APÉNDICE A -MATRIZ DE MASA DE UN ROTOR RÍGIDO

La matriz de masa de un cuerpo rígido, como los rotores a los que se refiere este artículo, están asociadas con dos sistemas coordenados: i) uno cuyos vectores base son los grados de libertad de respuesta, que corresponden a los puntos y direcciones en los cuales se mide la respuesta del rotor, y ii) otro cuyos vectores base son los grados de libertad de fuerza, que corresponden a los puntos y direcciones en los cuales se aplican fuerzas al rotor. Estos grados de libertad se eligen arbitrariamente, por lo que es necesario especificar con respecto a qué grados de libertad se define una matriz. La matriz que se presenta en la Ecuación (2) corresponde a los sistemas coordenados cuyos vectores base corresponden a las direcciones de x₁ y x₂ para la respuesta y las de f₁ y f₂ para las fuerzas.

Para determinar la matriz de masa de un sistema, se eliminan los componentes elásticos y disipativos, y se retienen únicamente los componentes inerciales del sistema. Cada columna de la matriz de masa, digamos la i-ésima, representa un vector cuyos elementos son fuerzas que deben aplicarse al sistema simultáneamente en cada grado de libertad para provocar una aceleración unitaria en el grado de libertad i y una aceleración nula en los demás grados de libertad. Por ejemplo, para el rotor que se muestra en la Figura 1, la primera columna de la matriz de masa contiene las fuerzas, f₁ y f₂, que se requieren para producir el siguiente estado de aceleraciones en el rotor aislado:

Este estado de aceleraciones tiene una componente debida a la aceleración lineal del centro de gravedad del rotor, y una aceleración angular, α, asociada con el giro del rotor con respecto a ese punto. Siguiendo la notación de la Figura 1, estas dos aceleraciones están dadas por:

Estas aceleraciones se relacionan con la fuerza total aplicada al rotor y con el momento de las fuerzas aplicadas con respecto al centro de gravedad, mediante las siguientes ecuaciones clásicas de la dinámica de cuerpos rígidos, donde las F_r y los M_CG,r son las fuerzas externas y sus momentos con respecto al centro de gravedad, respectivamente:

Reemplazando y α de las ecuaciones (A.2) y (A.3) en (A.4) y (A.5) se obtiene:

o, matricialmente:

El vector de fuerzas es entonces:

La primera columna de la matriz de masa es el vector de fuerzas requeridas para producir la aceleración dada en la ecuación (A.1), y es:

Similarmente, la segunda columna de la matriz de masa es el vector de fuerzas que se requieren para producir el siguiente estado de aceleraciones:

Con estas dos columnas se construye la matriz de masa que se presenta en la Ecuación (2) del artículo: