Resumen

SKIBA, Yuri N.. Role of forcing in large-time behavior of vorticity equation solutions on a sphere. Atmósfera [online]. 2015, vol.28, n.4, pp.283-296. ISSN 0187-6236.

Se considera la ecuación no lineal de vorticidad barotrópica (BVE) que describe la dinámica de vórtice de un fluido incompresible, viscoso y forzado sobre una esfera giratoria. Se estudia el comportamiento asintótico de las soluciones de la BVE no estacionaria cuando t → ∞. Se dan las formas particulares de la fuente externa de vorticidad que garantizan la existencia de un conjunto atractivo acotado en el espacio de fase de las soluciones. Se muestra que el comportamiento asintótico de las soluciones BVE depende de la estructura y la suavidad del forzamiento externo. También se dan tres tipos de condiciones suficientes para la estabilidad asintótica global de soluciones BVE, suaves y débiles. Se consideran conjuntos atractivos simples de un fluido viscoso incompresible en una esfera cuando el forzamiento es un polinomio cuasi-periódico en tiempo. Cada conjunto atractivo representa una solución cuasi-periódica de la BVE del subespacio complejo H_n de dimensión (2n + 1) que contiene los polinomios esféricos homogéneos de grado n. Su trayectoria es una espiral abierta densamente enrollada alrededor de un toro 2n-dimensional en H_n, y por lo tanto su dimensión de Hausdorff es igual a 2n. Cuando el número generalizado de Grashof G se vuelve suficientemente pequeño, el dominio de atracción de tal solución espiral se expande de H_n a todo el espacio de fase de la BVE. Se muestra que para un valor determinado G, existe un número entero n_G tal que cada solución espiral generada por un forzamiento de H_n con n ≥ n_G es estable global y asintóticamente. Así, demostramos la diferencia en el comportamiento asintótico en los casos en que el número de Grashof G está fijo y acotado, pero el forzamiento es estacionario o no estacionario. En el caso del forzamiento estacionario, la dimensión del atractor de fluido está limitada desde arriba con el número G. Y en el caso del forzamiento no estacionario, la dimensión de la solución atractiva espiral (igual a 2n) puede ser arbitrariamente grande si el grado n del forzamiento polinomial cuasi-periódico crece. Dado que las funciones cuasi-periódicas de pequeña escala, a diferencia de las funciones estacionarias, representan más adecuadamente el forzamiento en la atmósfera barotrópica, este resultado es de interés meteorológico y muestra que la dimensión de los conjuntos atractivos no sólo depende de la amplitud del forzamiento, sino también de su estructura espacial y temporal. Este ejemplo también muestra que la búsqueda de un atractor global de dimensión finita en la atmósfera barotrópica no está bien justificada.

Palabras llave : Incompressible viscous and forced fluid on a sphere; asymptotic behavior; global stability; attractor dimension.

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