aportaciones se encuentran vigiladas por las Sociedades de Inversión Expertas en el manejo de los Fondos para el Retiro (SIEFORES). Incluyendo cinco tipos de fondos y clasificados por edades de los trabajadores, cada uno incluye diferentes medios para invertir, estando relacionados con la edad y con los rendimientos de acuerdo con los años restantes para el retiro.

El SP en México se encuentra conformado por cuatro bases que son: los regímenes de pensiones sociales, BD, CD y ahorro voluntario individual como se observa en la Figura 3.

Fuente: elaboración propia con datos de ^{CONSAR (2017)}.

Figura 3. SP en México 

La investigación presente se conforma de esta manera; en la introducción se presentan los antecedentes del sistema de pensiones, desde su evolución hasta sus efectos en la etapa de jubilación; en la segunda sección se encuentra el método de análisis empleado; posteriormente se presentan los resultados obtenidos del análisis del sistema de pensiones; en la sección de análisis con indicaciones de uso de herramientas analíticas a la fuente de información; mientras que finalmente en la sección de discusión se muestran las conclusiones al nivel de cumplimiento del objetivo de la investigación.

Método

La presente investigación tiene un método dividido en tres atapas, en donde la tercera tiene el mayor peso de análisis de tipo cuantitativo y con corte actuarial-económico descriptivo de variables sociodemográficas en México ^{(Barreiro, 2003)}. En la primera etapa, se comienza con el análisis de la PEA, que la integran todas las personas de 12 y más años que realizaron algún tipo de actividad económica (población ocupada), o que buscaron activamente hacerlo (población desocupada abierta, clasificándose en población ocupada y población desocupada abierta o desocupados activos, ^{INEGI (2018)}. En la segunda etapa, se ubicaron a todos los individuos que cotizan, es decir, laboran en el sector formal al tiempo que se levantó la encuesta. El 2016 indicó el mayor porcentaje, el 72% se encontró en un trabajo formal; el 2012 indicó el nivel más bajo de individuos que cotizaban. En comparación, los empleos del sector formal en los Estados del sur de México tienen menor presencia con una participación del 22% de los trabajadores que cotizan. El Estado de Yucatán se colocaba con el 3% de personas que cotizaban al 2012, pero en 2016 disminuyó al 2% colocándose como el Estado con menor cantidad de personas cotizando con una participación del 0.07%. Hay varias circunstancias que originan una pensión, especialmente los individuos que cotizan en un organismo de SS. El 48% de los individuos tiene la esperanza de obtener una pensión mediante una prestación, dígase por las aportaciones efectuadas a su cuenta individual y con el manejo de una AFORE ^{(Román, 2015)}. El 31% de los trabajadores, no puede acceder a una pensión. Sólo el 1%, prevé alcanzar una edad longeva adquiriendo un seguro. Con relación a lo antes mencionado, ha aumentado la cantidad de individuos a través del tiempo.

En contraste, 22% de la gente no laboró un mes antes del día que se realizó la encuesta, esto equivale a 23,205 personas. No obstante, se mantiene constante la cantidad de personas que no desea laborar, especialmente, la población joven menor a 27 años, dígase la gente que va a culminar su etapa estudiantil y todavía no desean incorporarse al mercado de trabajo. Los resultados de la encuesta arrojaron un total de 61,282 hombres y 43,340 mujeres censados, quienes se ubicaban en un régimen con un trabajo formal. Por otro lado, personas por debajo de los 27 años, de los cuales 19% resultaron ser hombres y 17% mujeres, de estos últimos resultados predominó el género masculino en un régimen con un trabajo formal.

La organización del Sistema Educativo Nacional se divide en tres niveles. El primer nivel consiste en la Educación Básica, esta se organiza por preescolar, primaria y secundaria. El nivel Medio Superior está diseñado para estudiantes de 15 años y más, este nivel contempla bachillerato de 3 años; en algunos subsistemas se contemplan, estudios de formación con especialización técnica que están diseñados para ser cursados en dos años. El nivel básico y el nivel medio superior son obligatorios, como lo marca el artículo tercero de la Carta Magna, Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos.

El nivel Superior, está constituido por formación que proporcionan las instituciones de nivel profesional, universidades, normales o tecnológicos superiores; otorgan un título de licenciatura o de nivel profesional. En el nivel superior se incluye la formación de nivel posgrado que contempla la especialización en áreas específicas. Los resultados de la encuesta también arrojaron que el 9% culminó en su totalidad el nivel básico, el 20% culminó el nivel medio superior y superior, sólo el 1% se formó como docente. No obstante, en México no hay interés para especializarse mediante un posgrado, sólo el 0.38% concluyó el nivel de doctorado, como lo indica en su trabajo ^{Cigarroa (2020)}.

Más del 50% de la población masculina, tiene menos de 40 años; de estos 54% están casados, 19% están solteros y viven con su pareja, el resto pertenece a uno de los siguientes estados civiles; divorciado, separado y viudo. Mientras que el 58% del género femenino está en una edad menor a los 27 años. El 42% está casada y 21% está soltera; sólo el 17% vive con su pareja. El 10% de la población masculina está separado, en promedio representa el doble a diferencia del género femenino. Se concluye que más población femenina joven se integra a un trabajo formal, y tienen un menor interés por estar casadas; contemplan más estar solteras en comparación con el género masculino.

Gente con edades comprendidas entre los 77 y los 85 años, concibieron en promedio 4 hijos; la gente menor de 77 años concibió de 2 a 3 hijos durante un periodo de 6 años después del matrimonio, esto quiere decir que, la población más joven sólo desea tener dos hijos. La encuesta mostró que la población masculina puede obtener un promedio de ingresos superiores a los $30,000 pesos al semestre, para lo cual deben trabajar 48 horas a la semana, lo que equivale a una jornada de 8 horas durante 6 días a la semana; seguido por 40 horas a la semana durante 5 días. Como tercera opción, resultaron 60 horas de trabajo, para ello se consideran personas que tienen jornadas de 10 horas diarias durante seis días. Los menores de 27 años son los que dedican más horas al trabajo.

Además de que los trabajadores prefieren consumir bienes y servicios, la ^{CONSAR (2020)} considera que, también requieren ahorrar, el ahorro se considera consumo futuro y se pueden atesorar recursos; esto permite que se incentive el crecimiento económico. De acuerdo con el análisis macroeconómico, se considera la suma del ahorro privado más el ahorro público, atesorando un ahorro total ^{(Villagómez, 2014)}. En el contexto de esta investigación, el ahorro equivale al porcentaje del ingreso que percibe el individuo y que no forma parte del consumo presente y se ocupa para consumo futuro, el ahorro puede administrarse por diversas instituciones financieras.

Algunas opciones financieras pueden ser; cuentas bancarias, seguros de vida, seguros de retiro o aportaciones voluntarias. No se considera ahorro al ingreso que no se gastó, por ejemplo; el ingreso mensual de una familia, que después de finalizar su consumo y considerar todas sus necesidades, el remanente se puede considerar como ahorro. En la reforma del Sistema Mexicano de Pensiones (SMP), se crearon cuentas individuales por cada trabajador para estimar de forma individual su ahorro. En cada SIEFORE, las AFORES colocan mediante inversión recursos de los usuarios del régimen de pensiones, para poder mejorar su rendimiento. Dentro del SP, las cuentas de cada trabajador se clasifican por edades, este mecanismo se utiliza para administrar la inversión ^{(CONSAR, 2018)}.

En el 2012 habían 458.9 millones cuentas, mientras que para 2016 se contabilizaron 639.7 millones cuentas. Para la tercera etapa, con el objetivo de analizar las trayectorias del ahorro en el sector pensionario mexicano, se consideró la base en datos de la Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo (ENOE), la cual sirvió para realizar las proyecciones de ahorro. El fundamento teórico para el análisis de trayectorias del ahorro se sustenta con la metodología del Modelo de simulación de Monte Carlo y en las Cadenas de Markov, para poder hacer simulaciones aplicándolas a los casos de esperanza de vida.

La simulación se puede entender como un proceso que ayuda a conocer el comportamiento de un modelo, basado en un muestreo sistemático de variables aleatorias. De acuerdo con ^{Soto (2011)}, el proceso de simulación se desarrolla en seis etapas; la primera es la definición del problema con creación del modelo, la segunda con programación, la tercera con revisión, la cuarta con la validación del modelo, la quinta el diseño de experimentos y sexta el análisis de los resultados.

El modelo de simulación de Monte Carlo se conoce como tal, haciendo énfasis al principado de Mónaco, el cual fue conocido como “la capital del juego de azar”. Se refiere a la ruleta como un productor de números aleatorios, el algoritmo de simulación de modelo de Monte Carlo está basado en la generación de números aleatorios, base de las distribuciones acumuladas de frecuencias ^{(Soto, 2011)}. Al aplicar este modelo se considera la probabilidad, dígase el instante en que se quiere saber la posibilidad de que ocurra un evento; se logra saber cuándo se realiza un determinado número de experimentos, con ello, se determina la variable aleatoria como función de densidad. El proceso se repite reiteradamente, haciendo uso de varios valores aleatorios de las funciones de probabilidad ^{(González, 2015)}.

Después de revisar el tratamiento del modelo de ^{Venegas y Martínez (2008)}, éste cuenta las siguientes peculiaridades: Se necesita una forma para calcular estimaciones o proyecciones de variables aleatorias, dependientes del espacio temporal a través de experimentos independientes; El error está dado por la magnitud; CN, (1), donde C es una constante y N el número de ensayos.

Se debe considerar un proceso para modelar, por lo que, al aplicar el modelo de Monte Carlo, se considera su comportamiento como un Movimiento Geométrico Browniano (MGB): dSt=rStdt+σStdWt (2); Donde: r es una variable constante; σ es la volatilidad instantánea; dWt∼N0,dt (3).

Si se aplican aumentos discretos, el valor subyacente en la ecuación dSt=rStdt+σStdWt, se puede escribir como: ΔSt=rStΔt+σStΔtε (4)

Donde ε es una variable normal estándar. La forma discreta de simular la serie St es conocida como el método de Euler. Para este caso, a partir del valor inicial S0 y la generación de un número aleatorio de ε, se calcula un posible valor de ΔS1, el cual, posteriormente, se utiliza para calcular S1=S0+ΔS1, y así sucesivamente. El método es sencillo para una ecuación diferencial estocástica y se obtiene un error del tipo OΔt ^{(Venegas y Martínez, 2008)}. En este caso, la serie simulada de un valor subyacente se genera iniciando con un valor S0 y la generación de un número aleatorio de ε1 para obtener un posible valor de S1 y así sucesivamente. Se puede proponer el siguiente algoritmo para determinar el valor de la opción financiera: Simular el comportamiento del valor subyacente futuro, partiendo del valor subyacente en el presente S0 y continuar hasta la fecha de expiración de la opción T, lo cual proporciona una posible proyección de los precios del valor subyacente. Calcular para cada proyección el valor intrínseco de la opción: Repetir n veces los pasos anteriores; Determinar el promedio de los valores intrínsecos obtenidos; Determinar el valor presente del promedio anterior, lo cual finalmente proporciona el valor de la opción.

La precisión está en función de los atributos de los números aleatorios, por ello se recomienda ejecutar la prueba de aleatoriedad. Con mucha frecuencia se emplean variables aleatorias uniformes en el intervalo [0,1] para generar variables aleatorias estandarizadas a través del método de Box-Müller, el cual recomienda que se aplique lo siguiente: ε=-2ln⁡U1cos⁡2ΠU2 ó ε=-2ln⁡U1s⁡en2ΠU2 (5). Para generar valores de ε sin Ν0,1 con U1,U2∼U0,1. “Un proceso de Markov es un proceso aleatorio con la propiedad de que dado el valor actual del proceso Xt, los valores futurosXs paras>tson independientes de los valores pasadosXu para u<t” ^{(Sánchez, 2019)}.

De acuerdo con ^{Venegas y Martínez (2008)}, si se considerara como ejemplo la siguiente matriz de transición asociada a las probabilidades de migración de observaciones en un intervalo t,T:

Donde piAt,T+piBt,T+piIt,T=1, i=A,B,I. En particular, pIAt,T=pIBt,T=0 y pIIt,T=1. Indudablemente, Ρt,t=Ι, donde I es la matriz de identidad de 3x3. De aquí en adelante, el conjunto de grupos ε=A,B,I será llamado el espacio de estados. El proceso estocástico Xt que toma valores en ε, tal que: pABt,T=ΡXT=B|XT=A (7)

Será nombrado proceso de estado Β. Dado que existen casos en que grupos de observaciones no vuelven a tener transición, se dice que el estado I es un estado absorbente. Suponiendo que Xt tiene la propiedad Markoviana: ΡXT=jT|Xt=it=ΡXT=jT|Xs=is, s≥t (8)

