1. Introducción

La adaptación de las empresas aseguradoras a la Directiva Europea Solvencia II, se ha convertido en uno de los objetivos fundamentales para estas. Existen diversos cambios introducidos por esta normativa, siendo su fin “eliminar las diferencias más importantes entre las legislaciones de los Estados miembros en lo que respecta a la regulación de las empresas de seguros y reaseguros, […], haciendo así más fácil para las empresas de seguros y de reaseguros, […], la cobertura de los riesgos y los compromisos localizados en ellas” (^{Solvencia II}).

Existen diversos tipos de riesgos que afectan a la actividad aseguradora, siendo el riesgo de reserva en el que se centra este trabajo, concretamente en el cálculo de las provisiones técnicas. En Solvencia II esté cálculo trata de armonizarse para lograr una mayor comparabilidad y transparencia a nivel europeo. Las provisiones técnicas pueden definirse cómo el “importe que una empresa de seguros o reaseguros tendría que pagar si transfiriera de manera inmediata todas sus obligaciones subyacentes de seguro y reaseguro a otra entidad” (^{Solvencia II}), además, estas deberán “reflejar las características de la cartera de seguros subyacente” (^{Solvencia II}). Existe una clara diferenciación entre la cuantificación de las provisiones técnicas en seguros de vida de los que no lo son, centrándose este estudio en el cálculo de las provisiones técnicas en seguros no vida.

Solvencia II establece para el cálculo de las provisiones técnicas que estas deberán ser “igual a la suma de la mejor estimación y de un margen de riesgo”, siendo la mejor estimación igual a la “media de los flujos de caja futuros ponderada por su probabilidad, teniendo en cuenta el valor del dinero”. En este estudio se analizaran diversos métodos de cuantificación de provisiones sin tener en cuenta el margen de riesgo y sin actualizar los flujos de caja futuros.

Para cuantificar las provisiones técnicas en seguros no vida, se pueden clasificar los diferentes métodos en deterministas y estocásticos, en función de si tiene en cuenta o no la posible variabilidad de la estimación de las provisiones. Los métodos en los que nos centraremos serán los métodos estocásticos. Entre los métodos estocásticos más utilizados, se encuentran la Distribución Libre de Mack (^{Mack, 1993}), los Modelos Lineales Generalizados (^{McCullagh y Nelder, 1989}) y el modelo Bootstrap con Simulación (^{England, 2002}). Todos estos métodos tienen su base en el método determinista Chain Ladder, siendo posiblemente el método más popular para el cálculo de las provisiones técnicas (^{Mack, 1994}) con anterioridad a Solvencia II y el cual trabaja sobre el triángulo de desarrollo de ^{Taylor y Ashe (1983)}.

La Distribución Libre de Mack (^{Mack, 1993}) es un modelo no paramétrico en donde no se hace ninguna suposición sobre la distribución de los pagos por siniestros, en esencia, está técnica calcula la volatilidad del estimador de las provisiones técnicas (^{Slim y Mansouri, 2015}) a través del error cuadrático medio de las estimaciones obtenidas con el método Chain Ladder, por tanto, puede decirse que el modelo propuesto por Mack supone una generalización estocástica del clásico Chain Ladder (^{Boj et al., 2014}).

El Modelo Lineal Generalizado (^{McCullagh y Nelder, 1989}), al igual que el modelo propuesto por Mack, generaliza el método Chain Ladder desde un punto de vista estocástico, coincidiendo los resultados obtenidos con el Modelo Lineal Generalizado suponiendo una distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica con las estimaciones del método Chain Ladder (^{Boj et al., 2014}; ^{Boj y Costa, 2017}).

El modelo Bootstrap con Simulación (^{England, 2002}) tiene su origen en el modelo propuesto por ^{England y Verrall (1999)}, dichos modelos se basan en el remuestreo para obtener el error de predicción, siendo la principal aportación realizada por ^{England (2002)} la obtención de la distribución de la reserva utilizando la distribución entera. A diferencia de la propuesta de ^{England y Verrall (1999)}, ^{England (2002)} pretende generar la distribución de la reserva estimada utilizando la distribución entera frente a la estimación únicamente de los dos primeros momentos que realizan ^{England y Verrall (1999)}.

