Apéndice

A. Umbral de oscilación de un sistema de 4 niveles bombeado longitudinalmente

El Nd:YVO₄ se comporta como un sistema de 4 niveles de energía, donde los átomos que se encuentran en estado base son llevados al nivel de energía mediante algún mecanismo de bombeo, en nuestro caso bombeo óptico a través de la radiación proveniente de la fibra. La tasa de bombeo al nivel dependerá de la intensidad I_b de la radiación de la fibra, de la sección efizcá σ_b para este proceso y de la energíade cada fotón de bombeo, hν_b. De este nivel decaen al nivel con un tiempo de vida τ₃₂, de éste al nivel en un tiempo τ₂₁ y finalmente al nivel en un tiempo τ₁₀, como se muestra en la Fig. 10. Los tiempos de vida que cada nivel son tales (τ₂₁ τ₃₂,τ₁₀) que se forma una inversión de población entre los niveles al , con lo cual puede haber amplifición por emisión estimulada y absorción de fotones con energía ΔE = E2 — E1.

Para calcular las condiciones de umbral de oscilación es necesario contar con ecuaciones que describan la evolución temporal de las poblaciones N₀,N₁,N₂,N₃ de los diferentes niveles. Considerando solamente los procesos indicados en la Fig. 10, las ecuaciones son las siguientes:

Suponiendo que τ₂₁ τ₃₂,τ₁₀, que la inversión de población ΔN = N2 — N1 ≈ N2, que el bombeo no cambia con el tiempo y que la inversión de población inicial es cero, de las Ecs. A1 y A2 obtenemos

donde N∞ = N₀I_b(z)σ_bτ₂₁/hν_b y δt es el tiempo durante el cual la medio es bombeado. Por otro lado, la intensidad del bombeo no es constante, ya que es absorbido a lo largo de su dirección de propagación. Para nuestro caso de bombeo longitudinal,

donde α_b es la absorción del haz de bombeo por unidad de longitud, la cual está dada por α_b = N₀σ_b. La ganancia por unidad de longitud está dada por

donde σ_L es la sección eficaz de la emisión estimulada entre los niveles y . Juntando las Ecs. (A5-A7), obtenemos

donde I_sat es la intensidad de saturación, dada por

y η_c es la eficiencia cuántica, dada por η_c = λ_b/λ_L, donde λ_b y λ_L son las longitudes de onda del bombeo y de la emisión láser, respectivamente. Φ(t) es una función que nada más depende del tiempo, dada por Φ(t)=1 — exp(—t/τ₂₁).

El umbral se alcanza cuando la ganancia de un recorrido de ida y vuelta es igual a las pérdidas totales de la cavidad. Calculamos ahora la ganancia de un haz viajando en la dirección positiva de z. La intensidad de este haz, denotado por I⁺(z), está regida por la siguiente ecuación:

Integrando esta ecuación de 0 a L, la longitud del medio, obtenemos

Aquí f =1 — exp(—α_bL); es la fracción de la potencia del haz de bombeo que fue absorbida por el medio. Realizando un análisis similar para el haz que viaja en la dirección contraria, cuya intensidad es I ^—(z), obtenemos

A su vez, las intensidades de ambos haces están relacionados en los planos donde se encuentran los espejos por I⁺(0) = R₁I ^—(0) y I ^—(L)= R₂I⁺(L). Utilizando estas relaciones, las Ecs. (A10-A11), y suponiendo que además que hay pérdidas pasivas dentro de la cavidad dadas por exp(—α_L), encontramos que la intensidad después de un recorrido de ida y vuelta está dada por

En el umbral de oscilación la intensidad después de un recorrido de ida y vuelta es igual a la inicial, por lo que la condición de umbral de oscilación es

Con esta ecuación podemos calcular la reflectancia mínima del espejo acoplador (espejo 2) requerida para que haya oscilación. En el caso estacionario, t → ∞ y según su de-nición Φ(t) → 1. De la Ec. (A13), vemos que la reflectancia mínima del espejo acoplador es

En el caso pulsado, queremos que solamente haya un pulso por paso de una abertura por el camino óptico. Para lograr esto, suponemos que cada pulso que se emite es lo suficientemente intenso como para saturar completamente la ganancia, y por lo tanto reducir la inversión e población a cero. Después de ocurrido esto, la inversión de población gradualmente se recupera, siguiendo la Ec. (A5). Supongamos que el tiempo que le toma a la perforación recorrer el caminoóptico del láser (el tiempo en que nuestro Q-switch permanece abierto) es corto comparado el tiempo de vida τ₂₁. Haciendo una expansión en serie de Taylor, ΔN ≈ N_∞δt/τ₂₁. Para que no se pueda dar otro pulso, es suficiente que en este periodo δt la inversión de población no alcance el valor umbral, por lo que según la Ec. (A13) la reflectancia máxima que puede tener el espejo acoplador para garantizar que solamente haya un pulso viene dada por

donde P_b es la potencia de bombeo y w es el radio promedio del haz a lo largo de z.