Dígase, la probabilidad de transición hacia algún estado depende solo del estado actual, es decir existe la pérdida de memoria y, si además se cumple que: pijt,T=pijT-t,  i,j=A,B,I, (9)

Entonces el proceso Xt es conocido como una cadena de Markov semejante (en el tiempo) con un número finito de estados. Una propiedad relevante de una cadena de Markov semejante se da cuando la matriz de transición de n periodos, 0,T,T,2T,…,n-1T,nT, cada uno de longitud T, se obtiene como: P0,nT=P0,Tn (10)

En general, se cumple que PiT,jT=P0,Tj-1. En efecto, observe que: P=XT=jT|Xt=itPX2T=j2T|XT=jT,Xt=itx ; x…x  =XT=jT|Xt=itPX2T=j2T|XT=jT,Xt=it⋯P=XnT=jnT|Xn-1T=jn-1T =pitjTTpiTj2TT⋯pin-1TjnTT (11)

Por tanto, pitjnTT=PXnT=jnT|Xt=it=∑gpitjTTpiTj2TT⋯pin-1TjnTT (12)

Donde g es el conjunto de índices asociados a una trayectoria factible que va del estado Xt=it al estado XnT=jnT. Por ejemplo: pA,A3T=pA,ATpA,ATpA,AT+pA,BTpB,ATpA,AT pA,ATpA,BTpB,AT+pA,BTpB,BTpB,AT (13)

Suponga que, t=0 y que Ρ0,T es la matriz de transición en un periodo de longitud T. Así, para una cadena de Markov semejante la matriz de transición del estado i al j satisface: PiT,jT=P0,Tj-1 (14)

Por supuesto, el análisis anterior puede extenderse sin dificultad, para el caso de cualquier número finito de estados ^{(Venegas y Martínez, 2008)}. Por último, se determina la distribución no condicional de una cadena de Markov. Sea Xnn∈N∪0 una cadena de Markov semejante definida sobre un número finito de posibles estados ε. Hasta este punto, todas las probabilidades que se han considerado sobre Xn son condicionales. Si se desea la distribución no condicional de Xn, es necesario especificar la distribución de probabilidad del estado inicial. Esto es: pi≡PX1=i (15)

De esta manera, todas las probabilidades no condicionales pueden ser calculadas mediante: PXn=j=∑i∈εΡXn=j|X1=iΡX1=i (16)

Una vez entendiendo el proceso de cadenas de Markov y el análisis de probabilidades de transición, se consideró el algoritmo Metrópolis-Hastings (MH) de ^{Ross (1999b)}, el cual es una notación algorítmica del modelo de Monte Carlo a través de las cadenas markovianas, el cual también se conoce como MCMC y se aplica para resultar en una secuencia de muestreos aleatorios a partir de una distribución de probabilidad, cuyo muestreo directo no es simple. La notación algorítmica genera una cadena markoviana. Cada iteración de la notación algorítmica de (MH) reside en dos pasos; plantear un estado diferente del régimen y con cierta probabilidad este puede ser adoptado o se puede refutar ^{(Eidsvik & Tjelmeland, 2006)}.

También se consideró a ^{Durán et al. (2014)}, su propuesta de notación algorítmica incluye cuatro caminos importantes:

La división de la matriz contador T por cada uno de los totales (sumi o sumas) a lo largo de una fila, da lugar a la Matriz de Probabilidades de Transición: Pij=aij/sumi. Esta representa la probabilidad de la variación de eventos. A partir de la matriz P se calcula la matriz de probabilidad acumulada Pcum, como la suma total por columna a lo largo de una fila. El valor correspondiente a la probabilidad acumulada en la última columna de una fila dada es igual a 1.