Por tanto, analizamos los tres métodos expuestos para determinar cuál es el que mejor se ajusta para el cálculo de provisiones técnicas. Si bien existen multitud de métodos aplicados a la cuantificación de provisiones ténicas en compañías aseguradoras, pocos son los trabajos que han comparado varios de ellos para analizar su adaptación a las necesidades de estas compañías. Para ello, se trabaja sobre un registro de pagos por siniestros de una aseguradora entre el año 2003 y 2011. Para realizar dicho estudio, utilizamos el programa estadístico R, basándonos en ^{Carrato et al. (2015)}.

A partir de aquí el trabajo se estructura:

En la Sección 2 se exponen las bases de los métodos estocásticos propuestos para el cálculo de provisiones técnicas. En la Sección 3 estudiamos las previsiones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados junto a su error de estimación para cada uno de los métodos propuestos. En la Sección 4 analizamos los resultados obtenidos por cada método. Y, por último, en la Sección 5 explicamos las conclusiones obtenidas con el estudio.

2. Métodos estocásticos para el cálculo de provisiones técnicas

En este apartado explicaremos los métodos anteriormente comentados.

3. Estimación provisiones técnicas

Para comparar los modelos planteados utilizamos los datos de pagos por siniestros de una compañía aseguradora en su ramo de autos en el periodo 2003-2011 (Cuadro 1). Se ha utilizado este periodo de muestra debido a que ha sido el facilitado por la compañía aseguradora.

Se comienza obteniendo la estimación de pagos por siniestros utilizando la Distribución Libre de Mack (Cuadro 2), la cual coincide con la obtenida por el método Chain Ladder.

Las estimaciones de pagos totales obtenidas son 205.737.066 u.m. y las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados ascienden a 20.272.824 u.m.

En este momento entra en juego la aportación realizada por ^{Mack (1993)} para estimar el error de predicción del modelo Chain Ladder.

Los resultados obtenidos con este método, utilizando la Regresión Loglineal para estimar la desviación del último año de desarrollo se observan en el Cuadro 3. Se puede observar como las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados (IBNR) van ascendiendo a medida que los siniestros ocurren en años más cercanos al actual, al igual que ocurre con su error, existiendo una excepción para los pagos por siniestros en 2006, año en el que el error es inferior al del año anterior. Respecto al coeficiente de variación, se observa cómo va disminuyendo este para los siniestros más recientes, con la excepción del año 2008 en el que el error tiene un mayor peso sobre la media.

Gráficamente podemos ver la evolución de las estimaciones junto con el error asumido por año de ocurrencia (Gráfica 1).

Analizando los totales obtenemos un error de 2.701.890,84 u.m representando este un 13% sobre la media obtenida con el método Chain Ladder (Cuadro 4).

Por tanto, utilizando la Distribución Libre de Mack, se ha obtenido una estimación de pagos por siniestros de 20.272.824 u.m. y un error de 2.701.891 u.m. siendo el peso de este sobre las estimaciones de un 13,3

Respecto al modelo lineal generalizado siguiendo una distribución Poisson con Sobredispersión con enlace logarítmico, se ha obtenido las estimaciones mostradas en el Cuadro 5.

Destaca como los parámetros significativos corresponden con los factores correspondientes al año de desarrollo con un 99% de confianza que son los que influyen en el modelo, siendo el factor dentro de estos menos significativo el correspondiente al último año de desarrollo debido a la menor información respecto a este.

Las estimaciones por cada año de ocurrencia obtenidas con el modelo pueden verse resumidas en el Cuadro 6.

En este modelo propuesto por ^{Renshaw y Verrall (1998)}, las estimaciones obtenidas coinciden con las del método Chain Ladder y por tanto, con las de la Distribución Libre de Mack. En cambio, la estimación del error de predicción difiere de la obtenida en el modelo de Mack, siendo esta cada vez mayor en función de la cercanía de la ocurrencia de los siniestros, al igual que ocurre con el coeficiente de variación.

Los totales obtenidos para esta metodología se muestran en el Cuadro 7.

Las estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados utilizando el Modelo Lineal Generalizado con la distribución Poisson con Sobredispersión y enlace con la función logarítmica son de 20.272.824 u.m, con un error de 3.043.902 u.m. representando este respecto a la estimación un 15,01%.

Aplicando la propuesta de ^{England (2002)} para la estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados y su error suponiendo que los datos siguen una distribución Poisson con Sobredispersión y utilizando un remuestreo de 10.000, obtenemos los resultados expuestos en el Cuadro 8.

En el Cuadro 8 se puede observar las estimaciones de pagos por siniestros y su error. En este caso los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados se mantienen al alza a siniestros más recientes, al igual que su error.

Otra cuestión que permite este método es obtener intervalos de confianza, debido a que trabajamos con la función de distribución, podemos establecer en que percentil situarnos para la estimación de pagos por siniestros asumiendo distintos niveles de error (Cuadro 9).

Puede observarse en función de los resultados obtenidos, como las estimaciones de pagos no difieren en exceso con diferentes niveles de confianza, lo cual, disminuye la posibilidad de falta de provisiones.

Gráficamente estos datos pueden representarse cómo se observa en la Gráfica 2.

Se observa en el histograma como la totalidad de estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados se encuentra entre 10.000.000 y 35.000.000 u.m. siendo los valores más probables los comprendidos entre los 15.000.000 y los 25.000.000 u.m. encontrándose el valor más probable 18.000.000 y 20.000.000 u.m.

Analizando la función de distribución, se observas como a partir de los 25.000.000 u.m., el incremento de la confianza es muy reducido.

Enfocándose en las gráficas Boxplot, se observan bastantes diferencias entre los pagos por siniestros ocurridos en diferentes años, y como su variabilidad aumenta en pagos por siniestros más recientes.

Respecto a la evolución de los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados, se encuentra cierta variabilidad, siguiendo esta una evolución exponencial a siniestros más recientes.

Analizando las estimaciones totales para el método Bootstrap con Simulación se obtienen los resultados expuestos en el Cuadro 10.

Llama la atención en este caso, la similitud entre la media y la mediana y cómo la diferencia entre los pagos por siniestros obtenidos asumiendo una confianza del 99.5% respecto a la media representa un 47.28%, siendo un valor no muy elevado.

Por tanto con el método Bootstrap con Simulación se han obtenidos unas estimaciones de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados respecto a la media de 20.276.496 u.m. con un error de 3.062.349 u.m, representando este sobre la media un 15,1%.

4. Análisis de resultados

Una vez aplicados los diferentes métodos se procede a comparar los resultados obtenidos comenzando con los resultados obtenidos respecto a la estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados (Cuadro 11).

La estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados, debido a que tiene por base el método Chain Ladder, el método propuesto por Mack obtiene los mismos resultados que aplicando el Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución de Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica. No obstante, las diferencias de las estimaciones obtenidas con estos modelos respecto al método Bootstrap con Simulación son muy reducidas, siendo la diferencia mayor en términos porcentuales los pagos estimados para los siniestros ocurridos en 2004, representando la diferencia un 0.97%. En términos absolutos, la diferencia de las estimaciones obtenidas con el Bootstrap con Simulación respecto a los otros métodos es de 3.672 u.m. representando esta un 0.02%.

Por tanto, se puede determinar, en base a la estructura de datos seguida, que los métodos analizados no presentan diferencias importantes en la estimación de pagos por siniestros ocurridos pero no notificados.

En el Cuadro 12 se observan los resultados obtenidos para el error de predicción. A diferencia de lo ocurrido con las estimaciones, el error de predicción difiere en los tres métodos. Llama la atención la gran diferencia en el error para los siniestros ocurridos en 2004, siendo el resultado obtenido con el Modelo Lineal Generalizado el que presenta la mayor diferencia siendo un 11,24% menor al error obtenido por el Modelo Lineal Generalizado y un 11,77% inferior al obtenido utilizando Bootstrap. Otra cuestión llamativa, es la mayor estimación del error utilizando la Distribución Libre de Mack para los pagos por siniestros ocurridos desde el 2008 al 2010, aun cuando este método presenta la menor estimación del error de predicción. Por tanto, existen diferencias entre los métodos en cuanto al error de predicción, siendo el método que más se aleja la Distribución Libre de Mack tanto en términos absolutos como en su estructura.

En el Cuadro 13, al igual que ocurre con la estimación del error en el Cuadro 12, los valores del coeficiente de variación para los pagos por siniestros ocurridos en diferentes años difieren entre si, presentando la mayor diferencia la Distribución Libre de Mack, presentando valores inferiores en todos los años excepto de 2008 a 2010 al igual que ocurrió con la estimación del error.

Si analizamos las correlaciones de los métodos mediante el Coeficiente de Correlación de Pearson, obtenemos que la Distribución Libre de Mack y el Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución Poisson con Sobredispersión con la función de enlace logarítmica presentan una correlación de un 75,82% y que el método Bootstrap con Simulación obtiene un 75,68%, por tanto, podemos decir que los tres se adecuan para la estimación de los pagos para siniestros ocurridos pero no notificados.

En principio, los resultados obtenidos con los tres métodos son viables, no obstante, hay que tener en cuenta que los tres métodos no se pueden aplicar en todas las situaciones posibles, este es el caso de la Distribución Libre de Mack, la cual, no es posible aplicar cuando existen reservas negativas, lo cual limita su aplicación debido a que en las compañías aseguradoras se da esta situación con bastante asiduidad.

5. Conclusiones

La estimación de las provisones técnicas exigidas por la Directiva Europea Solvencia II se ven influenciadas por la diversidad de métodos para la obtención de las estimaciones de pagos por siniestros futuros.

En base a los tres métodos analizados, cabe mencionar que las diferencias obtenidas para la estimación de los pagos por siniestros ocurridos pero no notificados no son significativas, siendo las estimaciones de pagos iguales con el Modelo Lineal Generalizado asumiendo una distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica y la Distribución Libre de Mack, debido a que dichas estimaciones coinciden con las obtenidas por el método Chain Ladder. A su vez, son muy similares a las obtenidas con el método Bootstrap con Simulación.

En cuanto al error estimado con estos métodos, se encuentran diferencias notables, siendo el que más se aleja la estimación del error de predicción realizada por la Distribución Libre de Mack, siendo la estructura seguida por los otros dos métodos similar con pequeñas diferencias.

En base a los resultados obtenidos, podemos determinar que los tres métodos son viables para la estimación de las provisiones técnicas. Sin embargo, si tenemos en cuenta las características de cada metodología, la Distribución Libre de Mack presenta la limitación de no poderse aplicar en el caso de que existan factores de desarrollo inferiores a 1.

En cuanto a la utilización del Modelo Lineal Generalizado con la distribución Poisson con Sobredispersión junto con la función de enlace logarítmica, esta, al igual que con otras distribuciones, se basa en la utilización de la media y la varianza para la obtención de la media y el error de predicción, lo cual, limita la precisión.

El método Bootstrap con Simulación pese a que sus estimaciones difieren levemente de las obtenidas con el método Chain Ladder, trabaja con la distribución predictiva completa para la obtención de dicha estimación y su error de predicción.

Por todo lo anterior, a pesar de que todos los métodos son adecuados para la estimación de provisiones técnicas, nos decantamos por el método Bootstrap con Simulación como el método más apropiado.

A pesar de que el análisis comparativo ha sido realizado teniendo en cuenta las estimaciones para la media, resulta interesante la aplicación de otra medida para la constitución de las provisiones técnicas. Observando los datos obtenidos aplicando el método Bootstrap con Simulación, vemos la similitud entre los resultados obtenidos con la media y el percentil 50. Aquí entra un juego un debate de cual medida sería la más adecuada para representar las provisiones técnicas. Si los datos tratados siguen una distribución normal, poco probable en la realidad, la utilización de la media puede ser una buena opción debido a su facilidad de tratamiento posterior. Sin embargo, si los datos no siguen una distribución normal y se encuentran en los extremos valores negativos o excesivamente elevados, el percentil 50 resulta una medida más adecuada para tomar en consideración en el establecimiento de las provisiones técnicas. Tomando en consideración que es habitual que en las entidades aseguradoras los datos de pagos por siniestros no sean homogéneos, siendo habitual encontrar valores extremos con una baja probabilidad de ocurrencia, consideramos como medida más adecuada para el establecimiento de las provisiones técnicas la mediana, siendo útil para prevenir el riesgo de insolvencia o de ineficacia en la utilización de los recursos.