En la notación algorítmica de MH, las probabilidades de transición Pij están dadas por la siguiente expresión, de acuerdo con ^{Sambridge (2002)}: Pij=1Nmin⁡1,PijPii (18)

Donde: P’ es la probabilidad de que se dé un estado particular y éste se mantenga, por lo que corresponde a los valores en la diagonal de la matriz Pij. De forma general, se supone que el estado actual es i, proponiéndose N estados vecinos j con probabilidad: Pprop=1N (19)

Se acepta el nuevo estado solo con probabilidad: Aij=1Nmin⁡1,PijPii (20)

El movimiento es aprobado con probabilidad A o refutado con probabilidad 1-A. Si se aprueba, la notación algorítmica se mueve hacia el nuevo estado. En caso contrario, permanece en el estado actual, el cual es nuevamente evaluado en el proceso. Con los argumentos de ^{Ross (1999a)}: Sean bj,j=1,...,m números positivos, y sea B=∑j=1mbj. Suponga que m es grande, que B es complicado de calcular y que se quiere proyectar una variable aleatoria con función de masa de probabilidad: πj=bj/B,        j=1,…,m (21)

La notación algorítmica de MH proporciona un método para realizar este proceso. Construye una cadena markoviana reversible en el tiempo con las probabilidades limite esperadas: Sea Q una matriz de probabilidades de transición de tipo markoviana irreducible sobre los enteros 1,…, m, donde q (i, j) representa el elemento de Q en el renglón i y la columna j.

Definiendo una cadena markoviana Xn,n≥0 de la siguiente manera: Cuando Xn=i, se genera una variable aleatoria X tal que PX=j=qi,j,  j=1,…,m. Si X=j, entonces Xn+1 es igual a j con probabilidad αi,j y es igual a i con probabilidad 1-αi,j en estas probabilidades de transición Pij dadas por: Pij=qi,jαi,j, si  j≠i; Pi,i=qi,i+∑k≠iqi,k1-αi,k (22)

La cadena markoviana será reversible en el espacio temporal y tendrá probabilidades estacionarias πj si πiPij=πjPij, para  j≠i; que equivale a πiqi,jαi,j=πjqj,iαj,i. Se verifica que esto se satisfaga si se considera: αi,j=min⁡πjqj,iπiqi,j,1=min⁡bjqj,ibiqi,j,1 (23). El valor de B no es necesario para definir la cadena markoviana, ya que es suficiente con los valores b (j).

Para la información a utilizar, se considera al PEA como el conjunto de personas con 12 y más años de edad que han realizado una actividad económica ^{(INEGI, 2018)}. En el caso de los estados del norte de México, es donde se concentra la mayoría de la población que está cotizando, con la esperanza de una pensión a través de una prestación de salud. Hay un mayor porcentaje en el sector formal de género masculino, notando el mismo comportamiento a nivel educativo en comparación a las mujeres.

En el estudio de ^{Murillo-López y Venegas-Martínez (2011)}, se busca conocer la aportación en el retiro mensual que percibirá una persona al tiempo que culmine su etapa laboral. Para conformar la base de datos del estudio se consideró la ENOE, con la población de 15 años y más. Conformada con información del sector laboral mexicano, también se complementó con características sociodemográficas, con ello se obtuvo un análisis mejor diseñado con una temporalidad trimestral, ^{INEGI (2018)}.

Para su aplicación en el estudio, se analizó el cuarto trimestre del periodo comprendido del 2012 al 2018. En primer lugar, se consideró si las personas cuentan con una prestación a través de una institución de SS. En segundo lugar, el estudio se enfocó en el estado civil y se consideró si el monto de retiro esperado aplica para un matrimonio o para una persona soltera. En tercer lugar, se consideró qué tanto influye el género en la percepción del monto de retiro.

La edad, es un factor que determina el tiempo en que las personas permanecen en el sector laboral. Finalmente, se consideró el nivel de escolaridad y qué tanto influye el poseer un cierto número de años de estudio para obtener un mejor monto de retiro, si fuese el caso. En la Tabla 2 se ve la clasificación.

Resultados

Al término de la simulación se obtuvieron diversos logros, no obstante, la diferencia entre el retiro final esperado para los géneros femenino y masculino es considerable de observarse. En la Tabla 3, se puede observar en cursivas que se determinaron montos de retiro superiores a los $5,000 MXN, son trabajadores que han iniciado en el sector laboral con posibilidad de prevenirse con un retiro y son personas solteras. Por el contrario, las personas (*) son aquellas personas en espera de un retiro mensual menor a $500 MXN y que tienen una edad próxima al retiro. Cuando no se tiene mayor oportunidad de prevenir el retiro, se identifican resultados alarmantes al momento de decidir el periodo de retiro. Un claro ejemplo es el corte 2, se encuentran casados, con un nivel de escolaridad básico.

Pero ¿qué pasa cuando se cuenta con un nivel de escolaridad de nivel posgrado?, con la información obtenida, para la edad de 50 años existe una diferencia de $1,000 MXN entre los dos cortes. No obstante, si se realiza una comparación entre los cortes con para la edad de 60 años, resulta que personas con un posgrado esperan recibir una mayor mensualidad para el retiro.

El análisis también se aplicó para el género femenino que se puede observar en la Tabla 4, conformado por 6 cortes. A diferencia de la Tabla 3, las mujeres mexicanas alcanzan montos de retiro menores con un máximo de $3,437; esto corresponde al retiro esperado para una persona que inicia su vida laboral, soltera y con un nivel de escolaridad de secundaria.

Las personas que esperan un monto mayor a los $2,000 MXN, cuentan con las peculiaridades de estar casadas y con un nivel de escolaridad profesional. Para una mujer casada y sin estudios, se espera recibir un retiro mensual de $338 MXN, mientras que, para un hombre con las mismas particularidades, se espera recibir un retiro de $516 MXN. Cuando se analiza el género femenino, no se consideró personas con un nivel de estudio con posgrado, porque no tenían presencia en todos los años de estudio.

Al final, se trabajó con una simulación del modelo Monte Carlo y Cadenas markovianas, llamada relación o notación algorítmica de MH; utilizado para proyectar lo que se esperaría de un retiro mensual dependiendo de las particularidades por cortes.

Discusión

En este trabajo se abarcó un análisis a la administración del ahorro, esto desde el punto de vista de las trayectorias del ahorro en el SMP; en particular de trabajadores del sector formal, ya que son quienes están con el régimen de pensiones de 1997.

En la primera parte, se determinó la comparación del SP con naciones como Chile, Alemania, España y Estados Unidos que cuentan con altas clasificaciones en los estudios de Melbourne Mercer Global Pension Index 2018 ^{(Mercer, 2018)}. Esta clasificación está en función de los niveles de satisfacción, adecuación, sostenibilidad e integridad. Con estudios de ^{Mercer (2018)}, México en su SMP se encuentra con un valor de Índice Global de Pensión al 45.3%, lo que refleja estar por abajo de la media global del 60.5%; incluso se mencionan aspectos de mejora significativos con problemas importantes ante la falta de mejores alternativas. Se tomó como base de datos a la ENOE del periodo 2012 al 2016, con la finalidad de conocer a la PEA de individuos que pueden trabajar y se encuentran con trabajo. Esto arrojó como resultados, que en promedio 42% de la población está en el sector formal. Mientras que el 48% de la población espera estar retirado a través de una prestación. De la PEA, el 48% terminó el nivel de escolaridad básico y del otro lado extremo, únicamente el 2% cuenta con nivel de maestría y 0.4% con doctorado (género masculino con mayor participación a nivel posgrado).

En la sección de resultados se lograron pronósticos a través de la notación algorítmica de MH, es decir, un modelo de Monte Carlo mediante cadenas markovianas ^{(Ortega, 2008)}. Se pudo comprobar, que se prevén montos de retiro mayores a los $5,000 MXN para personas iniciando en el sector laboral con la posibilidad de poder prever un retiro, pero como solteras. Por otro lado, personas en espera de un retiro mensual menor a $500 MXN tienen una edad próxima al retiro. Para el género femenino no se alcanzan montos de retiro superiores a los $5,000 MXN como en el caso de los hombres, ya que máximo se estimó un monto de $3,437 MXN; esto es para una persona que inicia su etapa laboral, soltera y con nivel secundaria.

El objetivo central de esta investigación se cumplió, puesto que las proyecciones estimadas de las cuentas de ahorro administradas de los trabajadores demuestran mayor relación ante variables como género, estado civil y nivel de escolaridad, es decir, mayor impacto en el monto final que recibirá un trabajador o trabajadora mexicana al tiempo de su retiro. Se identificó que fomentar del ahorro voluntario en los trabajadores mexicanos, sea con el objetivo de que se tomen medidas con respecto a su retiro, influyendo en percibir un monto de retiro superior y menos afectado.

Finalmente, se considera que al tener resultados relevantes con respecto al monto final de retiro y una correlación con las variables antes mencionadas, se deja la posibilidad de ampliar la investigación en búsqueda de considerar la reforma de pensiones propuesta por el Gobierno actual a la mano de SHCP y CONSAR, con aumento de la pensión garantizada, mayor aportación patronal y disminución en semanas de cotización.